2021—2022学年苏科版八年级数学上册第2章轴对称图形 中考演练 （word版含答案）

第2章　轴对称图形
一、选择题
1.[2020·淄博] 下列图形中,不是轴对称图形的是 (　　)
图1
2.[2020·哈尔滨] 如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是B',则∠CAB'的度数为 (　　)
图2
A.10° B.20°
C.30° D.40°
3.[2020·怀化] 如图3,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,若BD=3,则DE的长为 (　　)
图3
A.3 B.32
C.2 D.6
4.[2020·益阳] 如图4,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为 (　　)
图4
A.25° B.30°
C.35° D.40°
5.[2020·湖北] 如图5,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF.有下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数是 (　　)
图5
A.1 B.2
C.3 D.4
6.[2020·宜宾] 如图6,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,M,N分别是线段BE,AD上的两点,且BM=13BE,AN=13AD,则△CMN的形状是 (　　)
图6
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.不等边三角形
二、填空题
7.[2020·岳阳] 如图7,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD =　　　　°.?
图7
8.[2020·阜新] 如图8,直线a,b分别过等边三角形ABC的顶点A,C,且a∥b,∠1=42°,则∠2的度数为　　　　.?
图8
9.[2020·黄冈] 如图9,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD =　　　　°.?
图9
10.[2020·南京] 如图10,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠1=39°,则∠AOC =　　　　°.?
图10
11.[2019·黄冈] 如图11,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,M为AB的中点,若 ∠CMD =120°,则CD的最大值是　　　　.?
图11
12.[2020·十堰] 如图12,D是等边三角形ABC外一点.若BD=8,CD=6,连接AD,则AD的最大值与最小值的差为　　　　.?
图12
三、解答题
13.[2020·鞍山] 如图13,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.求证:CB=CD.
图13
14.[2020·吉林] 图14都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图:
(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点;
(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点;
(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.
图14
15.[2020·广东] 如图15,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,∠ABE= ∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
图15
16.[2020·烟台] 如图16,在等边三角形ABC中,E是边AC上一定点,D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
如图①,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;
【类比探究】
如图②,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.
图16
答案
1.D　[解析] A,B,C选项中均是轴对称图形,D选项中不是轴对称图形.故选D.
2.A　[解析] ∵∠BAC=90°,∠B=50°,∴∠C=40°.∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是B',∴∠AB'B=∠B=50°,∴∠CAB'=∠AB'B-∠C=10°.故选A.
3.A　[解析] ∵∠B=90°,∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴DE=BD=3.故选A.
4.B　[解析] ∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD=50°.又∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠ACD=100°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°.故选B.
5.C　[解析] 如图,过点A作AM⊥BD于点M,AN⊥EC于点N.
设AD交EF于点O.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴CE=BD,∠BDA=∠CEA,故①正确;
又∵∠DOF=∠AOE,
∴∠DFO=∠EAO=90°,
∴BD⊥EC,故②正确;
∵△BAD≌△CAE,AM⊥BD,AN⊥EC,
∴AM=AN,
∴FA平分∠EFB,
∴∠AFE=45°,故④正确,
若③成立,则易得∠AEF=∠ABD=∠ADB,
推出AB=AD,由题意知,AB不一定等于AD,
所以AF不一定平分∠CAD,故③错误.
故选C.
6.C　[解析] ∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE与△ACD中,
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴∠MBC=∠NAC,BE=AD.
∵BM=13BE,AN=13AD,
∴BM=AN.
在△MBC与△NAC中,BM=AN,∠MBC=∠NAC,BC=AC,
∴△MBC≌△NAC(SAS),
∴MC=NC,∠BCM=∠ACN.
∵∠BCM+∠MCA=60°,
∴∠ACN+∠MCA=60°,
即∠MCN=60°,
∴△MCN是等边三角形.故选C.
7.70　[解析] 在Rt△ABC中,∠A=20°,则∠B=70°.
∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴BD=CD=AD,∴∠BCD=∠B=70°.
8.102°　[解析] ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵∠1=42°,a∥b,
∴∠2=∠1+∠BAC=42°+60°=102°.
9.40　[解析] ∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB=70°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.
10.78　[解析] 解法一:连接BO,并延长BO到点P,如图.设l1交AB于点D,l2交BC于点E.
∵线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,
∴OA=OB=OC,∠BDO=∠BEO=90°,
∴∠DOE+∠ABC=180°.
∵∠DOE+∠1=180°,
∴∠ABC=∠1=39°.
∵OA=OB=OC,
∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.
∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°.
解法二:连接OB,如图.设l1交AB于点D,l2交BC于点E.
∵线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,
∴OA=OB=OC,
∴∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE.
∵∠DOE+∠1=180°,∠1=39°,
∴∠DOE=141°,即∠BOD+∠BOE=141°,
∴∠AOD+∠COE=141°,
∴∠AOC=360°-(∠BOD+∠BOE)-(∠AOD+∠COE)=78°.
11.14　[解析] 如图,作点A关于CM的对称点A',点B关于DM的对称点B'.
∵∠CMD=120°,
∴∠AMC+∠DMB=60°,
∴∠CMA'+∠DMB'=60°,
∴∠A'MB'=60°.
∵MA'=MB',
∴△A'MB'为等边三角形.
∵CD≤CA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=2+4+8=14,
∴CD的最大值为14.
12.12　[解析] 如图,以CD为边向外作等边三角形CDE,连接BE.
∵△CDE和△ABC是等边三角形,
∴CE=CD,CB=CA,∠ECD=∠BCA=60°,
∴∠ECB=∠DCA.
在△ECB和△DCA中,CE=CD,∠ECB=∠DCA,CB=CA,
∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD.
∵DE=CD=6,BD=8,
在△BDE中,BD-DE即8-6∴2∴2∴AD的最大值与最小值的差为14-2=12.
13.证明:连接AC,如图所示.
在△AEC与△AFC中,
AC=AC,CE=CF,AE=AF,
∴△AEC≌△AFC(SSS),
∴∠CAE=∠CAF.
∵∠B=∠D=90°,
∴CB=CD.
14.解:答案不唯一.(1)如图①,MN即为所求.
(2)如图②,PQ即为所求.
(3)如图③,△DEF即为所求.
15.证明:在△BDF和△CEF中,
∠DBF=∠ECF,∠BFD=∠CFE,BD=CE,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF=CF,
则∠FBC=∠FCB,
∴∠FBC+∠DBF=∠FCB+∠ECF,
即∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
16.解:【问题解决】
证明:在CD上截取CH=CE,如图①所示.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ECH=60°,
∴△CEH是等边三角形,
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°.
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴∠DEH=∠FEC.
在△DEH和△FEC中,DE=FE,∠DEH=∠FEC,EH=EC,
∴△DEH≌△FEC(SAS),
∴DH=CF,
则CD=CH+DH=CE+CF,
∴CE+CF=CD.
【类比探究】线段CE,CF与CD之间的数量关系是CF=CD+CE.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°.
过点D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图②所示.
∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
∴∠GDC=∠DGC=60°.
∴△GCD为等边三角形,
∴DG=CD=CG.
∵△EDF为等边三角形,
∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,
∴∠EDG=∠FDC.
在△EGD和△FCD中,
ED=FD,∠EDG=∠FDC,DG=DC,
∴△EGD≌△FCD(SAS),
∴EG=CF,
∴CF=EG=CG+CE=CD+CE.