3.3.垂径定理 课后练习 2020-2021学年北师大版九年级数学下册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 3.3.垂径定理 课后练习 2020-2021学年北师大版九年级数学下册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 342.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-23 14:00:43 | ||
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文档简介
第三章圆3.垂径定理课后练习2020-2021学年下学期九年级下册初中数学北师大版
一、单选题（共12题 ）
1.往水平放置的半径为 13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 AB=24cm ，则水的最大深度为（?? ）
A.?5cm??????????????????????????????????B.?8cm??????????????????????????????????C.?10cm??????????????????????????????????D.?12cm
2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 ⊙O 被水面截得的弦 AB 长为6米， ⊙O 半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 AB 所在直线的距离是（?? ）
A.?1米???????????????????????????????B.?(4?7) 米???????????????????????????????C.?2米???????????????????????????????D.?(4+7) 米
3.学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” .下列判断正确的是（?? ）
A.?两人说的都对
B.?小铭说的对，小燕说的反例不存在
C.?两人说的都不对
D.?小铭说的不对，小熹说的反例存在
4.如图，在半径为 25 的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P.若AB=CD=8，则OP的长为（?? ）
A.?42????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?2
5.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积= 12 (弦x矢+矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB=( ???)
A.?35????????????????????????????????????????B.?2425????????????????????????????????????????C.?45????????????????????????????????????????D.?1225
6.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（?? ）
A.?9.6??????????????????????????????????????B.?4 5??????????????????????????????????????C.?5 3??????????????????????????????????????D.?10
7.上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（??? ）
A.?20cm????????????????????????????????B.?19.5cm????????????????????????????????C.?14.5cm????????????????????????????????D.?10cm
8.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E ， 若CD＝6 3 ，AE＝9，则阴影部分的面积为（ ??）
A.?6π﹣ 923??????????????????????????B.?12π﹣9 3??????????????????????????C.?3π﹣ 943??????????????????????????D.?9 3
9.如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D ， 液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（??? ）
A.?6cm????????????????????????????????????B.?5.5cm????????????????????????????????????C.?5cm????????????????????????????????????D.?4cm
10.如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则cos∠OCE为（?? ）
A.?35??????????????????????????????????????B.?31313??????????????????????????????????????C.?23??????????????????????????????????????D.?21313
11.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（?? ）
A.?6.5????????????????????????????????????????B.?5.5????????????????????????????????????????C.?3.5????????????????????????????????????????D.?2.5
12.如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（?? ）
A.?1：3????????????????????????????????B.?1：2 2????????????????????????????????C.?1：2 3????????????????????????????????D.?1：4
二、填空题（共6题 ）
13.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 CD 等于1寸，锯道 AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径________寸；
14.如图，在⊙O中，弦 AB 的长为4，圆心 O 到弦 AB 的距离为2，则 ∠AOC 的度数为________.
15.AB 是 ⊙O 的弦， OM⊥AB ，垂足为 M ，连接 OA .若 ∠AOM=60° ， OM=3 ，则弦 AB 的长为________.
16.一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为________米．
17.如图，有一个弓形的暗礁区AEB ， 圆心角∠AOB＝120°，灯塔A在灯塔B的正西方向5 3 海里处，灯塔B的正北方向9海里处有一救援点C ， 若救援船沿着东西方向巡逻时，离暗礁区最近点距离为________海里；救援船向西巡逻至点F时，收到来自E点处某轮船的求救信号，测得点E在点F的南偏西60°方向，且∠FEO＝90°，救援船立即改变航向以30海里/小时的速度沿FE方向行驶，需________小时到达点E ．
18.如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D，已知点A的坐标为 (?3,0) ，点C的坐标为 (0,?1) ，则点D的坐标为________．
三、综合题（共4题 ）
19.如图
1风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知 AB=AD ， ∠B=∠D ， ∠BAE=∠DAC .求证： AC=AE ；
2如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点 O 是弧 CD 的圆心， E 为弧 CD 上一点， OE⊥CD ，垂足为 F .已知 CD=600m ， EF=100m ，求这段弯路的半径.
20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE.
1 若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
2 若AC＝3，AB＝4，求CD的长.
21.如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，－6），B（8，0）三点在⊙P上.
1 求⊙P的半径及圆心P的坐标；
2 M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线.
22.如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=5，AC=3，CD平行于AB，与弧AB相交于点M、N.
1 求线段OD的长；
2 若tan∠C= 34 ，求弦MN的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= 12 AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ OC=OA2?AC2=132?122=5 ，
∴ CD=OD?OC=13?5=8(cm) ，
故答案为：B.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理可得AC=CB=12 AB=12，然后在Rt△AOC中，由勾股定理可求得OC的值，最后根据CD=OD-OC进行计算.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为 AB 的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= 12 AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= OA2?AD2 = 42?32 = 7 ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ 7 ，
即点C到弦 AB 所在直线的距离是（4﹣ 7 ）米，
故答案为：B.
?
【分析】由题意得出C为AB 的中点，连接OC交AB于D，由垂径定理求出AD的长，然后在Rt△OAD中利用勾股定理求出OD，再利用线段的和差关系解答即可.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可得结果.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC.
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2 5 ，
∴OM= OA2?AM2=(25)2?42=2 ，
ON= OC2?CN2=(25)2?42=2 ，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP= 2 OM=2 2 ，
故答案为：B.
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解： 作OH⊥AB于H，如图所示：
∵AB=8，OA-OH?=3，OH⊥AB，
∴AH=BH=4，
∵AH2+OH2=OA2 ，
∴42=?(OA+OH)(OA-OH)，
∴OA+OH=163 ，
∴OA=256 ， OH=76 ，
∴cos∠OAB =AHAO=4256=2425 ，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理即可求出AH=BH=4，作OH⊥AB于H，依据题意结合勾股定理即可求出OA和OH的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OC
∵AB⊥CD, OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
AE=OA2?OE2=52?32=4?
∴AE=EC=4
设OF=x，则有 AC2?AF2=OC2?OF2
82?(5+x)2=52?x2
x=1.4
在Rt△OFC中， FC=OC2?OF2=52?1.42=4.8
∴ CD=2FC=9.6
故答案为：A
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得AE=EC，CF=FD，在Rt△OAE中，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EC的长；设OF=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长；然后在Rt△OFC中，利用勾股定理求出FC的长，即可求出CD的长.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知， AB=10 ， CD=2 ， OD 是半径，且 OC⊥AB ，
∴AC=CB=5 ，
设铅球的半径为 r ，则 OC=r?2 ，
在 Rt△AOC 中，根据勾股定理， OC2+AC2=OA2 ，
即 (r?2)2+52=r2 ，
解得： r=7.25 ，
所以铅球的直径为： 2×7.25=14.5 cm ，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理，构建直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，深是拱高，利用勾股定理，设出未知数、列出方程、即可求出。
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E ，
∴CE＝DE＝ 12 CD＝3 3 ．
设⊙O的半径为r ，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2 ， 即 r2=(9?r)2+(33)2 ，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝ OEOD=36=12 ，
∴∠EOD＝60°，
∴ S扇形BOD=16π×36=6π ， SRT△OED=12×3×33=923 ，
根据圆的对称性可得：
∴ S阴影=6π?923 ，
故答案为：A ．
【分析】根据垂径定理得出CE＝DE＝ 12 CD＝3 3 ．再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角形关系得出∠EOD＝60°，进而结合扇形面积求出答案。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 AO ，
∵OC⊥AB ，
∴DA=DB ，
∵AB＝8cm，
∴AD=4cm ，
设圆的半径为 r cm ，
在 RtΔAOD 中， OD=OC?CD=(r?2)cm ，
根据勾股定理得： OA2=AD2+OD2 ，即 r2=16+(r?2)2 ，
解得： r=5 ，
故答案为：C．
【分析】解题关键：熟练掌握垂径定理。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥DO交DO的延长线于H，设OA=r.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=4，
在Rt△ACO中，
∵∠ACO=90°，
∴r2=42+（r-2）2 ，
解得r=5，
∴OA=OE=5，OC=3，
∵∠H=∠ACO，∠EOH=∠AOC，AO=EO，
∴△EOH≌△AOC（AAS），
∴EH=AC=4，OH=OC=3，CH=6，
∴EC= EH2+CH2=213 ，
∴cos∠OCE= CHEC=6213=31313 ，
【分析】过点E作EH⊥DO交DO的延长线于H，设OA=r，利用垂径定理可求出AC的长，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；再利用AAS证明△EOH≌△AOC，利用全等三角形的性质可求出EH、CH的长；然后利用勾股定理求出CE的长，利用锐角三角函数的定义可求出cos∠OCE的值.
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OB，作OM⊥AB与M.
∵OM⊥AB，
∴AM=BM= 12 AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴ OM=OB2?BM2=52?42=3 .
∴ 3≤OP<5 ，
故答案为：C.
【分析】连接OB，作OM⊥AB与M，由垂径定理得AM=BM=4,由勾股定理得OM=3,当P与A或B重合，OP最大为5,当P与M重合时，OP最小，OP=OM=3,得出3≤OP<5 ， 即可选出答案.
12.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接CO交EF于M，连接OF，
∵C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，CO⊥EF，EM=MF，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，则△CMD为等腰直角三角形，
设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，
∵DF＝2DE，
∴x+MF=2(MF﹣x)，解得：MF=3x，
设圆的半径为r，则OM=r﹣x
在Rt△OMF中，由勾股定理得：r2=( r﹣x)2+（3x）2 ，
解得：r=5x，则OM=4x，
∵EF∥AB，
∴CD：AD＝CM：OM=x：4x=1：4，
故答案为：D.
【分析】连接CO交EF于M，连接OF，由垂径定理易判断△AOC和△CMD是等腰直角三角形，设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，根据DF＝2DE可将MF用含x的代数式表示出来，设圆的半径为r，则OM=r﹣x，在Rt△OMF中，由勾股定理可将r用含x的代数式表示出来，则OM也可用含x的代数式表示出来，然后根据平行线分线段成比例定理得比例式CDAD=CMOM可求解.
二、填空题
13.【答案】 26
【解析】【解答】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示，
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， CD=1 寸， AB=10 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ AC=5 寸，
设OA=x寸，则 OC=(x?1) 寸，
∴在Rt△AOC中， AC2+OC2=OA2 ，即 52+(x?1)2=x2 ，
解得： x=13 ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26.
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，根据垂径定理可得AC=BC=5，设OA=x寸，则 OC=(x?1) 寸，在Rt△AOC中， 由AC2+OC2=OA2建立方程，求解即可.
14.【答案】 45°
【解析】【解答】解：由题意得： OC⊥AB ， AB=4 ，
∴AC=12AB=2 ，
∵OC=2 ，
∴AC=OC ，
∴Rt△AOC 是等腰直角三角形，
∴∠AOC=45° ，
故答案为：45°.
【分析】由垂径定理可得AC=12AB，结合已知易证Rt△AOC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解.
15.【答案】 6
【解析】【解答】解：如图，
∵OM⊥AB ，
∴AM=BM ，
∵ ∠AOM=60° ， OM=3 ，
∴ AM=OM·tan∠AOM=3×3=3 ，
∴AB=2AM=6 ，
故答案为6.
【分析】利用垂径定理得到 AM=BM ，由 ∠AOM=60° ，利用正切求出 AM ，得到 AB 的长.
16.【答案】 0.8或0.2.
【解析】【解答】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，
根据题意，得?? AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE= AO2?AE2 = 0.52?0.42 =0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
【分析】先利用勾股定理求出OE=0.3，再分类讨论，结合图形求解即可。
17.【答案】 32；13?5330
【解析】【解答】解：如图，过点O作BC的平行线，交AB、CF、⊙O于点M、N、P ， 过点E分别作MN、CF的垂线，垂足分别为Q、G ，
由圆的对称性可知，
AM＝BM＝ 12 AB＝ 532 ，∠AOM＝∠BOM＝ 12 ∠AOB＝60°，
在Rt△BOM中，
OM＝ BMtan60° ＝ 52 ，
OB＝ BMsin60° ＝5＝OP ，
∴PN＝MN﹣OM﹣OP＝9﹣ 52 ﹣5＝ 32 ，
即：航线离暗礁区最近点距离为 32 海里；
由题意得，∠GFE＝90°﹣60°＝30°＝∠FEQ ，
又∵∠FEO＝90°，
∴∠OEQ＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△OEQ中，OQ＝OE?sin60°＝5× 32 ＝ 532 ，
∴QN＝MN＝OM﹣OQ＝9﹣ 52 ﹣ 532 ＝ 13?532 ＝GE ，
在Rt△EFG中，
EF＝ EGsin30° ＝13﹣5 3 ，
∴所用的时间为 13?5330 （小时），
故答案为： 32 ， 13?5330 ．
【分析】由圆的对称性和垂径定理可求出OM ， 进而求出PN的长，即为航线与暗礁的最小距离；求出EF的长，再计算相应的时间即可．
18.【答案】 (0,9)
【解析】【解答】解：如图，连接AP ，
∵点A的坐标为 (?3,0) ，点C的坐标为 (0,?1) ，
∴AO=3,OC=1 ．
设半径为r ， 则 AP=PC=DP=r ，
∵AO2+OP2=AP2 ，
∴32+(r?1)2=r2 ，
解得 r=5 ，
∴OP=PC?OC=4 ，
∴OD=OP+DP=9 ，
∴点D的坐标为 (0,9) ，
故答案为： (0,9) ．
【分析】先求出AO=3，OC=1，再利用勾股定理求出r=5 ，最后计算求解即可。
三、综合题
19.【答案】 （1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
{∠B＝∠DAB＝AD∠BAC＝∠DAE ，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE.
（2）解：连接CO，如图，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
设OC=r，则OF=r-100
根据勾股定理：r2=（r-100）2+3002
则r=500，
∴这段弯路的半径是500m.
【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC=AE.（2）根据垂径定理即可求得CF的长，设这段弯路的半径长是r，则在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的长
20.【答案】 （1）解：如图，连接AD.
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°.
又∵AD＝AE，
∴ ∠DEA=∠ADE=12(180°?50°)=65° .
（2）解：如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5.
又∵ 12 ?AF?BC＝ 12 ?AC?AB，
∴ AF=12×3×412×5=125 ，
∴ CF=32?(125)2=95 .
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴ CD=2CF=185 .
【解析】【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可.（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论.
21.【答案】 （1）解：∵O（0，0），A（0，－6），B（8，0），∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝ 62+82 ＝10.∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，∴⊙P的半径是5.
∵点P为AB的中点，∴P（4，－3）.
（2）证明：∵M点是劣弧OB的中点，∴弧OM=弧BM，∴∠OAM＝∠MAB，∴AM为∠OAB的平分线.
【解析】【分析】（1）由题意用勾股定理可求得AB的值，然后由半径=12直径=12AB可求解；由点P是直径AB的中点可求解；
（2）根据相等的弧所对的圆心角相等可得∠OAM＝∠MAB，再由角平分线的定义可求解.
?
?
22.【答案】 （1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴ OAOC=OBOD ，
即 OAOA+AC=OBOD ，
又OA=5，AC=3，
∴OB=3，
∴ 55+3=5OD ，
∴OD=8 ?；
（2）如图，过O作OE⊥CD，连接OM，则ME= 12 MN，
∵tan∠C= 34 ，即 OECE=34 ，
∴设 OE=3x ，则 CE=4x ，
在Rt△OEC中， OC2=OE2+CE2 ，即 82=(3x)2+（4x）2 ，解得 x=85 ，
∴OE=245 ， CE=325
在Rt△OME中， OM2=OE2+ME2 ，即 52=(245)2+ME2 ，解得 ME=75 .
∴ MN=145 .
【解析】【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知 ME=12MN ，再根据 tan∠C=34 可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.
一、单选题（共12题 ）
1.往水平放置的半径为 13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 AB=24cm ，则水的最大深度为（?? ）
A.?5cm??????????????????????????????????B.?8cm??????????????????????????????????C.?10cm??????????????????????????????????D.?12cm
2.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 ⊙O 被水面截得的弦 AB 长为6米， ⊙O 半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 AB 所在直线的距离是（?? ）
A.?1米???????????????????????????????B.?(4?7) 米???????????????????????????????C.?2米???????????????????????????????D.?(4+7) 米
3.学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” .下列判断正确的是（?? ）
A.?两人说的都对
B.?小铭说的对，小燕说的反例不存在
C.?两人说的都不对
D.?小铭说的不对，小熹说的反例存在
4.如图，在半径为 25 的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P.若AB=CD=8，则OP的长为（?? ）
A.?42????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?2
5.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积= 12 (弦x矢+矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB=( ???)
A.?35????????????????????????????????????????B.?2425????????????????????????????????????????C.?45????????????????????????????????????????D.?1225
6.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（?? ）
A.?9.6??????????????????????????????????????B.?4 5??????????????????????????????????????C.?5 3??????????????????????????????????????D.?10
7.上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（??? ）
A.?20cm????????????????????????????????B.?19.5cm????????????????????????????????C.?14.5cm????????????????????????????????D.?10cm
8.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E ， 若CD＝6 3 ，AE＝9，则阴影部分的面积为（ ??）
A.?6π﹣ 923??????????????????????????B.?12π﹣9 3??????????????????????????C.?3π﹣ 943??????????????????????????D.?9 3
9.如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D ， 液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（??? ）
A.?6cm????????????????????????????????????B.?5.5cm????????????????????????????????????C.?5cm????????????????????????????????????D.?4cm
10.如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则cos∠OCE为（?? ）
A.?35??????????????????????????????????????B.?31313??????????????????????????????????????C.?23??????????????????????????????????????D.?21313
11.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（?? ）
A.?6.5????????????????????????????????????????B.?5.5????????????????????????????????????????C.?3.5????????????????????????????????????????D.?2.5
12.如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（?? ）
A.?1：3????????????????????????????????B.?1：2 2????????????????????????????????C.?1：2 3????????????????????????????????D.?1：4
二、填空题（共6题 ）
13.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 CD 等于1寸，锯道 AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径________寸；
14.如图，在⊙O中，弦 AB 的长为4，圆心 O 到弦 AB 的距离为2，则 ∠AOC 的度数为________.
15.AB 是 ⊙O 的弦， OM⊥AB ，垂足为 M ，连接 OA .若 ∠AOM=60° ， OM=3 ，则弦 AB 的长为________.
16.一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为________米．
17.如图，有一个弓形的暗礁区AEB ， 圆心角∠AOB＝120°，灯塔A在灯塔B的正西方向5 3 海里处，灯塔B的正北方向9海里处有一救援点C ， 若救援船沿着东西方向巡逻时，离暗礁区最近点距离为________海里；救援船向西巡逻至点F时，收到来自E点处某轮船的求救信号，测得点E在点F的南偏西60°方向，且∠FEO＝90°，救援船立即改变航向以30海里/小时的速度沿FE方向行驶，需________小时到达点E ．
18.如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D，已知点A的坐标为 (?3,0) ，点C的坐标为 (0,?1) ，则点D的坐标为________．
三、综合题（共4题 ）
19.如图
1风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知 AB=AD ， ∠B=∠D ， ∠BAE=∠DAC .求证： AC=AE ；
2如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点 O 是弧 CD 的圆心， E 为弧 CD 上一点， OE⊥CD ，垂足为 F .已知 CD=600m ， EF=100m ，求这段弯路的半径.
20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE.
1 若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
2 若AC＝3，AB＝4，求CD的长.
21.如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，－6），B（8，0）三点在⊙P上.
1 求⊙P的半径及圆心P的坐标；
2 M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线.
22.如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=5，AC=3，CD平行于AB，与弧AB相交于点M、N.
1 求线段OD的长；
2 若tan∠C= 34 ，求弦MN的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= 12 AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ OC=OA2?AC2=132?122=5 ，
∴ CD=OD?OC=13?5=8(cm) ，
故答案为：B.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理可得AC=CB=12 AB=12，然后在Rt△AOC中，由勾股定理可求得OC的值，最后根据CD=OD-OC进行计算.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为 AB 的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= 12 AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= OA2?AD2 = 42?32 = 7 ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ 7 ，
即点C到弦 AB 所在直线的距离是（4﹣ 7 ）米，
故答案为：B.
?
【分析】由题意得出C为AB 的中点，连接OC交AB于D，由垂径定理求出AD的长，然后在Rt△OAD中利用勾股定理求出OD，再利用线段的和差关系解答即可.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可得结果.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC.
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2 5 ，
∴OM= OA2?AM2=(25)2?42=2 ，
ON= OC2?CN2=(25)2?42=2 ，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP= 2 OM=2 2 ，
故答案为：B.
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解： 作OH⊥AB于H，如图所示：
∵AB=8，OA-OH?=3，OH⊥AB，
∴AH=BH=4，
∵AH2+OH2=OA2 ，
∴42=?(OA+OH)(OA-OH)，
∴OA+OH=163 ，
∴OA=256 ， OH=76 ，
∴cos∠OAB =AHAO=4256=2425 ，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理即可求出AH=BH=4，作OH⊥AB于H，依据题意结合勾股定理即可求出OA和OH的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OC
∵AB⊥CD, OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
AE=OA2?OE2=52?32=4?
∴AE=EC=4
设OF=x，则有 AC2?AF2=OC2?OF2
82?(5+x)2=52?x2
x=1.4
在Rt△OFC中， FC=OC2?OF2=52?1.42=4.8
∴ CD=2FC=9.6
故答案为：A
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得AE=EC，CF=FD，在Rt△OAE中，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EC的长；设OF=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长；然后在Rt△OFC中，利用勾股定理求出FC的长，即可求出CD的长.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知， AB=10 ， CD=2 ， OD 是半径，且 OC⊥AB ，
∴AC=CB=5 ，
设铅球的半径为 r ，则 OC=r?2 ，
在 Rt△AOC 中，根据勾股定理， OC2+AC2=OA2 ，
即 (r?2)2+52=r2 ，
解得： r=7.25 ，
所以铅球的直径为： 2×7.25=14.5 cm ，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理，构建直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，深是拱高，利用勾股定理，设出未知数、列出方程、即可求出。
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E ，
∴CE＝DE＝ 12 CD＝3 3 ．
设⊙O的半径为r ，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2 ， 即 r2=(9?r)2+(33)2 ，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝ OEOD=36=12 ，
∴∠EOD＝60°，
∴ S扇形BOD=16π×36=6π ， SRT△OED=12×3×33=923 ，
根据圆的对称性可得：
∴ S阴影=6π?923 ，
故答案为：A ．
【分析】根据垂径定理得出CE＝DE＝ 12 CD＝3 3 ．再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角形关系得出∠EOD＝60°，进而结合扇形面积求出答案。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 AO ，
∵OC⊥AB ，
∴DA=DB ，
∵AB＝8cm，
∴AD=4cm ，
设圆的半径为 r cm ，
在 RtΔAOD 中， OD=OC?CD=(r?2)cm ，
根据勾股定理得： OA2=AD2+OD2 ，即 r2=16+(r?2)2 ，
解得： r=5 ，
故答案为：C．
【分析】解题关键：熟练掌握垂径定理。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥DO交DO的延长线于H，设OA=r.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=4，
在Rt△ACO中，
∵∠ACO=90°，
∴r2=42+（r-2）2 ，
解得r=5，
∴OA=OE=5，OC=3，
∵∠H=∠ACO，∠EOH=∠AOC，AO=EO，
∴△EOH≌△AOC（AAS），
∴EH=AC=4，OH=OC=3，CH=6，
∴EC= EH2+CH2=213 ，
∴cos∠OCE= CHEC=6213=31313 ，
【分析】过点E作EH⊥DO交DO的延长线于H，设OA=r，利用垂径定理可求出AC的长，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；再利用AAS证明△EOH≌△AOC，利用全等三角形的性质可求出EH、CH的长；然后利用勾股定理求出CE的长，利用锐角三角函数的定义可求出cos∠OCE的值.
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接OB，作OM⊥AB与M.
∵OM⊥AB，
∴AM=BM= 12 AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴ OM=OB2?BM2=52?42=3 .
∴ 3≤OP<5 ，
故答案为：C.
【分析】连接OB，作OM⊥AB与M，由垂径定理得AM=BM=4,由勾股定理得OM=3,当P与A或B重合，OP最大为5,当P与M重合时，OP最小，OP=OM=3,得出3≤OP<5 ， 即可选出答案.
12.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接CO交EF于M，连接OF，
∵C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，CO⊥EF，EM=MF，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，则△CMD为等腰直角三角形，
设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，
∵DF＝2DE，
∴x+MF=2(MF﹣x)，解得：MF=3x，
设圆的半径为r，则OM=r﹣x
在Rt△OMF中，由勾股定理得：r2=( r﹣x)2+（3x）2 ，
解得：r=5x，则OM=4x，
∵EF∥AB，
∴CD：AD＝CM：OM=x：4x=1：4，
故答案为：D.
【分析】连接CO交EF于M，连接OF，由垂径定理易判断△AOC和△CMD是等腰直角三角形，设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，根据DF＝2DE可将MF用含x的代数式表示出来，设圆的半径为r，则OM=r﹣x，在Rt△OMF中，由勾股定理可将r用含x的代数式表示出来，则OM也可用含x的代数式表示出来，然后根据平行线分线段成比例定理得比例式CDAD=CMOM可求解.
二、填空题
13.【答案】 26
【解析】【解答】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示，
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， CD=1 寸， AB=10 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ AC=5 寸，
设OA=x寸，则 OC=(x?1) 寸，
∴在Rt△AOC中， AC2+OC2=OA2 ，即 52+(x?1)2=x2 ，
解得： x=13 ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26.
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，根据垂径定理可得AC=BC=5，设OA=x寸，则 OC=(x?1) 寸，在Rt△AOC中， 由AC2+OC2=OA2建立方程，求解即可.
14.【答案】 45°
【解析】【解答】解：由题意得： OC⊥AB ， AB=4 ，
∴AC=12AB=2 ，
∵OC=2 ，
∴AC=OC ，
∴Rt△AOC 是等腰直角三角形，
∴∠AOC=45° ，
故答案为：45°.
【分析】由垂径定理可得AC=12AB，结合已知易证Rt△AOC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解.
15.【答案】 6
【解析】【解答】解：如图，
∵OM⊥AB ，
∴AM=BM ，
∵ ∠AOM=60° ， OM=3 ，
∴ AM=OM·tan∠AOM=3×3=3 ，
∴AB=2AM=6 ，
故答案为6.
【分析】利用垂径定理得到 AM=BM ，由 ∠AOM=60° ，利用正切求出 AM ，得到 AB 的长.
16.【答案】 0.8或0.2.
【解析】【解答】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，
根据题意，得?? AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE= AO2?AE2 = 0.52?0.42 =0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
【分析】先利用勾股定理求出OE=0.3，再分类讨论，结合图形求解即可。
17.【答案】 32；13?5330
【解析】【解答】解：如图，过点O作BC的平行线，交AB、CF、⊙O于点M、N、P ， 过点E分别作MN、CF的垂线，垂足分别为Q、G ，
由圆的对称性可知，
AM＝BM＝ 12 AB＝ 532 ，∠AOM＝∠BOM＝ 12 ∠AOB＝60°，
在Rt△BOM中，
OM＝ BMtan60° ＝ 52 ，
OB＝ BMsin60° ＝5＝OP ，
∴PN＝MN﹣OM﹣OP＝9﹣ 52 ﹣5＝ 32 ，
即：航线离暗礁区最近点距离为 32 海里；
由题意得，∠GFE＝90°﹣60°＝30°＝∠FEQ ，
又∵∠FEO＝90°，
∴∠OEQ＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△OEQ中，OQ＝OE?sin60°＝5× 32 ＝ 532 ，
∴QN＝MN＝OM﹣OQ＝9﹣ 52 ﹣ 532 ＝ 13?532 ＝GE ，
在Rt△EFG中，
EF＝ EGsin30° ＝13﹣5 3 ，
∴所用的时间为 13?5330 （小时），
故答案为： 32 ， 13?5330 ．
【分析】由圆的对称性和垂径定理可求出OM ， 进而求出PN的长，即为航线与暗礁的最小距离；求出EF的长，再计算相应的时间即可．
18.【答案】 (0,9)
【解析】【解答】解：如图，连接AP ，
∵点A的坐标为 (?3,0) ，点C的坐标为 (0,?1) ，
∴AO=3,OC=1 ．
设半径为r ， 则 AP=PC=DP=r ，
∵AO2+OP2=AP2 ，
∴32+(r?1)2=r2 ，
解得 r=5 ，
∴OP=PC?OC=4 ，
∴OD=OP+DP=9 ，
∴点D的坐标为 (0,9) ，
故答案为： (0,9) ．
【分析】先求出AO=3，OC=1，再利用勾股定理求出r=5 ，最后计算求解即可。
三、综合题
19.【答案】 （1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
{∠B＝∠DAB＝AD∠BAC＝∠DAE ，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE.
（2）解：连接CO，如图，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
设OC=r，则OF=r-100
根据勾股定理：r2=（r-100）2+3002
则r=500，
∴这段弯路的半径是500m.
【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC=AE.（2）根据垂径定理即可求得CF的长，设这段弯路的半径长是r，则在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的长
20.【答案】 （1）解：如图，连接AD.
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°.
又∵AD＝AE，
∴ ∠DEA=∠ADE=12(180°?50°)=65° .
（2）解：如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5.
又∵ 12 ?AF?BC＝ 12 ?AC?AB，
∴ AF=12×3×412×5=125 ，
∴ CF=32?(125)2=95 .
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴ CD=2CF=185 .
【解析】【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可.（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论.
21.【答案】 （1）解：∵O（0，0），A（0，－6），B（8，0），∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝ 62+82 ＝10.∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，∴⊙P的半径是5.
∵点P为AB的中点，∴P（4，－3）.
（2）证明：∵M点是劣弧OB的中点，∴弧OM=弧BM，∴∠OAM＝∠MAB，∴AM为∠OAB的平分线.
【解析】【分析】（1）由题意用勾股定理可求得AB的值，然后由半径=12直径=12AB可求解；由点P是直径AB的中点可求解；
（2）根据相等的弧所对的圆心角相等可得∠OAM＝∠MAB，再由角平分线的定义可求解.
?
?
22.【答案】 （1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴ OAOC=OBOD ，
即 OAOA+AC=OBOD ，
又OA=5，AC=3，
∴OB=3，
∴ 55+3=5OD ，
∴OD=8 ?；
（2）如图，过O作OE⊥CD，连接OM，则ME= 12 MN，
∵tan∠C= 34 ，即 OECE=34 ，
∴设 OE=3x ，则 CE=4x ，
在Rt△OEC中， OC2=OE2+CE2 ，即 82=(3x)2+（4x）2 ，解得 x=85 ，
∴OE=245 ， CE=325
在Rt△OME中， OM2=OE2+ME2 ，即 52=(245)2+ME2 ，解得 ME=75 .
∴ MN=145 .
【解析】【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知 ME=12MN ，再根据 tan∠C=34 可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.