2.5一元二次方程的根与系数的关系 提升训练（附答案） 2021--2022学年北师大版九年级数学上册

2021年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步专题提升训练（附答案）
1．若方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．2x2﹣x+1＝0
5．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
6．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
7．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根中只有一个为0，则下列说法正确的是（　　）
A．b≠0，c≠0 B．b＝0，c≠0 C．b≠0，c＝0 D．b＝0，c＝0
8．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程的两根，则b★b﹣a★a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
10．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
11．若一元二次方程式5（x﹣4）2＝125的解为a、b，且a＞b，则2a+b之值为何？（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．11 D．17
12．已知关于x的一元二次方程a?x2+4x﹣2＝0有实数根，则a的最小值是　 　．
13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
14．已知关于x的方程x2+6x+a＝0有一根为﹣2，则方程的另一根为　 　．
15．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　．
16．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　 　．
17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝　 　．
18．若关于x的方程x2+2x+k＝0的一个根是0，则方程的另一个根是　 　．
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若这个关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当a＝1时，求该方程的根．
21．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
24．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
25．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
26．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围； （2）若两根为x1、x2且x12+x22＝7，求m的值．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
28．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
30．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
参考答案
1．解：由题意可知：△＝4﹣4×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：D．
2．解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，
即k≤4，且k≠0．
故选：D．
3．解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
4．解：（A）△＝4，故选项A有两个不同的实数根；
（B）△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；
（C）△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；
（D）△＝1﹣8＝﹣7，故选项D没有两个不同的实数根；
故选：D．
5．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
6．解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
7．解：方程有一个根是0，即把x＝0代入方程，方程成立．
得到c＝0；
则方程变成ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
则方程的根是0或﹣，
因为两根中只有一个为0，
则得到﹣≠0，即b≠0
故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根中只有一个为0，正确的条件是b≠0，c＝0．
故选：C．
8．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，α+β＝﹣2021，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2021α+α2+2α）（1+2021β+β2+2β）
＝4αβ
＝4，
故选：D．
9．解：∵a，b是方程x2﹣x+m＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b★b﹣a★a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：A．
10．解：根据根与系数的关系，
x1+x2＝﹣＝2．
故选：B．
11．解：∵5（x﹣4）2＝125，
∴（x﹣4）2＝25，
则x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，
解得x1＝9，x2＝﹣1，
∵a＞b，
∴a＝9，b＝﹣1，
则2a+b＝2×9﹣1＝18﹣1＝17，
故选：D．
12．解：∵关于x的一元二次方程a?x2+4x﹣2＝0有实数根，
∴，
∴a≥﹣2．
∴a的最小值是﹣2．
故答案是：﹣2．
13．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
14．解：设方程的另一根为m，
根据题意得：﹣2+m＝﹣6，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
16．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
17．解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，
x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．
故答案为﹣1．
18．解：设x1?x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k＝的两个根，
∵关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的一个根是0，
∴由韦达定理，得x1+x2＝﹣2，即x2＝﹣2，
即方程的另一个根是﹣2．
故答案为：﹣2．
19．解：（1）根据题意得△＝（1﹣m）2﹣4×＞0，
解得m＜；
（2）把x＝﹣代入方程得+（1﹣m）×（﹣）+＝0，
整理得 4m2+4m﹣3＝0，
解得m1＝，m2＝﹣，
而m＜，
所以m的值为﹣．
20．（1）证明：△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4．
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：当a＝1时，原方程为x2+x﹣1＝0，
△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x1＝，x2＝．
21．解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0；
（2）因为n为取值范围内的最小整数，
所以n＝1，
方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
22．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
23．解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2，
∴x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∴△＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，
则（1﹣3）×（1﹣2）＝m2，
2＝m2，
m＝±，
原方程变形为x2﹣5x+4＝0，
设方程的另一个根为a，
则1×a＝4，
a＝4，
则方程的另一个根为4．
24．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
25．解：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
26．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，即（1﹣2m）2﹣2m2＝7，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝3．
又∵m≤，
∴m＝﹣1．
27．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝6，
∵x1+2x2＝14，
∴x2＝8，x1＝﹣2．
将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，
解得：k＝±4．
答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．
28．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，
x＝3或x＝﹣2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
29．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
30．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a?b＝﹣k，
﹣＝＝＝1．