2021-2022学年苏科版数学九年级上册2.6正多边形与圆课时作业（word版含答案）

2.6　正多边形与圆
知识点 1　正多边形的相关概念
1.[2020·株洲] 一个蜘蛛网如所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心点为O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON=　　　　°.?
2.[教材练习第2题变式] 如所示,正六边形ABCDEF内接于半径为5的☉O,则DF=　　　　.?
知识点 2　画正多边形
3.画正六边形.
4.[2019·扬州] 如,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在AC上,且BC是☉O的内接正十边形的一边.若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=　　　　.?
5.[2020·通辽] 如,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm,点P,Q同时分别从点A,D出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t s.
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)当四边形PBQE是矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

教师详解详析
1.80　[解析] 根据正多边形的性质,得中心角为∠AOB=360°÷9=40°,
∴∠MON=2∠AOB=80°.
2.53　[解析] ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOF=360°÷6=60°.又∵OA=OF,∴△AOF为等边三角形.∴AF=AO=OD=5,∠OFA=60°.∵OD=OF,∴∠ADF=∠OFD=30°.
∴∠AFD=90°.在Rt△AFD中,DF=AD2-AF2=53.
3.[解析] 画正六边形的途径有两种,一种是用量角器将圆六等分;另一种是用圆规和直尺将圆六等分.
解: (方法一)用量角器将圆六等分(略).
(方法二)用直尺和圆规将圆六等分.
作法:1.在☉O中任意作一条直径AD;
2.分别以点A,D为圆心,☉O的半径为半径画弧,与☉O相交于点B,F和点C,E;
3.依次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,六边形ABCDEF就是所求作的正六边形.
4.15　[解析] 连接BO.∵AC是☉O的内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷6=60°.∵BC是☉O的内接正十边形的一边,∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=
60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.
5.解:(1)证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=
∠D=∠DEF=∠F.∵点P,Q同时分别从点A,D出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t,PF=QC=6-t.在△ABP和△DEQ中,AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴△ABP≌△DEQ(SAS),
∴BP=EQ.同理可证PE=QB,∴四边形PBQE为平行四边形.
(2)如图①,连接BE,OA,则∠AOB=360°6=60°.∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=6,BE=2OB=12.当t=0时,点P与点A重合,点Q与点D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE.由题易知∠EAF=∠AEF=30°,∴∠BAE=120°-30°=90°,
∴此时四边形ABDE是矩形,
即四边形PBQE是矩形.
当t=6时,点P与点F重合,点Q与点C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图②所示.
同法可知∠BFE=90°,此时四边形PBQE是矩形.综上所述,当t=0或t=6时,四边形PBQE是矩形.由题易知AE=122-62=63,∴矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=AB×AE=6×63=363.∵正六边形ABCDEF的面积=6×△AOB的面积=6×14×矩形ABDE的面积=6×14×363=543,∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比为23.