2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定知识点分类提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》知识点分类提升训练（附答案）
一．正方形的性质
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（　　）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
3．如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（　　）
A．BE＝AE B．PC＝PD
C．∠EAF+∠AFD＝90° D．PE＝EC
4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE∥CD于点E，PF∥BC于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF，其中正确结论的序号为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
6．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（　　）
A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2
7．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（　　）
A．24 B．12 C．4 D．2
8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
11．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，∠DAE的平分线AG与边CD相交于点G，与BC的延长线相交于点F．
（1）若AB＝2，BE＝CE，求CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，求证：G为边CD的中点．
12．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．
（1）求证：EF＝AE+CF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
二．正方形的判定
13．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
14．下列说法判断错误的是（　　）
A．对角线相互平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
15．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
16．已知△ABO，∠AOB＝90°，若以BO所在直线为对称轴，作出点A的对称点C；再以AO所在直线为对称轴，作出点B的对称点D，连接BC，CD，AD，则四边形ABCD是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．任意四边形
17．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　）
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
18．如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
三．正方形的判定与性质
19．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是斜边AB上的一动点，作DE⊥AC于点E，DF∥AC交BC于点F．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若四边形CEDF成为正方形，试求正方形的边长．
22．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形．
23．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．
（1）求证：BF＝DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
24．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
25．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
所以具有平行四边形所有的性质，即对边相等，对角相等，对角线互相平分，
正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
3．解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴AF＝BE，
在△AFD和△BEA中，
，
∴△AFD≌△BEA（SAS），
∴∠FDA＝∠EAB，
又∵∠FDA+∠AFD＝90°，
∴∠EAB+∠AFD＝90°，
即∠EAF+∠AFD＝90°，
故C正确，A、B、D无法证明其成立，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∵AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
5．解：①∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝EC，
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
∵正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
故选：A．
6．解：如图，
在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，
两边相交于M和N，
∠A1EN＝∠A1MF＝90°，
∠EA1N+∠ENA1＝90°，
∠EA1N+∠FA1M＝90°，
∴∠ENA1＝∠FA1M，A1E＝A1F，
∴△A1EN≌△A1MF（ASA），
∴四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1FA2的面积＝正方形ABCD的面积，
同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于正方形ABCD的面积，
∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD的面积＝4cm2，
故选：C．
7．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝12，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵BE＝DF＝8，
∴BF＝DE＝BD﹣BE＝4，
∴OE＝OF，EF＝DF﹣DE＝4，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝×12×4＝24，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
9．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
10．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣2，0），B（2，b），
∴OA＝2，OM＝2，
∴OD＝AM＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，
故选：C．
11．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，BE＝CE，
∴BE＝EC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点．
12．解：（1）证明：延长BC至H，使CH＝AE，连接DH，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°．
∴△DAE≌△DCH（SAS）．
∴DE＝DH，∠ADE＝∠CDH．
∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝45°．
∴∠FDC+∠CDH＝45°．
即∠FDH＝45°．
∴∠EDF＝∠FDH＝45°．
在△EDF和△HDF中，
．
∴△EDF≌△HDF（SAS）．
∴EF＝FH．
∵FH＝FC+CH＝FC+AE，
∴EF＝AE+FC．
（2）设EF＝x，则FH＝x．
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB＝BC＝3．
∵AE＝1，
∴BE＝2，CH＝1．
∴FC＝x﹣1．
∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，
∵BE2+BF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2．
解得：x＝．
∴EF＝．
二．正方形的判定
13．解：A、对角线互相垂直平分且平分每一组对角的平行四边形时菱形，错误，故A不符合题意．
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故B不符合题意．
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故C不符合题意．
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故D符合题意．
故选：D．
14．解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
故选：B．
15．
解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD＝BC×AE＝CD?AF．
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
16．解：如图，由题意可得，
AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
17．解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：B．
18．解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故本选项符合题意；
B．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是矩形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是矩形，
∴不能证明AC⊥BD，
∴不能证明AC⊥EF，
故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：A．
三．正方形的判定与性质
19．解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，
∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE＝AB．
同理：DF＝AC，
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
20．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：D．
21．解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DEA＝∠C．
∴DE∥BC．
∵DF∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
（2）若四边形CEDF成为正方形，设这个正方形的边长为x，
则CE＝DE＝DF＝FC＝x，BF＝4﹣x，
∵DF∥AC，
∴正方形的边长为．
22．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
又∵AE＝BF＝DH＝CG，
∴AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AHE≌△BEF（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
23．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝∠EAD，
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF＝DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC，
∴BE⊥AC，BE＝AE＝AC，
∵AF＝AE，
∴BE＝AF＝AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°，
∴BE∥AF，
∵BE＝AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE＝90°，AF＝AE，
∴四边形AFBE是正方形．
24．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．
又∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
25．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．