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人教B版高中数学二（必修）
对数运算
b
1
2
…
12
13
14
15
…
26
27
…
b
N?2
2
4
…
4096
8192
16384
32768
…
67108864
134217728
…
8192?16384
?
2
?2
?
2
简化运算：把两个大数的相乘问题转化为两个小数的相加问题
27
?
2
13
14
13?14
?
?
【问题2】如何快速计算299792458?31556925.9747
一、创设情境、引入新课
2的次幂对应表
【问题1】在不用计算器的前提下，如何快速计算8192?16384
?
?
2
?
299792458
2
?31556925.9747
2
?
x
x
?
32
a
?
N
b
对数运算
开方运算
3
知a,b求N
乘方运算
x2
二、逻辑推理、概念形成
x1
知b,N求a
5
知a,N求b,即ax
?
N
2x1
?
299792458
【思考】形如
a
?
N
(a
?
0且a
?
1,
N
?
0)
的方程是否
已知方程：
2
?
3
【小结】当
a?1时，方程
a
?N?N
?0?
有唯一的解
1
7
6
5
4
3
2
1
2
3
-1
-2
=
0
x
二、逻辑推理、概念形成
x
有解？
x
【问题3】根据指数函数的图像思考：
1、对于指数x,你认为x的值存在吗？
2、如果存在，有多少个符合条件的x值？为什么？
?1?
?3?
?
0
1
3
2
-2
-1
7
6
5
4
3
2
1
=(
)
ax
?N?N
?0?有唯一的解
【结论】当a?0且a?1时，方程
二、逻辑推理、概念形成
x
已知方程：
?
?
7
【问题4】根据指数函数的图像思考：
1、对于指数x,你认为x的值存在吗？
2、如果存在，有多少个符合条件的x值？为什么？
【小结】当
0?a?1时，方程
ax
?N?N
?0?有唯一的解
背景
概念
应用
性质
二、逻辑推理、概念形成
logaN
注意：①规范写
②正确读：读作以a为底N的对数
③要树立“指对互化”的意识
④性质一：真数N>0，即负数和零没有对数
二、逻辑推理、概念形成
【对数的定义】一般地，如果ab
?
N?a
?0且a
?1,N
?0?
，
那么幂指数b
称为以a
为底N
的对数(logarithm),记
作b
?
loga
N,其中a称为对数的底数，N称为对数的真数。
底
底
数
指
数
幂
真
数
?
=
??????????
=
log?
?
对
数
数
《数理精蕴》中把对数称为“假数”，
取“借用一下”之意，
N称为“真数”。
“真数”一直沿用至今，而“假数”后来
被“对数”所取代，取“对应指数”之意
二、逻辑推理、概念形成
(1)2
?
x
(2)x
?
32
(3)2
?
299792458
【巩固练习】把前面引例中的指数式写成对数式
3
5
x1
(1)log
=3
(2)log
32
=
5
(3)log
299792458
=
二、逻辑推理、概念形成
，
，1，2，3，4，10
1
100
集合A
1
3
b
集合A的元素，并写出指数式对应的对数式
【问题6】根据这些对数式，请试着归纳一下对数都有什么性质，
并进行证明。
三、探究性质、理解概念
-2，-1，0，
指数
对数
性质
幂为正
真数N>0，即负数和零没有对数
0
a?1
loga1?0
1
a?a
logaa?1
【常用对数定义】通常以10为底的对数称为常用对数（common
logarithms），
即
log10
N
，简写为
lgN
【自然对数定义】科学技术中，常用到以无理数
e
?
2.71828?
为底的对数叫
做自然对数（natural
logarithms）,简写为
lnN
三、探究性质、理解概念
常用对数
自然对数
????lg
=
log
ln
=
log
(e
≈
2.71828……)
?1?lg2001
(1)3.3012
?2?ln0.0045
(2)
?
5.4037
?3?ln396.5
(3)5.9827
(4)log
299792458
=
?
三、探究性质、理解概念
【实验操作】利用科学计算器求出下列对数的值（精确到0.0001）
a
?
N
log
a
a
?
b
1
100
?
lg10?2
?
?2
【对数恒等式1】
b
表达的是同一关系式，如果把指数表达式中的N代入对数表达式，你有什么发现？
b
b
?
loga
N
b
三、探究性质、理解概念
【问题7】回顾刚才有的同学举得例子，比如
log2
4
?
log2
22
?
2,lg
你还有什么发现？
a
?
N
a
?
N
loga
N
b
?
N
loga
N
?
b?loga
N
【对数恒等式2】a
lnN
【思考】e
?
N
三、探究性质、理解概念
【问题9】类比前面的推导，如果把对数表达式中的b代入指数表
达式，你又有什么发现？
1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，还尊崇e
界上“十个重要的数学公式”之一
?
N
为世
ln
N
?1?log2
?4?2log
32
?5?52log
3
?3?lne
1
2
2
?2?lg0.1
5
5
?6?10?1g3
四、应用举例、深化概念
【小试牛刀】求下列各式的值
在地理领域，对数
用于计算地震强度
对数在现实生活中的应用
在生物领域，对数用于求“半
衰期”估计生物死亡的年数
在化学领域，对数
用于求“PH”值
在物理领域，用于
测量声音的分贝
振幅的几倍？已知里氏震级M的计算公式为：
lg
M
?
，A是被测
【合作探究】地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的，2008年，
我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为
里氏8.0级，震级相差0.2，请问，8.0级地震的最大振幅是7.8级最大
A0
A
10
地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅。（参考数据：
0.2
?1.58
）
四、应用举例、深化概念
在…有待加强
自主反思
体会了…的思想
五、归纳小结、布置作业
学会了…的知识
掌握了…的方法
回顾学习
活动形成
2、阅读课本18-19页的“拓展阅读”——素数个数与对数
3、收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写
小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。
五、归纳小结、布置作业
——
17
——
对
数
的
发
明
和
解
析
几
何
的
创
始
、
微
积
分
的
建
立
称
为
世
纪
数
学
的
三
大
成
就
。
恩
格
斯
对
数
的
发
明
者
苏
格
兰
最
快
乐
的
数
学
家
约
翰
纳
皮
尔
——
——
对
数
用
缩
短
计
算
的
时
间
来
使
天
文
学
家
的
寿
命
加
倍
。
拉
普
拉
斯
给
我
时
间
、
空
间
以
及
对
数
，
我
就
可
以
创
造
一
个
宇
宙
！
伽
利
略
我为自己代言（对数版）
你只看到我源于指数，
却没看到我比指数早一步来到这世上.
你有你的迷茫，我有我的规则.
你否定我的可爱，
伽利略说，“给我时间、空间以及对数，我就可以创造一个宇宙。”
你嘲笑我面目可憎晦涩难懂，
我恳请你靠近一点再多读我一遍.
懂我，是场注定孤独的旅行，
路上少不了探索与思考.
但那又怎样，哪怕再艰难，
也有执着睿智的勇士理解我的价值与内涵.
我是对数，我为自己代言！
