2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定同步优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）
1．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（　　）
A．矩形 B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
2．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
3．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
4．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
8．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE．求AE的长（　　）
A． B．3 C． D．
10．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
11．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　 　．
14．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：　 　．
17．如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
18．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．
20．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
23．如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
参考答案
1．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：C．
2．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
3．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
4．解：需要添加的条件是AC＝BD；理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
5．解：设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴h＝＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
6．解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴?DBCE为矩形，故本选项错误．
故选：B．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
9．解：∵DE＝3BE，
∴BD＝4BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝DO＝BD＝2BE，
∴BE＝EO，
又∵AE⊥BO，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝30°，
又∵AE⊥BD，
∴AE＝AD＝3，
故选：B．
10．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
11．解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a?a＝a2，
SABCD＝3a?a＝3a2，
∴S△AOE＝SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．
故选：C．
12．解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
13．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
14．解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝5，AD＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
由勾股定理得：AC＝13，
∴OA＝OD＝6.5，
∵S△ADC＝×12×5＝×13×DM，
∴DM＝，
∵SAOD＝S△APO+S△DPO，
∴AO×PE+OD×PF＝×AO×DM，
∴PE+PF＝DM＝，
故答案为：．
15．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
16．解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，
又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，
∴2a2﹣8a+26＝20，
∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
∵CM2＝OM2+OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2+MP2＝CP2，
∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故答案为：P．
17．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
18．：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∴OC＝EF＝5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
21．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
22．证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG
∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
23．证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形．
24．证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．