2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定知识点分类提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》知识点分类提升训练（附答案）
一．矩形的性质
1．菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分
2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对边相等 D．对角线相等
3．在?ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．
下面四个推断：①EF＝MN；②EN∥MF；③若?ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④对于任意的?ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中，所有正确的有（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（　　）
A． B． C．2 D．2
5．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　）
A．4 B．2 C．5 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
7．如图，在?ABCD中，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，作矩形DEBF，则其对角线EF的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝5cm，AC，BD交于点O，∠AOD＝2∠AOB＝120°，则BC＝（　　）
A．5cm B．5cm C．5cm D．5cm
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
10．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作?EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，?EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　 　．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝1，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为 　 　．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD边上的中点，P是AB边上的一动点，M、N分别是PE、PC的中点，则线段MN的长为 　 　．
二．矩形的判定
14．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　）
A．AB＝AD B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB
三．矩形的判定与性质
15．下列语句正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．矩形的对角线相等 D．平行四边形是轴对称图形
16．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为　 　．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．
20．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．
21．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．
23．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．
26．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，M为AD的中点，N为AB中点，∠BNC＝2∠DCM，BN＝2，求CN的长
参考答案
一．矩形的性质
1．解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：D．
2．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
3．解：如图，连接EN，MF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△EAO和△FCO中，
，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴EO＝FO，
同理可得OM＝ON，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EN∥MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，
若四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），
∴∠EOM＜∠AOD＝90°，
∴不存在四边形ENFM是菱形，故③错误，
当EO＝OM时，则EF＝MN，
又∵四边形ENFM是平行四边形，
∴四边形ENFM是矩形，故④正确，
故选：D．
4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，
∵矩形的对角线为1，面积为m，
∴a?+b?＝1，ab＝m，
∴a+b＝＝＝，
∴矩形的周长为2（a+b）＝2，
故选：C．
5．解：连接AC，
∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝4，
∴EC＝DC＝2，
故选：B．
7．解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
∴DB＝8，
∵矩形DEBF，
∴EF＝DB＝8，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝2∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝5cm，
∴AC＝2OA＝10（cm），
∴BC＝＝＝5（cm），
故选：C．
9．解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，CE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，
∴CE＝＝＝10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
10．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△GFC，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB?sin60°＝6×＝3，
故答案为：3．
12．解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，FB＝1，
∴BE＝，AF＝2，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，
∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
∵EF＝＝＝2，DF＝＝＝4，
∴OE＝OF＝EF＝2，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，
∴FP1＝2，FP2＝4，FP3＝2，
故答案为2或4或2．
13．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，∠D＝90°，
∵E是AD边上的中点，
∴DE＝AD＝4，
∴CE＝＝＝2，
∵M，N分别是PE、PC的中点，
∴MN是△PCE的中位线，
∴MN＝CE＝，
故答案为：．
二．矩形的判定
14．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
三．矩形的判定与性质
15．解：A、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵矩形的对角线相等，
∴选项C符合题意；
D、∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
16．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
17．解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB＝4，
∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，
∴S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，
∴OP＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
18．解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
当CD⊥AB时，
∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
19．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90，
∴四边形AEBD是矩形；
（2）解：连接AG，
∵F是AB的中点，GF⊥AB，
∴GA＝GB，
∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4，
∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4，
设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x，
∵四边形AEBD是矩形，
∴∠E＝90°，
在Rt△AEG中，
∵EA2+EG2＝AG2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即EG＝3．
20．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴AE＝，DE＝AE＝，
∵四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴AB＝BF＝．
21．（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB，
设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝＝x，
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴AC＝2OC＝4，BD＝2OB＝8，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×4×8＝16．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OEFG是矩形，
∴OE＝FG＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，
在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，
∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．
23．证明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE交AB于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．
26．证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，延长BA，CM交于点E，
∵M为AD的中点，N为AB中点，
∴AN＝BN＝2，AM＝MD，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC（AAS），
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．