3.2 勾股定理的逆定理---课时作业 2021-2022学年苏科版数学八年级上册（含答案）

3.2　勾股定理的逆定理
知识点 1　勾股定理的逆定理
1.在△ABC中,如果三边满足关系BC2=AB2+AC2,那么△ABC的直角是(　　)
A.∠C　　 B.∠A　　 C.∠B　　 D.不能确定
2.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是(　　)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.0.3,0.4,0.5 D.13,14,15
3.[2020·盐城阜宁县月考] 已知△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A.∠A=∠C-∠B B.a∶b∶c=4∶5∶6
C.a2=b2-c2 D.a=34,b=54,c=1
4.如,点P在直线l上,已知PA=5,AC=BC=3,PC=4,则线段PB的长度是(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
5.[2019·南京秦淮区期末] 如,△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,D是AC的中点,则BD=　　　　cm.?
6.以下列各组数据为长度的线段中,哪些可以组成直角三角形?
①5,13,12;②4,5,7;③3a,4a,5a(a>0);④a∶b∶c=5∶12∶13.
7.如,在6×6的网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均为网格的格点.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)在格点上是否存在点P,使∠APC=90°,请在图中标出所有满足条件的格点P(用P1,P2,…表示).

8.[2019·兴化月考] 如,AD⊥BC,垂足为D.如果CD=1,AD=2,BD=4.
(1)直接写出AC2=　　　　,AB2=　　　　;?
(2)△ABC是直角三角形吗?证明你的结论.

知识点 2　勾股数
9.[2020·高邮期中] 下列各组数中,是勾股数的是(　　)
A.2,3,4 B.9,12,13
C.0.3,0.4,0.5 D.7,24,25
10.[2020·连云港灌云县月考] 若8,17,m是一组勾股数,则m=　　　　.?
11.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中摆放正确的是(　　)
12.在△ABC中,AB=10,BC=12,BC边上的中线AD=8,则△ABC中AB边上的高为(　　)
A.8 B.9.6 C.10 D.12
13.观察下列各组勾股数,并寻找规律:
①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数:　　　　.?
14.如,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当t=　　　　时,△ABP为直角三角形.?
15.如,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE2-AE2=AC2.求证:∠A=90°.

16.如,AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求该图形的面积.

17.[2019·南京高淳区期末] 如,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,CD=1,AD=3,求∠BCD的度数.

18.[2019·兴化期中] 【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载,公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像以3,4,5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数,称为勾股数.
【应用举例】观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,
当勾为3时,股4=12(9-1),弦5=12(9+1);
当勾为5时,股12=12(25-1),弦13=12(25+1);
当勾为7时,股24=12(49-1),弦25=12(49+1).
(1)请仿照上面三组样例,用发现的规律填空:如果勾用n(n≥3,且n为奇数)表示,请用含有n的式子表示股和弦,则股=　　　　　　　　　,弦=　　　　　　　　.?
【问题解决】(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式.具体表述如下:若a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m为大于1的整数),则a,b,c为勾股数.请你证明柏拉图公式的正确性.
(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1,若用2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数,请你找出另外两个数的表达式分别是多少.
教师详解详析
1.B　[解析] ∵BC2=AB2+AC2,
∴△ABC是直角三角形,BC是斜边.
∴∠A=90°.
故选B.
2.D　[解析] ∵132+142≠152,
∴13,14,15这三条线段不能组成直角三角形.
3.B　[解析] A项,∵∠A=∠C-∠B,且∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故△ABC是直角三角形;B项,设a=4x,b=5x,c=6x,则a2+b2≠c2,∴△ABC不是直角三角形;C项,∵a2=b2-c2,∴b2=c2+a2,故△ABC是直角三角形;D项,∵a=34,b=54,c=1,∴b2=c2+a2,故△ABC是直角三角形.
故选B.
4.B　[解析] ∵PA=5,AC=3,PC=4,∴PA2=AC2+PC2.∴∠PCA=90°.∵AC=BC,∴点P在线段AB的垂直平分线l上.∴PB=PA=5.故选B.
5.5　[解析] ∵AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.
∵D是AC的中点,
∴BD=12AC=5 cm.
6.解:①∵52+122=132,
∴以5,12,13为长度的线段可以组成直角三角形.
②∵42+52≠72,
∴以4,5,7为长度的线段不能组成直角三角形.
③∵(3a)2+(4a)2=(5a)2,
∴以3a,4a,5a(a>0)为长度的线段可以组成直角三角形.
④设a=5x,b=12x,c=13x.
∵(5x)2+(12x)2=(13x)2,
∴a2+b2=c2.
∴以a,b,c为长度的线段可以组成直角三角形.
7.解:(1)证明:∵AC2=32+42=25,AB2=12+22=5,BC2=22+42=20,
∴AC2=AB2+BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)存在.如图所示.
8.解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°.
在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,
∴AC2=AD2+CD2=5.
在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,
∴AB2=AD2+BD2=20.
故答案为5,20.
(2)△ABC是直角三角形.
证明:BC=BD+CD=5.
∵5+20=52,即AC2+AB2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.
9.D　[解析] 22+32≠42,不能构成直角三角形;92+122≠132,不能构成直角三角形;0.3,0.4,0.5不是正整数;72+242=252,能构成直角三角形,且都是正整数.故选D.
10.15　[解析] 当17是最长边时,82+m2=172,即m2=225,∴m=15;
当m是最长边时,m2=82+172,即m2=353,则m不是正整数.综上,m=15.
11.D　[解析] ∵72+242=252,152+202=252,∴选项D正确.
12.B　[解析] 如图,过点C作CE⊥AB于点E.
∵AD是△ABC的中线,BC=12,
∴BD=6.∵AB=10,AD=8,BD=6.
∴AB2=AD2+BD2.
∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.
∵S△ABC=12BC·AD=12AB·CE,
∴CE=12×810=9.6.故选B.
13.16,63,65　[解析] 观察前4组数据的规律可知第组勾股数的第一个数是2(n+1);第二个数是n(n+2);第三个数是(n+1)2+1.所以第⑦组勾股数是16,63,65.
14.2或258　[解析] ∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,∴BC=4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,
∴t=4÷2=2.
②当∠BAP为直角时,BP=2t cm,CP=(2t-4)cm,AC=3 cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(2t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(2t-4)2]=(2t)2,
解得t=258.
综上,当t=2或258时,△ABP为直角三角形.
15.证明:连接CE.
∵D为BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,
∴CE=BE.
∵BE2-AE2=AC2,
∴CE2-AE2=AC2.
∴AC2+AE2=CE2.∴∠A=90°.
16.[解析] 连接AC,应用勾股定理及其逆定理,可判定△ABC为直角三角形,再运用面积的和差关系求出图形的面积.
解:连接AC.
在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2=42+32=25,
∴AC=5.
在△ABC中,AC2+BC2=169,AB2=169,
∴AB2=AC2+BC2,
则△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.
∴S=12AC·BC-12AD·CD=12×5×12-12×3×4=24.
17.解:如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,
∴∠ACB=45°,AC2=AB2+BC2=8.
在△ACD中,
∵AC2+CD2=8+1=9,AD2=32=9,
∴AD2=AC2+CD2,∴∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°.
18.解:(1)12(n2-1)　12(n2+1)
(2)∵a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m表示大于1的整数),
∴a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1)2,c2=(m2+1)2,
∴a2+b2=c2.∴a,b,c为勾股数.
(3)2a2+2a,2a+1.