2021年暑假北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习同步培优提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》暑假自主学习
同步培优提升训练（附答案）
1．下列说法正确的有几个（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（　　）
A．四边形AEDF一定是平行四边形 B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
3．下列说法中不正确的是（　　）
A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（　　）
A．1 B．4﹣2 C． D．3﹣4
6．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
7．如图两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成的这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
8．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（　　）
A． B．3 C． D．
11．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（　　）
A．（1，2.5） B．（1，1+） C．（1，3） D．（﹣1，1+）
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 　．
14．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 　 　．
15．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　 　．
16．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是　 　．
17．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝　 　．
18．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是　 　度．
19．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
20．边长为4的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求EH的长；
（2）求证：∠EHG＝90°；
（3）正方形EFGH的面积．
21．如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于H点，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，求CE的长．
22．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．
23．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
24．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
25．如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB＝2时，求四边形ABED的面积；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝+1，求AF的长．
参考答案
1．解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确；
④对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；
故选：C．
2．解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．
B、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接CM，由于BD＝CD，DM＝AD，
∠ADB＝∠CDM，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴CM＝AB，
又∵∠DAB＝∠CAD，
∠DAB＝∠CMD，
∴∠CMD＝∠CAD，
∴CA＝CM＝AB，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，
结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠BAC不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形；
C、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确；
D、若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，正确．
故选：B．
3．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意；
C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，正确；故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，故符合题意．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴∠ABC＝90°，∠EBC＝60°，AB＝BC＝BE，
∴∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠AEB＝＝75°，
故选：D．
5．解：如图，在AF上取FG＝EF，连接GE，
∵EF⊥AB，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG＝EF，∠EGF＝45°，
由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG＝∠EGF，
∵∠BAE＝22.5°，∠EGF＝45°，
∴∠BAE＝∠AEG＝22.5°，
∴AG＝EG，
在正方形ABCD中，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝EF，
设EF＝x，∵AB＝AG+FG+BF，
∴4＝x+x+x，
解得x＝2（2﹣）＝4﹣2．
故选：B．
6．解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE＝EB，
∴FA＝FB，
∵AF＝2AE，
∴AF＝AB＝FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF＝AD＝AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB＝∠FAB＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠FAD＝∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF＝∠FCB＝15°，
∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝60°．
故选A．
解法二：连接BF．易知∠FCB＝15°，∠DOC＝∠OBC+∠FCB＝45°+15°＝60°
7．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两直尺的宽度相等，
∴DE＝DF．
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝BC?DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选：B．
8．解：阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝
故选：A．
9．解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝BC＝2，CF＝CE＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，
所以，△ACF是直角三角形，
由勾股定理得，AF＝＝4，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×4＝2．
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠PEB＝90°．
∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．
∴四边形PQBE为矩形．
∴PE＝BQ．
∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△PAQ为等腰三角形．
∴PQ＝AQ．
∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．
故选：B．
11．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故选：D．
12．解：过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，
∴AO＝BC，DE＝EF＝BF，
∠AOC＝∠DEF＝∠BFE＝∠BCF＝90°，
∴∠OEF+∠EFO＝∠BFC+∠EFO＝90°，
∴∠OEF＝∠BFO，
∴△EOF≌△FCB（ASA），
∴BC＝OF，OE＝CF，
∴AO＝OF，
∵E是OA的中点，
∴OE＝OA＝OF＝CF，
∵点C的坐标为（3，0），
∴OC＝3，
∴OF＝OA＝2，AE＝OE＝CF＝1，
同理△DHE≌△EOF（ASA），
∴DH＝OE＝1，HE＝OF＝2，
∴OH＝3，
∴点D的坐标为（1，3），
故选：C．
13．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
14．解：如图1，取CD的中点H，连接GH，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴点G在以DC为直径和圆上，
如图2，连接AC，BD交于点O，取DC的中点H，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，
∴点G在以H为圆心，CH为半径的圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，
此时AG＝AO＝AC＝，
即AG的最小值＝．
故答案为：；
15．解：如图，
连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，
∴＝，解得DE＝，
∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，
∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
16．解：过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，交AC延长线于H，
∵∠BAC＝90°，OF⊥AB，OH⊥AC，
∴四边形AFOH为矩形．
∴∠FOH＝90°．
∴∠COH+∠COF＝90°．
∵四边形BCDE为正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∴∠FOB+∠COF＝90°．
∴∠FOB＝∠COH．
∵OF⊥AB，OH⊥AC，
∴∠BFO＝∠CHO＝90°．
在△BFO和△CHO中，
∴△BFO≌△CHO（AAS）．
∴BF＝CH，OF＝OH．
∴矩形AFOH为正方形．
∴AF＝AH，AO＝AH．
∵AO＝6，
∴AH＝3．
∴CH＝AH﹣AC＝3﹣3．
∴BF＝CH＝3﹣3．
∴AB＝AF+BF＝AH+BF＝3+3﹣3＝6﹣3．
故答案为6﹣3．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
19．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
20．解：（1）∵ABCD是正方形
∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点
∴BE＝AH＝DG＝CF＝1，AE＝DH＝CG＝BF＝3
Rt△AEH中：EH＝＝
（2）∵∠A＝∠D，AH＝DG，AE＝DH
∴△AHE≌△HDG
∴EH＝HG，∠AHE＝∠HGD
∵∠HGD+∠DHG＝90°
∴∠AHE+∠DHG＝90°
∴∠EHG＝90°
（3）∵∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°
BE＝AH＝DG＝CF＝1，AE＝DH＝CG＝BF＝3
∴△AHE≌△EFB≌△GFC≌△DHG
∴HE＝EF＝HG＝GF
∴EFGH为菱形且∠EHG＝90°
∴EFGH为正方形
∴SEFGH＝EH2＝10
21．解：（1）证明：在等边△ABC中，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
又∵EH＝FH，
∴四边形EBFC是平行四边形，
∵E在AH上，AH⊥BC，BH＝CH，
∴BE＝CE，
∴四边形EBFC是菱形；
（2）若四边形EBFC是正方形，则∠BEC＝90°，
又∵BE＝CE，
∴△BEC为等腰直角三角形，
在等边△ABC中，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CE＝2×＝．
∴CE的长为．
22．（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCB＝∠FCE，
∵CE＝CF，
∴△DCF≌△BCE；
（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠DFC＝∠BEC＝60°，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝45°，
∴∠EFD＝15°．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE＝，
∵AF∥CD，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AC＝AG+GC，
∴AG＝，CG＝，
∴GE＝GC﹣CE＝＝；
如图2所示，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，
∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AF∥CD，
∴AG＝4，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE＝，
∴GE＝GA+AE＝5．
综上所述：GE的长为：，5．
24．证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG
∴△DCG≌△HGF（SAS）
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB＝3，EC＝5，
∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5
∵AD∥EF
∴EM＝
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE；
（2）如图①，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∴；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
由（1）知，△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∴AM＝EM＝x，
∵AM+BM＝AB＝+1，
∴x+x＝，
解得，x＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝+1﹣1﹣1＝．