黑龙江省大庆市高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

大庆市高中2020—2021学年度下学期期末考试
高一（数学）试题
一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分每小题只有一个选项正确．）
1．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（ ）

A．24 B．30 C．32 D．35
2．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为false，false，标准差分别为false，false，则（ ）

A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
3．如图，在直棱柱false中，false，false，false为false的中点，false为false的中点，则异面直线false与false所成角的正切值为（ ）

A．false B．false C．false D．false
4．如图，在平行四边形false中，false是false的中点，false，则false（ ）

A．false B．false C．false D．false
5．若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．若向量false，false满足：false，false，则false在false上的投影向量为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是false，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false，当false的外接圆半径false时，false面积的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知false是边长为4的等边三角形，false为平面false内一点，则false的最小值是（ ）
A．-2 B．false C．-3 D．-6
10．在false中，false，false、false分别在false、false上，false，false，将false沿false折起，连接false，false，当四棱锥false体积最大时，二面角false的大小为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若false，false互为共轭复数，则false为实数
B．若false为虚数单位，false为正整数，则false
C．复数false的共轭复数为false
D．复数为false的虚部为-1
12．已知false，false是两个不同的平面，false，false，false是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若false，false，则false
B．若false，false，false，则false
C．若false，false，false，则false
D．若false，false，false，则false
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为______．
14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是______．
15．如图所示，为测量山高false，选择false和另一座山的山顶false为测量观测点．从false点测得false点的仰角false，false点的仰角false以及false；从false点测得false．已知山高false，则山高false______false．

16．已知false、false、false、false为同一球面上的四个点在false中，false，false；false，false平面false，则该球的体积为______．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成false，false，false，false，false，false六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数false内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

18．已知函数false．
（1）求函数false的最小正周期；
（2）若false对false恒成立，求实数false的取值范围．
19．如图，正三棱柱false的底面边长是2，侧棱长是false，false是false的中点．
（1）求证：false平面false；
（2）求三棱锥false的体积．

20．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：false，false，false，false，false，false，false后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）试求这40人年龄的平均数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在false的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ii）已知该小区年龄在false内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．
21．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false．
（1）求false的大小；
（2）若false，且false的面积为false，求false的值．
22．如图，边长为2的正方形false所在的平面与平面false垂直，false与false的交点为false，false，且false．
（1）求证：false平面false；
（2）求直线false与平面false所成角正切值．


参考答案
1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．C 11．AD 12．AC
13．false 14．4.7 15．750 16．false
17．（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）false．
（1）设分数在false内的频率为false，根据频率分布直方图，
则有false，可得false，
所以频率分布直方图为：

（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，
所以中位数是false，所以估计本次考试成绩的中位数为false．
18．（1）false；（2）false
解：（1）因为false
false
false
false
false
false
所以false的最小正周期为false．
（2）“false对false恒成立”等价于“false”
因为false，所以false．
当false，即false时，
false的最大值为false，所以false，
所以实数false的取值范围为false．
19．（1）证明见解析；
（2）

（1）设false与false相交于点false，则false为false中点，连接false，
∵false为false中点，∴false，
又∵false平面false，∴false平面false；
（2）连接false，则false，
在正三棱柱false中，false平面false，
则false与false到平面false的距离相等，
∵false为false的中点，∴false，
又平面false平面false，且平面false平面false，
∴false平面false，
在等边三角形false中，由false，得false，
又正三棱柱的侧棱长为false，∴false，
∴false．
20．（1）37；（2）（i）false；（ii）1760．
解：（1）平均数
false．
（2）（i）样本中，年龄在false的人共有false人，其中年龄在false的有4人，设为false，false，false，false，年龄在false的有2人，设为false，false．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
false，false，false，false，false，false，false，false，false．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件false，
故所求概率false．
（ii）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为false，
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为：false．
21．（1）false；（2）4．
解： （1）由false，得false，
即false，
由余弦定理得false；又false，
所以false．
（2）由（1）可得false，
所以false；
又因为false，
所以false；
所以false的面积为false，
解得false；
由正弦定理false（false为false外接圆的半径），
所以false，
解得false；
所以false．
22．（1）证明见解析；（2）false．
（1）∵平面false平面false，平面false平面false，false，false平面false，∴平面false，
∵false平面false，∴false，
因为四边形false为正方形，则false，即false，
∵false，所以，false平面false；
（2）取false的中点false，连接false、false，

∵false，false为false的中点，则false，
∵四边形false为正方形，则false，
∵平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
∴false平面false，false平面false，false，
∵false，∴false平面false，
所以，直线false与平面false所成角为false，
∵false平面false，false平面false，∴false，
∴false，
∵false，
在false中，false，故false，
因此，直线false与平面false所成角正切值为false．