《第1章勾股定理》自主学习能力达标测评2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习能力达标测评（附答案）
一．选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5
2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
3．如图，a，b，c是3×3正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于a，b，c大小关系的正确判断是（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是∠ABC平分线，过点D作DE⊥BC于点E，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．2
5．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．148 B．100 C．196 D．144
6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③
7．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
8．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
9．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．2，4，5 B．，2， C．5，6，7 D．3，，4
10．下列各组数中，不是勾股数的为（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．5，7，10
11．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　）
A．5m B．6m C．3m D．7m
12．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
13．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
14．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
二．填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
15．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　．
16．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，动点P从点B出发沿射线BC运动，当△APB为等腰三角形时，这个三角形底边的长为　 　．
17．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　．
18．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有　 　．
（1）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；（4）∠A＝90°﹣∠B；（5）∠A+∠B＝∠C．
19．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积为＝　 　．
20．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C'处，若长方体的长AB＝4cm，宽BC＝2cm，高BB'＝1cm，则蚂蚁爬行的最短路径长是　 　．
21．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
三．解答题（共7小题，22—27每小题8分，28题9分，共57分）
22．如图，有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，AD＝4m．若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
23．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？
（2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？
24．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
25．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
26．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
27．如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB＝3m，BC＝4m，DC＝12m，AD＝13m，∠B＝90°，求这块草坪的面积．
28．如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．
（1）求AD的长；（2）判断△ABD的形状，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴．
又∵．
∴．
∴CD＝2.4．
故选：B．
2．解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
3．解：由题意得a＝，
b＝，
c＝，
∴a＜b＜c，
故选：B．
4．解：作DF⊥AB于点F，作AG⊥BC于点G，
∵BD是∠ABC平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AG⊥BC，
∴BG＝3，∠AGB＝90°，
∴AG＝＝＝4，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴，
即，
解得DE＝，
故选：B．
5．解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
6．解：由题意知，
由①﹣②得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝．
∴结论①②③正确，④错误．
故选：C．
7．解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：B．
8．解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
9．解：A．∵22+42≠52，
∴以2，4，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵（）2+22＝（）2，
∴以，2，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+62≠72，
∴以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵32+（）2≠42，
∴以3，，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．解：A、∵42+32＝52，∴此选项是勾股数；
B、∵62+82＝102，∴此选项是勾股数；
C、∵52+122＝132，∴此选项是勾股数；
D、∵52+72≠102，∴此选项不是勾股数．
故选：D．
11．解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝＝＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
12．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
13．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15（km），
所以，AE＝15km，
故选：C．
14．解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
二．填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
15．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
16．解：由勾股定理可知：BC＝＝＝12，分类讨论：
①A为等腰三角形的顶点时，有AB＝AP，
相当于以A点为圆心，AB为半径的圆，P点在BC的延长线上，如图1所示，
此时△APB的底边BP＝2BC＝2×12＝24；
②B为等腰三角形顶点时，有BA＝BP，
相当于以点B为圆心，AB为半径画圆，P点在BC的延长线上，如图2所示，
此时△APB的底边为AP，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝；
③P为等腰三角形顶点时，有PA＝PB，如图3所示，
此时P点在线段AB的垂直平分线上，△APB的底边为AB＝13，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为24或或13，
故答案为：24或或13．
17．解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
18．解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）∵a：b：c＝5：4：3，
∴b2+c2＝a2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（5）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以能判断出是△ABC直角三角形的有（2）（3）（4）（5），
故答案为：（2）（3）（4）（5）．
19．解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：30．
20．解：展开成平面后，连接AC′，则AC′的长就是绳子最短时的长度，
分为三种情况：
如图1，
AB＝4，BC′＝2+1＝3，
在Rt△ABC′中，由勾股定理得：AC′＝（cm）；
如图2，
AC＝4+2＝6，CC′＝1，
在Rt△ACC′中，由勾股定理得：AC′＝，
如图3，
同法可求AC′＝，
即绳子最短时的长度是5cm，
故答案为：5cm．
21．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
三．解答题（共7小题，22—27每小题8分，28题9分，共57分）
22．解：连接BD，如图所示：
∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，
∴DB＝＝＝5（m），
∵BC＝12m，CD＝13m，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，
∴S△DBC﹣S△ABD＝×5×12﹣×3×4＝24（m2），
∴需投入总资金为：100×24＝2400（元）．
23．解：（1）∵在Rt△ABC中，
AB＝25米，BC＝15米，
∴AC＝＝＝20（米），
在Rt△CDE中，
∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20（米），
∴EC＝＝＝15（米），
答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米；
（2）由（1）知，AC＝20米，EC＝15米，
则AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5（米）．
答：梯子顶端A下落的长度AE有5米．
24．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
∴BE＝15km．
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
即DE⊥EC．
25．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2
26．解：由勾股定理可得：BC＝＝40，
40米＝0.04千米，
2秒＝小时．
0.04÷＝72＞70．
所以超速了．
27．解：在Rt△ABC中，AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2
∴AC＝5m
在△ADC中，AC＝5m，DC＝12m，AD＝13m
∴AC2+DC2＝169，AD2＝169
∴AC2+DC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°
四边形的面积＝SRt△ABC+SRt△ADC＝36（m2）
答：这块草坪的面积是36m2．
28．解：（1）∵AB＝5cm，AC＝4cm，CD＝2cm，
由勾股定理得，AD＝（cm），
（2）由勾股定理得，DB＝（cm），
∵AB2＝52＝25，AD2+DB2＝，
∴AB2＝AD2+DB2，
∴△ABD是直角三角形．