1.3.1 正方形的性质 课时训练卷 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

北师版九年级数学上册
1.3.1　正方形的性质
课时训练卷
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.四条边都相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )
A．15° B．35° C．45° D．55°
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为( )
A．4 B．2 C． D．2
8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是(　　)
A．1 B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )
A．1 B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积( )
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．
12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有_______个
13．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．
14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是_______.
15．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ .
16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝__________.
17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.
18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__ __．
三．解答题（共6小题， 46分）
19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.
20．(7分) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.
21．(7分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE＝5，请求出EF的长．
22．(8分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：△BAE≌△CDE；
(2)求∠AEB的度数．
23．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
24．(10分) 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．
参考答案
1-5 DCCCB 6-10CCBBD
11. 22° 12. 8 13. 2 14. 22.5° 15. 45° 16. －1 17. 135° 18.
19. 解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB和△BFC中， ∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF
20. 证明：易证△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠DAF＝∠DCE，在△AGE和△CGF中，∴△AGE≌△CGF(AAS)，∴AG＝CG
21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)
(2)由(1)知△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAF＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°，∴EF＝AE＝5
22. 解：(1)∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS)　
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)＝15°
23. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°.在△ABF和△CBE中， ∴△ABF≌△CBE(SAS)　
(2)由已知可得S正方形ABCD＝16，S△ABF＝S△CBE＝×4×1＝2.所以S四边形BEDF＝16－2×2＝12
24. 解：(1)连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵BD⊥EF，∴?BEDF为菱形　
(2)∵正方形边长为4，∴BD＝AC＝4，∵AE＝CF＝，∴EF＝AC－2＝2，∴S菱形BEDF＝BD·EF＝×4×2＝8