2021年暑假北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程同步专题提升训练1（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步专题提升训练1（附答案）
1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤且a≠﹣2 B．a≤ C．a＜且a≠﹣2 D．a＜
3．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
4．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
7．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0
8．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
9．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
10．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围； （2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．
12．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2，若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．
14．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
15．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0．
（1）求证：当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）已知x＝n是它的一个实数根，若mn2﹣4n+m＝3+m2，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
17．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．
（1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+（﹣k2+k﹣2）＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程根均为负数，求实数k的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．
参考答案
1．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠﹣2，
故选：A．
3．解：根据题意得△＝(﹣4)2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
4．解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，
∴m≤0,
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0,
∴△＝12﹣4m＞0,
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
5．解：根据题意得k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k?（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故选：C．
6．解：方程根的判别式△＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
∵a＞2，
∴（a﹣2）2＞0，即△＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2，
故选：A．
8．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
9．（1）证明：∵△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
10．解：（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x＝﹣2．
11．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＞0，
解得k＞0．
（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞0，
故取k＝1，
则x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0，
解得，x1＝0，x2＝2．
12．解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝2，x2＝2k﹣1，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣1＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+2＝10．
13．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4?2k
＝4k2+1+4k﹣8k
＝4k2﹣4k+1
＝（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+2k＝0，
∴（x﹣2k）（x﹣1）＝0，
∴x1＝2k，x2＝1．
∵以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，
当3为斜边时，则（2k）2+12＝32，解得k＝（负数舍去），
当2k为斜边时，则（2k）2＝12+32，解得k＝（负数舍去）．
综上，k的值为，．
14．（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
15．（1）证明：∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m?（﹣5）
＝16+20m，
∵m＞0，16+20m一定大于0，
∴当m＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝n是它的一个实数根，
∴mn2﹣4n﹣5＝0．
∴mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝3+m2，
∴5+m＝3+m2
整理得：m2﹣m﹣2＝0，
解得：m＝2或m＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m?（﹣5）＝16+20m＞0
∴m＞﹣，
∴m＝2．
16．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
17．解：（1）由题意可知：k≠0，
∴△＝（k+8）2﹣32k
＝k2+16k+64﹣32k
＝k2﹣16k+64
＝（k﹣8）2≥0，
∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根．
（2）当三角形的腰长为4时，设底边为a，
∴x＝4是kx2﹣（k+8）x+8＝0的一根，
∴16k﹣4（k+8）+8＝0，
∴16k﹣4k﹣32+8＝0，
∴k＝2，
∴由根与系数的关系可知：4a＝，
∴a＝1，
此时1+4＞4，能够组成三角形，满足题意，
∴当底边为4时，设腰长为a，
∴kx2﹣（k+8）x+8＝0有两个相同的根，
∴△＝（k+8）2﹣32k＝0，
∴k＝8，
∴该方程的解为：x＝1．
∴1+1＜4，不能组成三角形，
综上所述，k＝2．
18．（1）证明：∵a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣k﹣2，
∴△＝（k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣2）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∵不论k为何实数，（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0．
∴不论k取何值，原方程必有两个实数根．
（2）解：∵x2+（k﹣1）x+（﹣k2+k﹣2）＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵方程根均为负数，
∴，
解得，＜k＜2，
∴实数k的取值范围是＜k＜2．
19．解：（1）根据题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得k＜；
（2）∵k＜且k为正整数，
∴k＝1或2．
当k＝1时，方程为x2+2x﹣2＝0 此方程无整数根；
当k＝2时，方程为x2+2x＝0 解得：x＝0或x＝﹣2．
∴k＝2，方程的根为x＝0或x＝﹣2．