2.3　公式法练习题 2021——2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

3　第1课时　公式法
【基础练习】
知识点 1　用公式法求解一元二次方程
1.用公式法解一元二次方程3x2+3=2x时,首先要确定a,b,c的值,下列选项正确的是 (　　)
A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3
C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3
2.方程x2+3x-14=0的解是 (　　)
A.x=3±652 B.x=-3±652
C.x=3±232 D.x=-3±232
3.解一元二次方程x2-2x-5=0,结果正确的是 (　　)
A.x1=-1+6,x2=-1-6
B.x1=1+6,x2=1-6
C.x1=7,x2=5
D.x1=1+5,x2=1-5
4.用公式法解方程:x2+3x=11.
解:将方程化为一般形式,得　,?
这里a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.?
∵b2-4ac=　　　　,?
∴x=-b±b2-4ac2a=　　　　,?
即x1=　　　　,x2=　　　　.?
5.用公式法解方程:
(1)4x2-3=12x;






(2)3x2-5x=-2.






知识点 2　一元二次方程根的判别式
6.一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为 (　　)
A.4 B.2 C.0 D.-4
7.方程2x2-5x+3=0的根的情况是 (　　)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.两根异号
8.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k≤-4 B.k<-4 C.k≤4 D.k<4
9.利用根的判别式判断下列一元二次方程的根的情况.
(1)x2-3x=7;





(2)9x2+6x+1=0;





(3)2x2-5x+4=0.





【能力提升】
10.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是 (　　)
A.a<0 B.c<0 C.ac>0 D.ac<0
11.关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
12.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”意思是一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步.经过计算,长比宽多(　　)
A.12步 B.24步 C.36步 D.48步
13.若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的解为 (　　)
A.x1=x2=-2 B.x1=-2,x2=3
C.x1=-1+32,x2=-1-32 D.x1=-1+52,x2=-1-52
14.已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的一个根是x1=12,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根x2=　　　　.?
15.用公式法解方程:
(1)(x-1)(1+2x)=2;




(2)3x2+1=23x.





16.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)为m选取一个合适的整数值,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个根.








17.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c为△ABC的三边长.
(1)如果x=-1是方程的一个根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.





答案
1.D　[解析] 方程3x2-2x+3=0为一般形式,可确定a=3,b=-2,c=3.故选D.
2.B　3.B
4.x2+3x-11=0　1　3　-11　53　-3±532　-3+532　-3-532
5.解:(1)将原方程化为一般形式,得4x2-12x-3=0.
这里a=4,b=-12,c=-3.
因为b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192>0,
所以x=12±1922×4=12±838=3±232.
即x1=32+3,x2=32-3.
(2)将方程化为一般形式,得3x2-5x+2=0.
这里a=3,b=-5,c=2.
因为b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0,
所以x=-(-5)±12×3,
即x1=1,x2=23.
6.A
7.B　[解析] 因为Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1>0,所以方程2x2-5x+3=0有两个不相等的实数根.故选B.
8.C　[解析] 根据题意得Δ=b2-4ac=42-4k≥0,解得k≤4.
故选C.
9.解:(1)原方程化为一般形式为x2-3x-7=0.
因为a=1,b=-3,c=-7,
所以Δ=b2-4ac=9-4×1×(-7)=37>0,
所以此方程有两个不相等的实数根.
(2)因为a=9,b=6,c=1,
所以Δ=b2-4ac=36-36=0,
所以此方程有两个相等的实数根.
(3)因为a=2,b=-5,c=4,
所以Δ=b2-4ac=25-4×2×4=-7<0,
所以此方程无实数根.
10.D　[解析] Δ=16-4ac,当ac<0时,Δ>0,此时,原方程一定有实数根,事实上,一元二次方程化为一般形式后,只要ac<0,一定可以得到原方程有两个不相等的实数根的结论,此时与b的值无关.
11.A　[解析] 对于方程x2+4kx-1=0,
Δ=b2-4ac=(4k)2-4×1×(-1)=16k2+4.
因为16k2+4>0,所以方程x2+4kx-1=0有两个不相等的实数根.
12.A　[解析] 设这块矩形田地的长为x步(x>30),则宽为(60-x)步,根据题意,得x(60-x)=864,整理,得x2-60x+864=0,解得x1=36,x2=24(舍去),所以x-(60-x)=12.
13.D
14.12　[解析] 因为b2-4ac=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根,所以此方程的另一个根为12.
15.解:(1)方程化为一般形式,得2x2-x-3=0.
这里a=2,b=-1,c=-3.
因为b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0,
所以x=-(-1)±52×2=1±54,
即x1=-1,x2=32.
(2)方程化为一般形式,得3x2-23x+1=0.
这里a=3,b=-23,c=1.
因为b2-4ac=(-23)2-4×3×1=0,
所以x=23±02×3,
即x1=x2=33.
16.解:(1)因为关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,
所以Δ>0,即[-2(m+1)]2-4m2>0,
解得m>-12.
(2)由(1),知当m>-12时,方程有两个不相等的实数根,所以可取m=0,此时方程为x2-2x=0,
解得x1=0,x2=2.(答案不唯一)
17.解:(1)△ABC是等腰三角形.
理由:因为x=-1是方程的一个根,
所以(a+c)×(-1)2+2b×(-1)+(a-c)=0,
所以a+c-2b+a-c=0,所以a-b=0,
即a=b,所以△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.
理由:因为方程有两个相等的实数根,
所以(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
所以4b2-4a2+4c2=0,
即a2=b2+c2,
所以△ABC是直角三角形.
(3)当△ABC是等边三角形时,a=b=c,则方程
(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2+2ax=0.
因为a≠0,所以x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1.