2021年暑假北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程同步专题提升训练2（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步专题提升训练2（附答案）
1．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x2+2＝0 B．4x2﹣4x﹣1＝0 C．3x2+4x+4＝0 D．4x2﹣5x+2＝0
4．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
5．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a≥1且a≠0
7．若一元二次方程kx2﹣4x﹣5＝0有两个实数根，求k的取值范围　 　．
8．已知关于x的方程x2﹣2x+3m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
9．已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
10．已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
11．如果一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，那么p的值是　 　．
12．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）； （2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
13．用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
14．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．
15．若关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p有两个不相等的实数根，求p的取值范围．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m＝﹣12，求此一元二次方程的根．
17．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
18．若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
19．已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）当k＝6时，求方程的实数根．
20．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
参考答案
1．解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
2．解：∵1☆x＝2，
∴1?x2﹣1?x＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
3．解：A．此选项方程根的判别式△＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C．此选项方程根的判别式△＝42﹣4×3×4＝﹣32＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式△＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根；
故选：B．
4．解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
故选：D．
5．解：设常数项为c，
由题意可知：△＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，
∴c≤，
故选：D．
6．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴，
∴a≤1且a≠0，
故选：C．
7．解：根据题意得k≠0且△＝（﹣4）2﹣4k×（﹣5）≥0，
解得k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
8．解：∵关于x的方程x2﹣2x+3m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3m＝0，
解得：m＝，
故答案为：．
9．解：方程化为x2﹣2x+3m＝0，
根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，
解得m＜．
故答案为m＜．
10．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×a×1＝1﹣4a≥0，
解得：a≤，
∴a的取值范围是a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
11．解：∵一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣p）2﹣4×1×3＝0，
解得p＝，
故答案为：±2．
12．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
13．解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
14．解：①∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2．
15．解：（1）方程（x﹣3）（x﹣2）＝p可化为x2﹣5x+6﹣p＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p）＝25﹣24+4p＞0，
∴p＞﹣，即满足条件的p的取值范围为p＞﹣．
16．解：（1）∵b2﹣4ac＝16﹣4m，
∴16﹣4m＝0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m＝4，
即m＝4时，方程有两个相等的实数根．
（2）当m＝﹣12时，方程为x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
解得，x1＝6，x2＝﹣2．
17．解：（1）∵方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴△＝4﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1；
（2）∵k＞﹣1，且k是最小整数，
∴k＝0，
把k＝0代入原方程，可得x2+2x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
18．（1）解：当a＝3，b＝4时，c＝±5，相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得△＝（c）2﹣4ab
＝2（a2+b2）﹣4ab
＝2（a﹣b）2≥0即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
19．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，
解得：k＞﹣；
（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，
整理得：x2+x﹣6＝0，
分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2，
∴x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∴△＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，
则（1﹣3）×（1﹣2）＝m2，
2＝m2，
m＝±，
原方程变形为x2﹣5x+4＝0，
设方程的另一个根为a，
则1×a＝4，
a＝4，
则方程的另一个根为4．