2021年暑假九年级数学苏科版上册《1.4用一元二次方程解决问题》自学能力达标提升训练（word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《1.4用一元二次方程解决问题》暑假自学
能力达标提升训练（附答案）
1．疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（　　）
A．3x2＝147 B．3（1+x）2＝147
C．3（1+x+x2）＝147 D．（3+3x）2＝147
2．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（　　）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540 B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540 D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
3．某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
4．某口罩加工厂2020年一月份口罩产值达50万元，第一季度总产值达175万元，若设二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（　　）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
5．某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得（　　）
A．6（1+x）2＝17.34 B．17.34（1+x）2＝6
C．6（1﹣x）2＝17.34 D．17.34（1﹣x）2＝6
6．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为　 　．
7．阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0．我们可以将x2﹣1视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：
设x2﹣1＝y，原方程化为y2﹣3y＝0①解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0．∴x＝±1
当y＝3时，x2﹣1＝3，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
请利用换元法解出方程x2﹣4+2＝0的根是　 　．
8．如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是　 　m．
9．已知关于x、y的方程组有两组相同的实数解，求m的值．
10．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，该方程变形为x2﹣px＝﹣q，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：
已知：x2﹣2x﹣1＝0，且x＞0，求x4﹣2x3﹣3x的值．
11．甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
12．小明家在安徽某市经营了甲，乙两个连锁超市，这两个连锁超市4月份的销售额均为m万元，在5月份和6月份这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%．
（1）6月份甲超市的销售额比乙超市的销售额多　 　万元（用含m，x的式子表示）；
（2）若m＝10，且6月份甲超市的销售额比乙超市多0.8万元，求x的值．
13．据报道，安徽省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：
（1）求2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率（≈1.14）；
（2）如果2021年和2022年安徽省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？
14．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　 　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　 　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
15．近期，重庆的各大网红景点深受外地朋友追捧，像“洪崖洞”，“磁器口”等地方长期是人满为患．因此，重庆欢乐旅行社推出了“重庆舒适游”和“重庆豪华游”两种团票，其中“重庆豪华游”每张团票价格是“重庆舒适游”每张价格的2倍．
（1）该公司售卖“重庆舒适游”团票共收入50000元，售卖“重庆豪华游”团票共收入10000元，且售卖“重庆舒适游”团票比售卖“重庆豪华游”团票的数量多90张，求“重庆舒适游”团票每张的价格．
（2）2019年5月，重庆欢乐旅行社调整这两种团票价格，在四月份票价基础上，“重庆舒适游”每张价格上涨了a%（a为整数），“重庆豪华游”每张价格提高了3a%，且5月售卖“重庆舒适游”团票的数量比4月减少了a张，5月售卖“重庆豪华游”的数量减少为4月的一半，且5月售卖这两种团票的总销售额为55000元，求a的值．
16．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．
（1）试求出y与x的函数表达式；
（2）若要保证超市这批绿色食品每天盈利4500元，那么销售单价应为多少元？
17．如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm．
（1）若矩形ABCD的面积为ym2，用含x的代数式表示y；
（2）当矩形ABCD的面积是75m2时，求它的边长；
（3）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．
18．阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：n（n﹣3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n﹣3）＝20．整理得n2﹣3n﹣40＝0；解得n＝8或n＝﹣5，
∵n为大于等于3的整数，
∴n＝﹣5不合题意，舍去．
∴n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；
（2）小明说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为小明同学说法正确吗？为什么？
19．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
20．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．
参考答案
1．解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：3（1+x）2＝147，
故选：B．
2．解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540，
故选：C．
3．解：依题意得：x（x﹣1）＝21．
故选：B．
4．解：设二、三月份的月平均增长率为x，则二月份口罩产值为50（1+x）万元，三月份口罩产值为50（1+x）2万元，
依题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
5．解：依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34，
即6（1+x）2＝17.34．
故选：A．
6．解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，
根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]＝24，
解得：x＝6或x＝﹣2（舍去），
故答案为：6．
7．解：设＝y，y2＝x2﹣1，
原方程可变形为：y2﹣4y+3＝0．
∴（y﹣1）（y﹣3）＝0．
∴y1＝1，y2＝3．
当y＝1时，即＝1，
两边平方，得x2＝2，
∴x1＝，x2＝﹣．
当y＝3时，即＝3，
两边平方，得x2＝10，
∴x3＝，x4＝﹣．
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
8．解：设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m．
根据题意可得，x（18﹣2x）＝36．
解得x1＝6（舍去），x2＝3．
答：AB的长为3m．
故答案是：3．
9．解：
由y＝x﹣m，得x＝y+m，
把它代入方程②，得y2+y+m＝1，
y2+y+m﹣1＝0，
根据题意，有△＝1﹣4（m﹣1）＝0，
∴m＝．
10．解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的解为：x＝＝1±，
由于x＞0．
所以x＝1+．
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，x2＝2x+1．
∴x4﹣2x3﹣3x＝x2（x2﹣2x）﹣3x＝x2﹣3x＝2x+1﹣3x＝1﹣x．
当x＝1+时，
原式＝1﹣（1+）＝﹣．
11．解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，
解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．
12．解：（1）两超市3～5月的销售额可列表格如下：
3月份 4月份 5月份
甲超市销售额 m m（1+x%） m（1+x%）（1+x%）＝m（1+x%）2
乙超市销售额 m m（1﹣x%） m（1﹣x%）（1﹣x%）＝m（1﹣x%）2
5月份甲超市与乙超市的差额为m（1+x%）2﹣m（1﹣x%）2＝4mx%（万元）．
故答案是：4mx%或0.04mx；
（2）由题意，得4mx%＝4×10?x%＝0.8．
解得x＝2．
答：x的值是2．
13．解：（1）设2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率为x，
依题意得：3（1+x）2＝3.9，
解得：x1≈0.14＝14%，x2≈﹣2.14（不合题意，舍去）．
答：2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率约为14%．
（2）根据题意知，3.9×（1+14%）2＝5.07（万亿元）．
答：预测2022年全省GDP能达到约5.07万亿元．
14．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
15．解：（1）设“重庆舒适游”团票每张的价格为x元，则“重庆豪华游”团票每张的价格为2x元，
依题意得：﹣＝90，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是解题的关键，且符合题意．
答：“重庆舒适游”团票每张的价格为500元．
（2）2019年4月“重庆舒适游”团票售出的数量为50000÷500＝100（张），
2019年4月“重庆豪华游”团票售出的数量为100﹣90＝10（张）．
依题意得：500（1+a%）（100﹣a）+2×500（1+3a%）××10＝55000，
整理得：5a2﹣150a＝0，
解得：a1＝30，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为30．
16．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，400），（40，200）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣20x+1000）＝4500，
整理得：x2﹣70x+1225＝0，
解得：x1＝x2＝35．
答：销售单价应为35元．
17．解：（1）矩形的AB＝xm，则BC＝﹣x＝（20﹣x）（m）．
∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x．
即 y＝﹣x2+20x．
（2）当y＝75时，﹣x2+20x＝75．
解方程，得x1＝5，x2＝15．
∴矩形的两邻边的长分别为15m，5m．
（3）用方程或函数中的一种进行说明即可．
用方程的知识进行说明：
当y＝120，则有﹣x2+20x＝120，
即（x﹣10）2＝﹣20．
∵（x﹣10）2＝﹣20在实数范围内无解，
∴周长为40m的矩形的面积不可能为120m2．
用函数的知识进行说明：
∵y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，顶点坐标为（10，100），
即该函数的最大值为100，不可能取到120．
∴周长为40m的绳子围成的矩形的面积不可能为120m2．
18．解：（1）根据题意得：，
整理得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝6或n＝﹣3．
∵n为大于等于3的整数，
∴n＝﹣3不合题意，舍去．
∴n＝6，即多边形是六边形；
（2）小明同学说法是不正确的，
理由如下：当时，
整理得：n2﹣3n﹣20＝0，
解得：，
∴符合方程n2﹣3n﹣20＝0的正整数n不存在，
∴多边形的对角线不可能有10条．
19．解：（1）（280﹣220）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）设每件商品应降价x元，
由题意，得 （280﹣x﹣220）（30+3x）＝1800×2，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
20．解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，
∴AP＝4cm，AQ＝4cm，
∴S△APQ＝×4×4＝8（cm2）．
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
根据题意得：S△ABC＝××12×8＝24cm2，
当0＜t＜6 时如图1：
S△APQ＝（12﹣2t）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12（舍去）或t＝2．
当6＜t＜8 时如图2：
S△APQ＝（2t﹣12）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+72＝0，
△＜0，无解．
当t＞8时如图3：
S△APQ＝（2t﹣12）（t﹣8）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12或t＝2（舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一