2021—2022学年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性 同步专题提升训练 （word版含答案解析）

2021年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》同步专题提升训练（附答案）
1．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（　　）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
2．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
5．如图，四边形ABCD中，CD＝3，AD＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（　　）
A．＜CD＜ B．CD＞2 C．1＜CD＜2 D．0＜CD＜
7．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，则∠BAC等于（　　）
A．60° B．75° C．90° D．135°
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝60°，∠ADB＝78°，∠BDC＝24°，则∠DBC＝（　　）
A．18° B．20° C．25° D．15°
9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP； ⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值（　）
A． B． C．或 D．或
11．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝　 　．
12．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝　 　．
13．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为　 　．
14．在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝9cm，DE＝3cm，则BC＝　 　cm．
16．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为　 　．
17．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有　 　（填上所有正确结论的序号）
18．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是　 　．
19．已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
22．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．
（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；
（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC＝PF，PQ＝PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？
23．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
24．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝　 　；（直接写结果）
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
25．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　 　；此时＝　 　；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
26．学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①　 　；②　 　；③　 　．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
27．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．
（1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；
（2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
参考答案
1．解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．故选：D．
2．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
3．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝20°，
∴∠ABD＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠CBD＝80°，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣80°）＝50°，故选：A．
4．解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；故选：D．
5．解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长是：DE+CD+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故选：B．
6．解：延长AD，BC交于E，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
过B作BF⊥AE于F，
∵AB＝2，
∴BF＝，
∵∠D＝90°，
∴CD∥BF，
∴CD长的取值范围是0＜CD＜，故选：D．
7．解：连接BC，如图，
∵AB、AC和BC都是正方体的三个面的对角线，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°．故选：A．
8．解：如图延长BD到M使得DM＝DC，
∵∠ADB＝78°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝102°，
∵∠ADB＝78°，∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝102°，
∴∠ADM＝∠ADC，
在△ADM和△ADC中，
，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM＝AC＝AB，
∵∠ABD＝60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M＝∠DCA＝60°，
∵∠DOC＝∠AOB，∠DCO＝∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝∠ODC＝24°，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴24°+2（60°+∠CBD）＝180°，
∴∠CBD＝18°，故选：A．
9．解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠BCE＝∠ACD＝120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD＝BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ＝∠CAP，
又∵∠PCQ＝∠ACB＝60°，CB＝AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ＝CP，又∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC＝60°＝∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∵AC＝BC，∠DAC＝∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，AP＝BQ，故本选项正确；
④已知△ABC、△DCE为正三角形，
故∠DCE＝∠BCA＝60°?∠DCB＝60°，
又因为∠DPC＝∠DAC+∠BCA，∠BCA＝60°?∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本选项错误；
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠AOB＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB＝∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠AOB＝60°，
故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③⑤．故选：C．
10．解：由题意得，CM＝3t，BN＝3t，
则BM＝10﹣3t，
当∠BMN＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即10﹣3t＝×3t，
解得，t＝，
当∠BNM＝90°时，BN＝BM，即10﹣3t＝2×3t，
解得，t＝，
综上所述，当t＝或时，△BMN是一个直角三角形，故选：D．
11．解：连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，BQ＝CQ＝＝1，
由勾股定理得：AQ＝＝＝，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴＝++，
∴＝，
∴＝×2×（OE+OF+OD），
解得：OD+OE+OF＝，
故答案为：．
12．解：∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
13．解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠1＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠1+∠BAC＝42°+60°＝102°；
故答案为：102°．
14．解：①有三个角是60°的三角形是等边三角形，正确；
②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，正确；
故答案为①②③④．
15．解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝，
∵∠BED＝60°，∠BEF＝30°，
∴∠DEG＝30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD＝，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH＝CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH＝GD＝1.5．
∴BC＝2BH＝2×（4.5+1.5）＝12．
解法二：延长ED交BC于M，证明△BEM是等边三角形，推出BM＝BE＝9cm，证明HM＝3cm可得结论．
故答案为：12．
16．解：∵DE＝CE
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠BAC，
∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，
∵∠B＝60°，
∴△ABC及△DCE是等边三角形，
∵D为BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE：AB＝1：2．
故答案为：1：2．
17．解：如图，
①连接OB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②∵△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ＝OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO＝∠PAO＝120°，
在△BQO和△PAO中，
，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA＝BQ，
∵AB＝BQ+AQ，
∴AC＝AO+AP，故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④错误．
故答案为：①②③．
18．解：如图延长AB到E使BE＝AD，连接CE，
∴AE＝AD+DB+BE＝2AD+BD，
∵AC＝2AD+BD，
∴AE＝AC，∵∠A＝60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠E＝∠ACE＝60°，
∵∠B＝4∠ACD，
设∠ACD＝x，则∠ABC＝4x，
在△ADC与△EBC中，，
∴△ADC≌△EBC，
∠ACD＝∠ECB＝x，
∴∠ABC＝∠E+∠BCE，
∴4x＝60°+x，∴x＝20°，
∴∠BCD＝60°﹣20°﹣20°＝20°，
故答案为：20°
19．证明：如图，连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴DE＝AB＝AE＝CD，
∵DG⊥CE于G，
由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠SCB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，
∴∠DBC＝∠E，
∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，
∵DH垂直于BE，
∴H为BE中点（三线合一）．
21．证明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO＝CD，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠DCO＝60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：AD∥OC，
理由是：∵△DOC是等边三角形，
∴∠CDO＝∠DOC＝60°，
∵∠α＝120°，△COB≌△CDA，
∴∠ADC＝∠COB＝120°，
∴∠ADO＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ADO＝∠DOC＝60°，
∴AD∥OC．
（3）解：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣∠α﹣60°＝190°﹣∠α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝∠α﹣60°，
∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（∠α﹣60°）﹣（190°﹣∠α）＝50°，
若∠ADO＝∠AOD，即∠α﹣60°＝190°﹣∠α，
解得：∠α＝125°；
若∠ADO＝∠OAD，则∠α﹣60°＝50°，
解得：∠α＝110°；
若∠OAD＝∠AOD，即50°＝190°﹣∠α，
解得：∠α＝140°；
即当a为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
22．解：（1）EF⊥AB．
∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF＝PC，PE＝PQ，
∠EPF+∠FPQ＝∠QPC+∠FPQ＝60°，
∴∠EPF＝∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EPF＝∠QPC＝90°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°；
又∵∠FPC＝60°，
∴∠B＝∠FPC，
∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；
（2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立．
证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF＝PC，PE＝PQ，
∠EPF+∠EPC＝∠QPC+∠EPC＝60°，
∴∠EPF＝∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EFP＝∠QCP＝90°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°；
又∵∠FPC＝60°，
∴∠B＝∠FPC，
∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；
（3）要使（1）的结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF＝∠B＝∠QPE．
需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB．
23．证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即：∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC，
∵BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴CE＝BD＝AC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，
∴∠ECD＝60°．
24．解：（1）设AP的长是x，则BP＝2a﹣x，
∴S△APC+S△PBD＝x?x+（2a﹣x）?（2a﹣x）
＝x2﹣ax+a2，
当x＝a时△APC与△PBD的面积之和取最小值，
故答案为：a；
（2）α的大小不会随点P的移动而变化，
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，
∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°；
（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA＝PC，∠APC＝60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB＝PD，∠BPD＝60°，
∴∠APC＝∠BPD，
∴∠APD＝∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD＝∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，
∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°．
25．解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，
此时 ，
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴＝；
（2）猜想：结论仍然成立，
证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴＝；
（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．
26．（1）证明：在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠BAQ+∠ABQ＝∠MBQ+∠ABQ＝60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，
，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC＝∠BNA，
∴∠NQA＝∠NBC+∠BMQ＝∠NBC+∠BNA＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BQM＝60°．
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB＝∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC＝90°，
∴∠QBM+∠QMB＝90°，
∴∠BQM＝90°，即∠BQM≠60°．
27．解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC
∴BC?AM＝AB?PD+AC?PF
即 BC?h＝AB?h1+AC?h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC＝AB＝AC，
∴h＝h1+h2；
（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：
如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC?AM＝AB?PD+AC?PE+BC?PF
即BC?h＝AB?h1+AC?h2+BC?h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC．
∴h＝h1+h2+h3；
点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，
即BC?AM＝AB?PD+AC?PE﹣BC?PF，
∵AB＝BC＝AC，
∴h1+h2﹣h3＝h，
即h1+h2﹣h3＝h．