2021—2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定知识点分类提升训练 （Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》知识点分类提升训练（附答案）
一．菱形的性质
1．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．4 D．8
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　）
A．6cm2 B．12 cm2 C．24 cm2 D．48 cm2
5．已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比是3：4，那么两对角线的长分别为（　　）
A．6cm，8cm B．3cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm
6．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（　　）
A． B． C．2 D．
9．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　 　．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　 　．
12．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 　 　度．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　 　．
二．菱形的判定
14．如图?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定?ABCD为菱形的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD
15．下列命题不正确的是（　　）
A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
16．如图，聪聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
17．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（　　）
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
18．汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）
A．正方形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形
19．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
20．E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，若EFGH为菱形，四边形应具备的条件是（　　）
A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
21．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是　 　（写出一个即可）．
三．菱形的判定与性质
22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
23．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
24．下列说法中，错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
25．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
26．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（　　）
A．2 B． C．3 D．
27．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
参考答案
一．菱形的性质
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝OD＝AC＝2，AO＝OC＝BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝＝，
∴菱形的周长为4．
故选：C．
2．解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：C．
3．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1；
故选：C．
4．解：∵菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，
∴它的面积是：×6×8＝24（cm2）．
故选：C．
5．解：菱形的周长为40cm，则菱形的边长为10cm，
设菱形的对角线分别是2x、2y，
则x、y满足4y＝3x，x2+y2＝102，
解得x＝6cm，y＝8cm，
∴对角线的长为12cm，16cm．
故选：C．
6．解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD＝180°，AB＝BC，
∵∠B：∠BCD＝1：2，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝5．
故选：A．
8．解：设AC交BD于O，如图：
∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，
Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，
∴AC＝2OA＝2，
Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，
Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，
∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，
∴PE﹣PF＝，故选：B．
9．解：如图所示：∵AC，BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，且DE＝BE，AE＝CE，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴在Rt△ADE和Rt△ABE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE（HL），
同理可得出Rt△ADE≌Rt△CDE，Rt△CDE≌Rt△CBE，Rt△ABE≌Rt△CBE．
∴Rt△ADE≌Rt△CDE≌Rt△ABE≌Rt△CBE，
∴菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是4．
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，
故答案为：64．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
二．菱形的判定
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：C．
15．解：根据菱形的判定方法知：A，B，C均正确，只有D错误，应为“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”，
故选：D．
16．解：四边形ADBC一定是菱形，
理由是：∵根据做法可知：AC＝CB＝BD＝AD，
∴四边形ADBC是菱形，
故选：A．
17．解：根据平行四边形的判定，可得四边形EFGH是平行四边形，又知它是菱形，则AC＝BD．
故选：D．
18．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
19．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB＝BC，
故选：C．
20．解：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，对角线不一定相等，故本选项错误．
对角线互相平分的四边形对角线也不一定相等，故本选项错误．
对角线互相垂直的四边形对角线也不一定相等，故本选项错误．
对角线相等的四边形，取各边的中点连线是菱形，故本选项正确．
故选：D．
1．解：根据题意可得出：四边形CBFE是平行四边形，
当CB＝BF时，平行四边形CBFE是菱形，
当CB＝BF；BE⊥CF；∠EBF＝60°；BD＝BF时，都可以得出四边形CBFE为菱形．
故答案为：如：CB＝BF；BE⊥CF；∠EBF＝60°；BD＝BF等．
三．菱形的判定与性质
22．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．
故选：A．
23．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE?BC＝2．
故选：C．
24．解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，正确，本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意；
故选：A．
25．解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE＝AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC＝S△ACD，即BC×AE＝CD×AF，
∴BC＝CD，即AB＝BC．故B正确；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；
AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
26．解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积＝△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积＝AC?BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝2.5．
故选：B．
27．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2＝∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD＝DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．
故选：C．