2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第18章 相似形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第18章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）
A．2：7
B．4：7
C．7：2
D．7：4
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝2，DB＝4，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．下列说法不正确的是（　　）
A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
4．已知2x＝3y，则下列各式错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．6x＝9y
5．小正方形和大正方形边长的比是2：7，小正方形和大正方形面积的比是（　　）
A．2：7
B．6：21
C．4：49
D．7：2
6．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝4，CE＝1，BD＝3，则DF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．1
7．若，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
8．一栋楼房东西方向长40m，在图纸上的长度是50cm．这幅图纸的比例尺是（　　）
A．1：1.25
B．1：125
C．1：8
D．1：80
9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB＝2，则CD的长为（　　）
A．﹣1
B．3﹣
C．
+1
D．3+
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（　　）
A．
B．
C．﹣1
D．
二．填空题
11．已知：＝，且y≠4，那么＝　
　．
12．如图，a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、B、F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为　
　．
13．已知，，则的值为　
　．
14．如果，那么＝　
　．
15．如图，l1∥l2∥l3，AC交l1、l2、l3分别于A、B、C，且AC＝6，BC＝4，DF交l1、l2、l3分别于D、E、F，则＝　
　．
16．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的面积扩大为原来的　
　倍．
17．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是　
　．
18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度约为　
　cm．（结果保留两位小数）
19．已知＝＝，且3x+4z﹣2y＝40，则x的值为　
　．
20．已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为　
　．
三．解答题
21．已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求4a﹣3b+c的值．
22．已知a：b＝3：4，b：c＝，求a：b：c．
23．已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
24．已知＝＝＝3（b+d+f≠0），且k＝．
（1）求k的值；
（2）若x1，x2是方程x2﹣3x+k﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
25．（1）求x的值：5：（x+1）＝3：x．
（2）已知线段a＝2，b＝8，求a，b的比例中项线段c．
26．我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠B＝36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）
（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是　
　度和　
　度；
（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？
（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有　
　个等腰三角形，其中有　
　个黄金等腰三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵2y﹣7x＝0，
∴2y＝7x，
∴x：y＝2：7，
故选：A．
2．解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故选：B．
3．解：A、两三角形对应角相等，故相似；
B、所有的矩形的对应角相等，对应边的比不相等，故不相似；
C、所有边数相等的正多边形相似的；
D、所有的等边三角形都相似．
故选：B．
4．解：A、变成等积式是：2x＝3y，不符合题意；
B、变成等积式是：2x＝3y，不符合题意；
C、变成等积式是：3x＝2y，符合题意；
D、变成等积式是：2x＝3y，不符合题意．
故选：C．
5．解：因为，小正方形和大正方形边长的比是2：7，
所以面积的比是：（2×2）：（7×7）＝4：49，
故选：C．
6．解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得，DF＝，
故选：C．
7．解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：C．
8．解：40m＝4000cm，
50cm：4000cm＝1：80．
故这幅图纸的比例尺是1：80．
故选：D．
9．解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝BC，△BCD∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∴点D是AC的黄金分割点，AD＞CD，
∴AD＝AC＝﹣1，
∴CD＝AC﹣AD＝3﹣，
故选：B．
10．解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
∵BD＝BC＝1，
∴AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，
∴＝，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵＝，且y≠4，
∴＝．
故答案为：
12．解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝5，DE＝4，
∴＝，即＝，
解得，EF＝，
故答案为：．
13．解：的两内项是b、1，两外项是a、2，
根据比例的性质可知：b＝2a，
所以，
＝
＝．
故本题的答案是．
14．解：，
＝，
1﹣＝，
＝，
＝．
故答案为：．
15．解：∵AC＝6，BC＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝2，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
故答案为：．
16．解：把一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，得到的三角形与原三角形相似，且相似比为1：5，
∴面积比为1：25，
∴三角形的面积扩大为原来的25倍，
故答案为：25．
17．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，
∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB≈0.618×10＝6.18（cm），
故答案为：6.18．
19．解：设＝＝＝k（k≠0），
则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∵3x+4z﹣2y＝40，
∴6k+20k﹣6k＝40，
解得k＝2，
∴x＝2k＝4．
故答案为：4．
20．解：∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a+1）：4
即3（a+1）＝4a
解得a＝3．
故答案为3．
三．解答题
21．解：由题意设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝15，
∴2k+9k﹣8k＝15，
∴k＝5，
∴a＝10，b＝15，c＝20；
∴4a﹣3b+c
＝4×10﹣3×15+20
＝15．
22．解：∵b：c＝：＝5：3＝20：12，a：b＝3：4＝15：20，
∴a：b：c＝15：20：12．
23．解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），
则＝＝1；
（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则
6k﹣3k+5k＝24，
解得k＝3．
则a＝2k＝6，
b＝3k＝9，
c＝5k＝15．
24．解：（1）∵＝＝＝3（b+d+f≠0），
∴a＝3b，c＝3d，e＝3f
∴k＝＝＝3；
（2）∵x1，x2是方程x2﹣3x+k﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1?x2＝k﹣2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2（k﹣2）＝9﹣2k+4＝13﹣2k＝13﹣6＝7．
25．解：（1）5：（x+1）＝3：x，
3（x+1）＝5x，
3x+3＝5x，
x＝1.5；
（2）∵c
为线段
a，b
的比例中项，
∴c2＝ab，
即
c2＝16，
由于
c＞0，故
c＝4．
26．解：①在线段BC上截取BD＝BA，连接AD，如图1所示：
则△ABD即为所求，理由如下：
∵BD＝BA，∠B＝36°，
∴△ABD为黄金三角形；
②在∠BAC的内部作∠CAD＝∠C，交BC于点D，如图2所示：
则△ABD即为所求，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∴∠CAD＝∠C＝36°，∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝72°，
∴∠ADB＝∠BAD，
∴BA＝BD，
又∵∠B＝36°，
∴△ABD是黄金三角形．
27．解：（1）如图1所示：
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．
故答案为：108，36
（2）如图所示：
（3）根据（2）可知：
如图所示：
当1条直线可得到2个等腰三角形；
当2条直线可得到4个等腰三角形；
当3条直线可得到6个等腰三角形；
…
在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形．
故答案为2n，n