2021年暑假北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习同步培优提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》暑假自主学习
同步培优提升训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD、△BDE中，A点在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为何？（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＝S3 C．AB＝AD D．EH＝GH
3．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）
A．△BDE和△DCF的面积相等 B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形 D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　 　．
5．如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．
6．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；
③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝　 　．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
9．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．
10．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝　 　．
11．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　 　．
12．图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为 　 　cm（结果保留根号）．
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　 　．
14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使平行四边形ABCD是矩形．
16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
17．如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
（1）求证：△OAF≌△DAB；
（2）求的值．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）
19．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
22．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
23．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．
24．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：?ABCD是矩形；
（2）求AD的长．
25．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝CB．
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴S△ABD＝S△CDB＝＝＝10；
∵S△BED＝S△ADE+S△ABD＝24，
∴S△ADE＝S△BDE﹣S△ABD＝24﹣10＝14．
故选：C．
2．解：如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．
∵四边形EFGH是矩形，
∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°,
∵OJ⊥DE,
∴∠OJH＝∠HEF＝90°,
∴OJ∥EF,
∵HO＝OF,
∴HJ＝JE,
∴EF＝GH＝2OJ,
∵S△DHO＝?DH?OJ,S△DHG＝?DE?GH,
∴S△DGH＝2S△DHO,
同法可证S△AEH＝2S△AEO,
∵S△DHO＝S△AEO,
∴S△DGH＝S△AEH,
∵S△DGC＝?CG?DH,S△ADH＝?DH?AE,CG＝AE,
∴S△DGC＝S△ADH,
∴S△DHC＝S△ADE,
∴S1＝S2,
故选：A．
3．解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD?h，S△DCE＝CD?h，
∴S△BDE＝S△DCE，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝BC，DF＝AB，
若AB＝BC，则FE＝DF，
∴四边形AEDF不一定是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝3，
故答案为：3．
5．解：∵矩形AEGF的周长为20cm，
∴AF+AE＝10cm，
∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，
∴阴影部分的面积＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），
故答案为：24．
6．解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，
∵在矩形ABCD中，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠DAC＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAO＝∠NOA＝30°，
∴AN＝ON＝DN，
∵AN+DN＝AD，
∴AN＝AD，
当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，
∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，
∴M点运动的距离是MM'＝AB，
N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，
又∵AD＝AB，
∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，
∴N点的运动速度是M点的，
故①正确，
当M在M'位置时，
∵∠OM'A＝90°，∠FAB＝90°，∠M'ON'＝90°，
∴四边形AM'ON'是矩形，
∴此时S△AMN＝S△MON，
故②正确，
令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，
∴AN＝AD+x＝+x，
∴S△AMN＝AM?AN＝（AB﹣BM）?AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，
∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，
∴S△AMN逐渐减小，
故③正确，
∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB?BM+BM2+AD2﹣2AD?DN+DN2＝（AB2﹣2AB?BM+3AB2﹣2?DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB?BM﹣2AB?DN）+BM2+DN2，
∵AN＝AD+BM＝AB+BM，
∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，
∵2AB?DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB?BM，
∴MN2＝（4AB2﹣2AB?BM﹣2AB?DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，
故④正确，
方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，
∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，
∴△OMB≌△OM'D（ASA），
∴BM＝DM'，OM＝OM'，
连接NM'，
∵NO⊥MM'，
则MN＝NM'，
∵NM'2＝DN2+DM'2，
∴MN2＝BM2+DN2，
故④正确，
故答案为：①②③④．
7．解：∵CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，
∴∠FDG＝∠FDC+∠CDG＝90°+45°＝135°，
∵E，F分别为BC，DA的中点，BC＝2GC，
∴DF＝DG，CE＝CG，
∴∠DGF＝∠∠DFG＝（180°﹣∠FDG）＝×45°＝22.5°，
同理，可得∠CEG＝∠CGE＝（180°﹣∠ECG）＝，
∴∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣EGC＝90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°．
故答案为：45°．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB+∠GFB＝180°，
故①正确；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
∵GE＝GF且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∴∠B＝90°，
∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB，
∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB，
∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°，
∴∠GEM＝∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
，
∴△GEM≌△GFN（AAS），
∴GM＝GN，
故②正确；
∵AB＝4，AD＝5，并由②知，
点G到边AD，DC的距离不相等，
故③错误：
当四边形EBFG是正方形时，点G到AB的距离最大，
∵EF＝AB＝4，
∴GE＝EB＝BF＝FG＝4×＝2，
故④正确．
故答案为：①②④．
9．解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝AF．
10．解：∵四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，
∴AB＝DE＝2OD＝4，
∵AB＝AC，
∴AC＝4，
故答案为4．
11．解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝3，
故答案为3．
12．解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，
由题意知∠FOD＝2∠DOE，
∵∠FOD+∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，
∴OE∥BC，
∴∠DBC＝∠DOE＝30°，
∴BC＝CD＝cm，
故答案为．
13．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
14．解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
15．解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，
又∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝2×6＝12，
∴AC＝12．
17．解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△OAF≌△DAB（ASA），
（2）由（1）得，△OAF≌△DAB，
∴AF＝AB，
连接BF，如图，
∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，
∴＝．
18．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）连接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，
2°当四边形ABCD是菱形时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
19．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
20．证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF＝AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形．
22．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS），
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
23．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF．
24．（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，
∴BD＝AC，
∴?ABCD是矩形；
（2）解：∵?ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝4．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．