《第1章勾股定理》自主学习能力达标训练（附答案）2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习能力达标训练（附答案）
1．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　）
A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
2．下列各组数是三角形的三条边长，不能构成直角三角形的一组数是（　　）
A．12，16，20 B．7，24，25 C．0.6，0.8，1 D．9，12，13
3．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　）
A．21 B．15 C．6 D．21或9
4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　）
A．12 B．15 C．20 D．30
5．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）
A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米
6．下列几组数中，是勾股数的有（　　）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　）
A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2
8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列说法错误的是（　　）
A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则A＝90°
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则△ABC是直角三角形
9．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为　 　．
11．如图，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠CAD，∠ADE＝45°，BE＝，CD＝1，则BC＝　 　．
12．等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝　 　．
13．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是　 　．
14．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为　 　厘米/秒．
15．在长、宽都是6cm，高是9cm的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所爬行的最短路线的长是　 　．
16．一个直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则直角三角形的斜边长为　 　．
17．如图，一个圆柱的高为10cm，底面周长为24cm，一只蚂蚁P从A点出发，沿着圆柱侧面爬到BC的中点S，则爬行的最短距离是　 　．
18．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了　 　米．
19．如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，则AD＝　 　．
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
21．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
22．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
23．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．
24．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
25．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC边上一动点，问AP2+BP×CP的值是否为定值？如果是，求这个定值；如果不是，说明理由．
参考答案
1．解：标记如下：
∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×
＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
2．解：A、∵122+162＝202，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵72+242＝252，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.62+0.82＝12，
∴此三角形是直角三角形，不合题意．
D、∵92+122≠132，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
3．解：如图所示，在Rt△ABH中，
∵AB＝17，AH＝8，
∴BH＝＝15；
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，AH＝8，
∴CH＝＝6，
∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；
当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．
∴BC的长是21或9．
故选：D．
4．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
5．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 ＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故选：A．
6．解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
7．解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．
即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．
∵G的面积是62＝36cm2，
∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．
故选：D．
8．解：A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不合题意；
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，且c＞a，c＞b，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则a边为斜边，∠A＝90°，故本选项不合题意；
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本选项不合题意；
故选：B．
9．解：（1）边长为4的边为直角边，即第三边是斜边，
∴第三边长为；
（2）边长为4的边为斜边，
∴第三边长为．
故答案为：5或．
10．解：分三种情况：
①如图1所示：
当AD＝AB时，
由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；
②如图2所示：
当AD＝BD时，
设CD＝x，则AD＝x+3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
（x+3）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴CD＝；
③如图3所示：
当BD＝AB时，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∴BD＝5，
∴CD＝5﹣3＝2；
综上所述：CD的长为3或或2．
故答案为：3或或2．
11．解：作∠ABC的平分线BF交AC于F，连接DF交BA的延长线于H，
所以设∠ABF＝∠CBF＝x，
所以∠BAD＝90﹣x，
∠ADB＝90﹣x
所以∠BAD＝∠ADB，
所以AB＝BD，
又因为∠AED＝45+x，
∠EDH＝45+x，
所以∠AED＝∠EDH，
所以EH＝HD，
在△AFH和△DFC中，
因为∠AFH＝∠CFD，AF＝FD，∠HAF＝∠FDC，
所以△AFH≌△DFC（ASA），
所以AH＝CD＝1，HF＝CF，AF＝FD，
设AE＝m，
所以AB＝BD＝，
所以BC＝m+，
AC＝HD＝HE＝m+1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
，
解之得m＝3，
所以BC＝8.5，
故答案为：8.5．
12．解：等腰△ABC有两种情况：
①当△ABC为锐角三角形时，如图：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴DC＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，
∴BC＝＝＝2；
②当△ABC为钝角三角形时，如图：
∵AB＝AC＝10，BD＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴DC＝AC+AD＝10+8＝18，
∴BC＝＝＝6．
综上，BC的值为2或6．
故答案为：2或6．
13．解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6≤a≤16.6．
故答案为：15.6≤a≤16.6．
14．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，
∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，
∴点N运动的速度为2厘米/秒．
②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，
∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，
∴点N的速度为：＝3厘米/秒．
故点N的速度为2或3厘米/秒．
故答案为：2或3．
15．解：如图1，将纸箱展开，当蚂蚁经右表面爬到B点，则AB＝＝15cm，
如图2，当蚂蚁经上侧面爬到B点，则AB＝＝3cm，
比较上面两种情况，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是15cm，
故答案为：15cm．
16．解：设直角三角形的斜边长为x，则一直角边长为（x﹣2），
由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+62，
解得，x＝10，
故答案为：10．
17．解：圆柱侧面沿着S所在的母线展开，如图：
连接AS，则AB＝×24＝12，BS＝BC＝5，
在Rt△ABS中，根据勾股定理可得：AB2+BS2＝AS2，
即122+52＝AS2，
解得AS＝13．
∵A，S两点之间线段AS最短，
∴爬行的最短距离AS＝13cm．
故答案为：13cm．
18．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，
∴EC＝＝＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．
故答案为：0.9．
19．解：BC＝14，且BC＝BD+DC，
设BD＝x，则DC＝14﹣x，
则在直角△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即132＝AD2+x2，
在直角△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
即152＝AD2+（14﹣x）2，
整理计算得x＝5，
∴AD＝＝12，
故答案为 12．
20．解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝AB?BC+AC?CD
＝×1×2+××2
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
21．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42＝52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
22．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，
∴满足BD2+CD2＝BC2，
∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，
即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，
由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得x＝，
∴腰长为cm．
23．证明∵AC⊥BD，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ECD≌△BCA（SAS），
∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDC，
∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°，
∴DF⊥AB．
∴S△ABD＝S△BCE+S△ACD+S△ABE
＝a2+b2+c?EF，
∵S△ABD＝c?DF＝c（EF+DE）＝c（EF+c），
∴a2+b2+c?EF＝c（EF+c），
∴a2+b2＝c2．
24．解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD＝
而从B点到A点经过路程（20+10）m＝30m，
根据路程相同列出方程x+＝30，
可得＝30﹣x，
两边平方得：（10+x）2+400＝（30﹣x）2，
整理得：80x＝400，
解得：x＝5，
所以这棵树的高度为10+5＝15m．
故答案为：15m．
25．解：AP2+PB?PC的值是定值．理由如下：
如图，过A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵PB＝BH﹣PH，PC＝CH+PH，
∴AP2+PB?PC＝AH2+PH2+（BH﹣PH）（CH+PH）
＝AH2+PH2+BH2﹣PH2
＝AH2+BH2
＝AB2
＝4．
即AP2+PB?PC＝4，是定值．