2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定同步优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1练习的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．菱形有一个内角为120°，较短对角线为6，则菱形的周长为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．12
2．菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．80 B．60 C．40 D．30
3．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是（　　）
A． B．16 C． D．8
4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）
A．75° B．30° C．45° D．60°
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC
6．如图，在?ABCD中，下列说法能判定ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　）
A．5 B． C． D．
8．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
9．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1：2，则菱形的面积是 　 　．
10．如果菱形边长是10，短的对角线长为12，那么这个菱形的面积是 　 　．
11．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD于点E，若AC＝8，BD＝6，则BE的长为 　 　．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA＝4，菱形ABCD的面积为24，则BD的长为 　 　．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　 　．
14．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是　 　．
15．如图，在菱形ABDC中，点E，F分别是CD，BD边上的点，∠1＝∠2．
求证：
（1）△FCD≌△EBD；
（2）CE＝BF．
16．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠DAB和∠CAB的度数；
（2）如果AC＝4，求DE和AD的长．
17．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF．
18．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
19．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若点E在AD上，且BE＝DC，求证：四边形BECD是菱形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
参考答案
1．解：如右图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝6．
连接AC、BD，AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形的周长为24．
故选：B．
2．解：菱形的面积＝＝＝40，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO＝BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积S＝AC×BD＝4×4＝8，
故选：C．
4．解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB＝AC，AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴AB＝AC＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，∠FAC＝∠DAC＝30°，
∴∠EAF＝60°，
故选：D．
5．A、当AB＝CD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项C不符合题意；
D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项D不符合题意．
故选：B．
6．解：∵对角线垂直的平行四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是平行四边形，
∴当AC⊥BD或AB＝BC或AB＝AD或AD＝CD或BC＝CD时，平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
7．解：在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝．
故选：C．
8．解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
9．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AD∥BC，
∴∠AOB＝90°，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC：∠BAD＝1：2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴OA＝AB，
∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5cm，
∴OA＝cm，
∴AC＝2OA＝5cm，OB＝OA＝cm，
∴BD＝2OB＝5cm，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝×5×5＝（cm2）．
故答案为：cm2．
10．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO，
∴BO＝＝＝8，
∴BD＝16，
∴菱形ABCD＝＝＝96，
故答案为96．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，
∴AD＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AD×BE＝×AC×BD，
∴BE＝，
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC＝2OA＝8，S菱形ABCD＝AC?BD，
∴24＝×8BD，
∴BD＝6，
故答案为：6．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
14．解：如图，当BD＝6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是＝6×8＝24，
故答案为24．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝CD，
在△FCD和△EBD中，
，
∴△FCD≌△EBD（ASA）；
（2）∵△FCD≌△EBD，
∴DF＝DE，
又∵CD＝BD，
∴CE＝BF．
16．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠CAB，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，
∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°；
（2）∵AC＝4，
∴AO＝CO＝2，
∵AB2﹣BO2＝AO2，
∴3BO2＝12，
∴BO＝2，
∴DB＝4＝AD＝AB，
∴AE＝BE＝2，
∴DE＝＝＝2．
17．证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，
∴∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE＝AF．
18．解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝，
∴AB＝BG＝．
19．证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD；
（2）∵BD＝CD，BE＝CD，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠BED＝∠ADC，
∴BE∥DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
又∵BD＝CD，
∴四边形BECD是菱形．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．