2021年暑假九年级数学苏科版上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》自学能力达标提升训练（word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》暑假自学
能力达标提升训练（附答案）
1．若m、n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则mn﹣m﹣n的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．﹣4
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
4．若2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则m+n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5
5．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
6．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1?x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
7．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　）
A．4 B．9 C．12 D．15
8．关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
9．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2
10．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
11．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
12．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
13．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1?x2的值为 　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
15．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
16．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
17．已知是方程组的解．
（1）求ab的值；
（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程x2﹣（a+b）x+ab＝0的解，试判断这个三角形的形状并说明理由．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m 的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
参考答案
1．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣2，
∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝﹣2﹣2＝﹣4，
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
3．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
4．解：∵2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，
∴，（2+）（2﹣）＝n，
∴m＝﹣4，n＝1，
∴m+n＝﹣3．
故选：B．
5．解：由题意得△＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
6．解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1?x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1?x2＝﹣2m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
7．解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
8．解：∵a＝3，b＝﹣7，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝49﹣4×3×4＝1＞0，
∴关于x的方程3x2﹣7x+4＝0有两个实数根．
设关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的两根分别是α、β．
又∵αβ＝＞0，
∴α、β同号．
∵α+β＝＞0，
∴α＞0，β＞0．
∴该方程有两个正根．
故选：A．
9．解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1?x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1?x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1?x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1?x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
10．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
11．解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0中的a＝1，b＝4，c＝m﹣3，且该方程有两个负整数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
∴m≤7．
∵m为正整数，且该方程的根都是负整数，
∴x＝＝﹣2±．
∴．
解得m＞3．
则3＜m≤7．
又∵是整数，
∴m的值6或7，
∴6+7＝13．
故选：B．
二．填空题（共1小题）
13．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1?x2＝﹣1，x1+x2＝1，
∴x1+x2﹣x1?x2＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为2．
三．解答题（共7小题）
14．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
15．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
16．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．
故k的值是﹣4．
17．解：（1）把代入方程组，
得，
解得：．
所以ab＝3×5＝15；
（2）该三角形是直角三角形．理由如下：
由（1）知，，则a+b＝8，ab＝15．
由题意知，x2﹣8x+15＝0．
整理，得（x﹣3）（x﹣5）＝0．
解得x1＝3，x2＝5，
所以该三角形的三边长分别是3，4，5．
因为32+42＝52．
所以该三角形是直角三角形．
18．解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
19．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1?x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，
∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．