2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．下列说法判断错误的是（　　）
A．对角线相互平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互垂直平分的四边形是菱形D．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
2．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E（2，3），则点F的坐标为（　　）
A．（﹣1，5） B．（﹣2，3） C．（5，﹣1） D．（﹣3，2）
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P为其对角线BD上一点，当线段AP的长度最短时，其长度记为t，则t的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（　　）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
5．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF，若AE＝1，则EF的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．4
6．正方形具有矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角互补 B．对角线相等
C．四个角相等 D．对角线互相垂直
7．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（　　）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
8．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　）
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
10．如图E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．20
13．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
14．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
15．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
16．如图，在正方形ABCD内有一点P，若AP＝4，BP＝7，DP＝9，则∠APB的度数为　 　．
17．如图，正方形ABCD，延长BC至点E，使CE＝CD．直线EF分别交AB、CD于点F、G，在FG上取点H，使∠BHF＝45°，若FH＝6，△DEF的面积为130，则DG的长为 　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接FG，若AB＝8，则FG的最小值为　 　．
19．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．证明：四边形BEDF是菱形．
20．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的点，且AE＝DF．求证：BE＝AF．
21．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
22．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E是边BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接AE，点F在AC的延长线上，且AE＝EF，∠BAE＝2∠F．
（1）求∠CEF的度数；
（2）若AB＝4，求线段CF的长．
23．在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G．
（1）求证：CE＝CF； （2）若等边△AEF边长为2，求AC的长．
24．如图，四边形ABCD为正方形，点E、F分别是AB、CD的中点，DG⊥CF于点G．
（1）求证：AE∥CF；
（2）求证：∠AGE＝90°；
（3）若正方形的边长为2，求线段CG的长度．
25．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．
（3）当∠ABC＝　 　°时，四边形OCED是正方形．
26．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
27．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
28．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．
（1）证明△AED≌△BFA；
（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）若OG的长为1，求BE的长度．
29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
参考答案
1．解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
故选：B．
2．解：过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵点E（2，3），
∴OH＝2，EH＝3，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5）．
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵P为其对角线BD上一点，
∴当线段AP的长度最短时，AP⊥BD，此时PD＝PB，
∴AP＝BD＝，即t＝，
∴t＝×＝1．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝BC，
∴∠DCF＝∠DCB＝∠A＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠CDF+∠EDC＝90°，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE，
在△ADE与△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝1，
∵E为AB的中点，AE＝1，
∴BE＝AE＝1，BC＝AB＝2AE＝2，
∴BF＝BC+CF＝2+1＝3，
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：
EF＝＝＝，
故选：B．
6．解：A、对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以A选项不符合题意；
B、对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C、四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选：A．
8．解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，
∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE＝AB．
同理：DF＝AC，
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
9．解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：B．
10．解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故本选项符合题意；
B．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是矩形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是矩形，
∴不能证明AC⊥BD，
∴不能证明AC⊥EF，
故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是正方形，
故本选项不符合题意；故选：A．
11．解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．故选：C．
12．解：∵菱形ABCD，
∴AB＝BC＝3，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3，
∴正方形ACEF的边长为3，
∴正方形ACEF的面积为9，故选：A．
13．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
在Rt△OEN中,
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝5，
∴CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×5＝6，
∴S正方形ABCD＝6,
故选：B．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∵AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
15．解：连接BF．易知∠FCB＝15°，∠DOC＝∠OBC+∠FCB＝45°+15°＝60°
故选A．
16．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴△BAP绕点A逆时针旋转90°可得△ADE，
连接PE，
由旋转的性质得，ED＝BP＝7，AE＝AP＝4，∠PBE＝90°，∠AED＝∠APB，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE＝AP＝4，∠AEP＝45°，
在△PED中，∵PD＝9，ED＝7，PE＝4，
∴DE2+PE2＝DP2，
∴△PED为直角三角形，∠PED＝90°，
∴∠AED＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝135°，
故答案为：135°．
17．解：连接DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠BFE＝90°﹣∠BEF，
∵∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠DEF，∠AFD＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE，∠BFE＝180°﹣∠FHB﹣∠FBH且∠BHF＝45°，
∴∠DFH＝45°＝∠FHB，
∴DF∥BH，
∴∠BAF+∠FHD+∠FDH＝180°，
∴∠BHF＝∠FBH＝45°，
∴∠DHF＝90°，
∴△FHD为等腰直角三角形，
∴DH＝6，
∵S△FDG＝S△DGE＝＝65（底与高相等，面积也相等），
∴FG?DH÷2＝DG?AD÷2＝65，
∴DG＝6.5．
故答案为：6.5．
18．解：连接BE，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
又EF⊥AB于点F，EG⊥BC，
∴四边形FBGE是矩形，
∴FG＝BE，
所以当BE最小时，FG就最小，
根据垂线段最短，可知当BE⊥AC时，BE最小，
当BE⊥AC时，在正方形ABCD中，△AEB是等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得2BE2＝AB2＝64，解得BE＝4，
∴FG最小为4；
故答案为4．
19．证明：连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∵OD＝OB，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF为菱形．
20．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
又∵AE＝DF，
在Rt△BAE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝AF．
21．（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝
故四边形BEDF的周长为8．
22．解：（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝EF，
∴∠F＝∠EAF，
∵∠BAE＝2∠F，
∴∠BAE＝2∠F＝2∠EAF，
∵∠BAC＝∠BAE+∠EAF＝45°，
∴∠CEF＝30°．
（2）过E点作EG⊥AC于G，
∵ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠ACB＝45°，
∴△EGC为等腰直角三角形，EG＝GC，
由（1）可知∠BAE＝30°，AB＝4，
∴BE＝AE，
∵；AB2+BE2＝AE2AB2+BE2＝AE2，即42+BE2＝4BE2，
∴BE＝，
∴EC＝4﹣
∵EG2+GC2＝FC2EG2+GC2＝EC2，EG＝GC，
∴GC＝，
∵正方形ABCD中，AB＝4，AC为对角线，
∴AC＝，
∵AE＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝GF，
∴CF＝GF﹣CG＝AG﹣CG＝AC﹣2GC＝．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（ HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF．
（2）∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG＝1．
∴，，
∴．
24．解：（1）∵AF＝CE，AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF；
（2）如图，取AE和DG交于H，
∵CF∥AE，DG⊥CF，
∴DG⊥AE于H，
∵E是CD的中点，
∴EG＝ED，
∴△DGE是等腰三角形，
∴H是DG的中点，
∴AG＝AD，
在△ADE和△AGE中，
，
∴△ADE≌△AGE（SSS），
∴∠AGE＝∠ADE＝90°；
（3）∵AG＝AD＝2，DE＝1，
∴AE＝，
又∵GH⊥AE，
∴，
解得HG＝，
∴DG＝，
∴，
故答案为．
25．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
即DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，∠ABO＝ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝1，OB＝AB＝，
∵OD＝OB＝，OC＝OA＝1，
∴矩形OCED周长＝2（OD+OC）＝2+2；
（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵四边形OCED是矩形，
∴四边形OCED是正方形，
故答案为：90．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
27．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
28．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，
∵DE⊥AF，
∴∠DAH+∠ADE＝90°，
∵∠DAH+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（ASA）．
（2）△ADM是等腰三角形，理由如下：
∵∠BAC＝45°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝22.5°，
∴∠DAM＝∠DAC+∠CAF＝67.5°，
∴∠DMA＝180°﹣∠DAM﹣∠ADM＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴△ADM是等腰三角形．
（3）∵∠ADE＝∠BAF＝22.5°，
∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝67.5°，
∴∠DGC＝180°﹣∠GCD﹣∠CDG＝67.5°，
∴CG＝CB，
∵AE∥CD，
∴∠AEG＝∠CDG＝67.5°，
∴AE＝AG，
如图，作FK⊥AC于点K，设AG＝AE＝x，
∵AO＝AG+OG＝x+1，
∴AB＝BC＝AO＝（x+1），AC＝2AO＝2（x+1），
∵△AED≌△BFA，
∴BF＝AE＝x，
∵AF平分∠BAC，
∴FK＝BF＝x，
∵S△ABF＝AB?BF，S△ACF＝AC?FK，
∴＝＝，
又∵＝，
∴＝＝，
即＝，
解得x＝，
∴BE＝AB﹣AE＝（x+1）﹣x＝2．
29．（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
，
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：PF的长度不变．
连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°，
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE，
在△BOP和△PFE中，
，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝2，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．