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1.1集合的概念
【学习要求】
1.通过实例了解集合的含义．
2.掌握集合中元素的三个特性．
3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．
4.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．
5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
【思维导图】
【知识梳理】
一、集合的概念
1．元素与集合的概念
(1)元素：我们把研究对象统称为元素．
表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
2．集合中元素的特性
二、元素与集合的关系
1．元素与集合的关系
【注】
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
2．集合的分类及常用数集
(1)分类
(2)常用的数集：
数集
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
(3)常用数集关系网
实数集R
三、集合的表示法
1、列举法定义：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．{a1，a2，a3，…，an}。用列举法表示集合应注意的问题：
(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
(2)元素间用“，”分隔开；元素不能重复，不考虑顺序；
(3)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1
000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1
000}；
(4)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
2、描述法定义：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3、Venn图：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
【高频考点】
高频考点1.
集合的基本概念
【方法点拨】
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【例1】（2021·浙江高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（
）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B
【变式1-1】（2020·江苏高一期中）下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（
）
A．组
B．组
C．组
D．组
【答案】A
【详解】①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；
②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；
③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；
④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；
⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.
【变式1-2】（2020·广东深圳市·高一期末）下列各组对象不能构成集合的是（
）
A．所有的正方形
B．方程的整数解
C．我国较长的河流
D．出席十九届四中全会的全体中央委员
【答案】C
【详解】对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；
对于B选项，“方程的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；
对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；
对于D选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.故选：C.
【变式1-3】（2021.福建省高一期中）下列各组对象不能组成集合的是（ ）
A．2021年欧洲杯参数队伍
B．中国文学四大名著
C．我国的直辖市
D．抗日战争中著名的民族英雄
【答案】D
【详解】根据集合的性质，要求元素是确定的，而D中什么情况算是著名，没有明确的界限，不确定，所以错误.故选：D.
【变式1-4】[多选题]（2020秋?六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ）
A．比较小的数
B．不大于10的偶数
C．所有三角形
D．高个子男生
【解答】解：在A中，比较小的数，没有确定性，故A不能构成集合；
在B中，不大于10的偶数，有确定性，故B能构成集合；
在C中，所有三角形，具有确定性，故C能构成集合；
在D中，高个子男生，没有确定性，故D不能构成集合．故选：BC．
高频考点2
.
判断元素与集合的关系
【方法点拨】
判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【例2】（2021·浙江高一期末）已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为集合，所以，故选：D.
【变式2-1】（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）下列关系中①；②；③；④正确的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】①因为是自然数，所以，故正确；②因为不是整数，所以，故错误；
③因为是整数，所以，故错误；④因为是无理数，所以，故正确；故选：C.
【变式2-2】（2020·北京市第四十四中学高一期中）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，集合，且，因为，所以.故选：A.
【变式2-3】（2020·上海市杨浦高级中学高一期中）非空集合A具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（
）
（1）（2）（3）若，则（4）若，则
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（1）（2）（3）
D．（2）（3）（4）
【答案】C
【详解】对于（1），若，则，因此；而对于，时，显然无意义，不满足，所以，故（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取
，则，所以（4）错误.故选：C.
【变式2-4】已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}．（1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系；（2）设x1，x2∈A，证明：x1?x2∈A．
【解答】（1）解：m＝0，n＝﹣1时，；∴x1∈A；
，；∴x2?A；
；∴x3∈A；
（2）证明：∵x1，x2∈A；∴，mi，ni∈Z，i＝1，2；
∴；
∵m1m2+2n1n2，m1n2+n1m2∈Z；∴x1?x2∈A．
高频考点3
.
利用集合中元素的特异性求参数
【方法点拨】
①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；
②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
【例3】（2020秋?花都区校级月考）若集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，则实数m的值是（ ）
A．±2或1
B．﹣2或1
C．2或1
D．﹣2
【解答】解：∵集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，
①当m﹣2＝0时，m＝2,
②当时，m＝﹣2或m＝1，
综上，m＝±2或m＝1,故选：A．
【变式3-1】（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（
）
A．－2
B．2
C．4
D．2或4
【答案】A
【详解】依题意，
若，则，不满足集合元素的互异性，所以；
若，则或（舍去），此时，符合题意；
若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.
综上所述，的值为.故选：A
【变式3-2】（2020·广东中山市迪茵公学高一月考）设集合，若且，则实数的取值范围是________
【答案】
【详解】解：因为集合，若且，
且；解得；故答案为：．
【变式3-3】（2021·重庆高一月考）已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为________
【答案】
【详解】由题意，①当时，方程为，解得，满足仅有两个子集；
②当时，方程有两个相等实根，所以，解得；
所以实数的取值构成的集合为：．故答案为：．
【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合，则有（
）.
A．且
B．但
C．但
D．且
【答案】B
【详解】由，即集合A，
则，.故选：B
高频考点4.
用列举法表示集合
【方法点拨】
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【例4】（2021·山东省淄博实验中学高三月考）集合，用列举法可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为且，所以的可取值有：，
所以列举法表示集合为：，故选：B.
【变式4-1】（2021·河北石家庄市·石家庄高一月考）用列举法表示集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】方程的解是，所以集合，故选：B
【变式4-2】（2021·上海高一专题练习）下列命题中正确的（
）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上语句都不对
【答案】C
【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.
【变式4-3】（2020·上海高一期末）定义．已知，，，用列举法表示________．
【答案】．
【详解】因为，，，所以，
故答案为：.
【变式4-4】（2020秋?西安区校级月考）用列举法表示下列集合
（1）{x∈N
|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
【解答】解：（1）{x∈N
|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}
（5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}
高频考点5
.
用描述法表示集合
【方法点拨】
①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
②用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.；若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
【例5】（2020秋?镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合．
（1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（3）所有三角形构成的集合．
【解答】解：（1）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．
（2）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}
（3）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
【变式5-1】（2020·浙江杭州市·高一月考）用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z};②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z};③C＝{2b+1|b∈Z};④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：由题意得：①②表示奇数集合，③的表示方法错误，
④D＝{x|x＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，
∵一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，故④表示奇数集合；故选：C．
【变式5-2】（2020秋?黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2）可用集合表示为（ ）
A．{（x，y）|x≠1，y≠1，x≠2，y≠﹣2}
B．{（x，y）|或}
C．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2][（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
D．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2]+[（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
【解答】解：直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2），其余的点全部在集合中，
A选项中除去的是四条线；B选项中是一个或字，没有同时排除两点；
C选项符合题意；D选项不能同时排除A，B两点．故选：C．
【变式5-3】（2020秋?平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为
．
【解答】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则
{x，y）|﹣1≤x≤0，y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}＝{（x，y）|xy≥0且﹣1≤x≤2，y≤1}
故答案为：{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}．
【变式5-4】（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为_________．
【答案】
【详解】因为被除余的整数可表示为：，
所以用描述法表示为集合则有：，故答案为：.
高频考点6
.
集合中的新定义问题
【方法点拨】
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
【例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高一期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；
④是“好集合”；⑤设集合是“好集合”，若、，则；其中真命题的序号是________.
【答案】③④⑤
【详解】对于命题①，，，但，①错误；
对于命题②，，但，②错误；
对于命题③④，显然，集合、均满足（1）（2），所以，、都是“好集合”，③④正确；
对于命题⑤，当时，由于，则，
当，则，⑤正确.故答案为：③④⑤.
【变式6-1】（2021?黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有
个．
【解答】解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}；
②含有2个元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}；
③含有3个元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；
④含有4个元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}；
⑤含有5个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}；
⑥含有6个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}；
⑦含有7个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}．
【变式6-2】（2021?黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A?B中所有元素之积为（ ）
A．﹣8
B．﹣16
C．8
D．16
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，
定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，∴A?B＝{2，﹣4，﹣1}，
故A?B中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）＝8．故选：C．
【变式6-3】（2021?定远县期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（ ）
A．18
B．17
C．16
D．15
【解答】解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14任取一个有7种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；
（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；
（3）当m＝16，n＝1，和m＝1，n＝16，即这种情况下集合M有两个元素；
∴集合M的元素个数是7+8+2＝17．故选：B．
【变式6-4】（2020·浙江省高一课时练习）设是集合A上的一个运算，若对任意，有，则称A对运算封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即.若分别是：①加法，②减法，③乘法，④除法，则A对运算封闭的序号有________.
【答案】③
【详解】设a，b是两个正整数，则的和不一定属于A，如；
的差也不一定属于A，如；的商也不一定属于A，如；
但由于，并且当a，b是正整数时，也是正整数，所以，故③满足条件.故答案为：③
易错点1.
忽略集合中元素的互异性
【方法点拨】
在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
【例1】若，则a=（
）
A．
B．0
C．1
D．0或1
【答案】C
【解析】因为，所以有或.
当时，解得或，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以.
当时，解得，由上可知舍去，综上：.故选：C
【变式1】已知，且，则实数的取值集合是______．
【答案】
【解析】当时，，由集合元素互异性知，不合题意
当时，，满足题意
当时，或或（舍）
综上所述：实数的取值集合是：
【变式2】设集合，，，求的值．
【答案】
【解析】∵，∴．∵，∴或，或.
①当时，，满足；
②当时，与集合元素的互异性矛盾，故舍去．综上，．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·浙江省高一期末）已知集合，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以.故选：C
2．（2020·北京高一期末）方程组的解集是（ ）
A．{(1，﹣1),(﹣1，1)}
B．{(1，1),(﹣1，﹣1)}
C．{(2，﹣2),（﹣2，2)}
D．{(2，2),(﹣2，﹣2)}
【答案】A
【详解】方程组的解为或，其解集为 ．故选：A．
3．（2020·湖北省高一期末）已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，
因此，集合中有个元素.故选：B.
4．（2020·浙江省高一课时练习）下面四个命题正确的个数是（
）.
①集合中最小的数是1；②若，则；
③若，则的最小值是2；④的解集是.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；
当时，，但，故②错误；
若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C
5．（2020·浙江省高一课时练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】对于①，，，①正确；
对于②，，即被除余，，②错误；
对于③，设，，，能被整除，，③正确；
对于④，设，，即，，不妨令，，，
则，，，，
属于同一“类”，
④正确；综上所述：正确结论的个数为个.故选：.
6．（2020·常德市第二中学高三其他）已知集合，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【详解】当时，，此时，满足题意；
当时，或；
若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；
实数的取值集合为.故选：.
7．（2021·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；
（4）；与相同的集合有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【详解】对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同，故选：B
8．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一课时练习）用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
【答案】A
【详解】由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020·浙江宁波市·余姚中学高一月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数可以取（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】因集合中至多有一个元素，即方程至多有一个根，
当时，方程可化为方程，解得，满足题意；
当时，若方程无解，则，解得或；
若方程只有一个根，则，解得，
综上实数的范围为或或；即ABC都正确，D错误.故选：ABC.
10．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知集合，，且、，，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】因为集合，，
所以集合表示奇数集，集合表示偶数集，、是奇数，是偶数，
A项：因为两个奇数的积为奇数，所以，A正确；
B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以，B正确；
C项：因为两个奇数的和为偶数，所以，C正确；
D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，D错误，故选：ABC.
11．（2020·江苏镇江市·丹徒高中高一月考）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（
）
A．若m=1，则
B．若，则≤n≤1
C．若，则
D．若n=1，则
【答案】BC
【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.
∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；
同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得：
.
对于A:
m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；
对于B:
,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；
对于C:
若，有，解得：，故C正确；
对于D:
若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC
12．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【详解】A：当时，方程无实根，所以，或；
当时，，由得，此时；
当，时，，由得，此时；故存在A成立；
B：当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则，且，故为方程的根，故有三个根，即时，必有，故不可能是，；故B错；
C：当时，由得或；
由得或；只需，即可满足，；故存在C成立；
D：当时，由得，即；由得；即；故存在D成立；
故选：ACD.
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·浙江省高一课时练习）若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______
.
【答案】
【详解】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，
而所有元素之和大于，不符合条件，所以，即为最小元素，
于是，解得.
14．（2021·山东高一课时练习）给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.（填序号）
【答案】④
【详解】①中取，则，故①不成立；
②中取，此时，不是正整数，故②不成立；
③中取，则，不是无理数，故③不成立；
④中取，则，故④成立.故答案为：④
15．（2020·上海高一专题练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【详解】由题意：中元素，即为的解，
∴或，可知：或
∴当时，；当时，，
∴或，故答案为：或
16．（2020·上海高一专题练习），，则的取值范围_________；，，则=____．
【答案】
1
【详解】①由得；
②由得
故答案为：；1
16．（2021·徐汇区·上海中学高一期中）已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，则实数的所有可能取值是________
【答案】
【详解】将表示为，可得如下结果：
，
，
，
，
，
其中为，，都出现了次，所以若方程至少有三组不同的解，
则的取值集合为，故答案为：
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【详解】（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
18．（2021·江苏省江浦高级中学高一月考）已知集合．问是否存在，使:（1）中只有一个元素；（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，或；（2）存在，或；（3）存在，.
【详解】（1）当时，方程只有一解，即；
当，且，即时，方程有两个相等的根，中只有一个元素.
综上所述：当或时，中只有一个元素.
（2）中至多有一个元素，即或中只有一个元素.
由（1）可知或时中只有一个元素，
而，即时方程无解，为空集，
综上所述：当或时，中至多有一个元素.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，
时，，即，其中时，方程有两个相等的根，，.
若，方程有两个不相等的根，，，此时.
时，方程有根，.
综上所述：时，中至少有一个元素.
19．（2020·上海高一课时练习）已知集合，
（1）求证：任何奇数都是中的元素；（2）判断偶数是否为的元素？请说明理由；
（3）求证：属于的两个元素之积仍属于；（4）试求中第个正整数.
【答案】（1）证明见解析；（2）数字不是集合中的元素；答案见解析；（3）证明见解析；（4）.
【详解】（1）由奇数表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素.
（2）分析集合的性质，可得，当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数；当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，所以或为偶数，或为的倍数，因此数字不是集合中的元素；
（3）不妨任意取，则，所以
，因为，，所以可知属于集合的两个元素之积仍属于集合；
⑷由⑴、⑵、⑶可知相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，则这个数中有个是集合的元素，而分析，故中第个正整数应该是.
20．（2021·江苏省响水中学高一月考）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或或；（2）存在，.
【详解】（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合，
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得(舍)或，所以集合
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得或(舍)或所以集合或
综上所述：或或.
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即，
当时，则无意义，当时，则无意义，
所以，，并且，，即，
不妨设集合且，当时，由题意可知，，
若，即，解得或(舍)，此时集合；
若，则不成立；若，即(舍)，
当时，由题意可知，，若，则（舍），
若，则（舍），若，则不成立，
综上所述，集合A是存在的，.
21．（2021·北京北师大实验中学高一月考）已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则；（1）判断是否正确，说明理由（2）证明：若则（3）证明：若则
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】（1）正确.
证明如下：由①知
由②可得
由③得
（2）证明：由①知
由题知，
由②可得
又，即
（3）证明：，由②可得，再由③可得
即，即，
即当
由（2）可知，当
当，可得
22．（2021·浙江台州市·高一期末）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．
【详解】（1），．
，．
，．
中至少还有两个元素为，；
（2）不是双元素集合．理由如下：，，，
由于且，，则，
则，可得，由，即，可得，
故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．
（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），且，
设中有一个元素为，则，，且，
所以，，且集合中所有元素之积为.
由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设或，解得（舍去）或或．
此时，，，，
由题意得，整理得，
即，解得或或，所以．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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32中小学教育资源及组卷应用平台
1.1集合的概念
【学习要求】
1.通过实例了解集合的含义．
2.掌握集合中元素的三个特性．
3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．
4.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．
5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
【思维导图】
【知识梳理】
一、集合的概念
1．元素与集合的概念
(1)元素：我们把研究对象统称为元素．
表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
2．集合中元素的特性
二、元素与集合的关系
1．元素与集合的关系
【注】
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
2．集合的分类及常用数集
(1)分类
(2)常用的数集：
数集
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
(3)常用数集关系网
实数集R
三、集合的表示法
1、列举法定义：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．{a1，a2，a3，…，an}。用列举法表示集合应注意的问题：
(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
(2)元素间用“，”分隔开；元素不能重复，不考虑顺序；
(3)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1
000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1
000}；
(4)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
2、描述法定义：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3、Venn图：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
【高频考点】
高频考点1.
集合的基本概念
【方法点拨】
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【例1】（2021·浙江高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（
）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【变式1-1】（2020·江苏高一期中）下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（
）
A．组
B．组
C．组
D．组
【变式1-2】（2020·广东深圳市·高一期末）下列各组对象不能构成集合的是（
）
A．所有的正方形
B．方程的整数解
C．我国较长的河流
D．出席十九届四中全会的全体中央委员
【变式1-3】（2021.福建省高一期中）下列各组对象不能组成集合的是（ ）
A．2021年欧洲杯参数队伍
B．中国文学四大名著
C．我国的直辖市
D．抗日战争中著名的民族英雄
【变式1-4】[多选题]（2020秋?六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ）
A．比较小的数
B．不大于10的偶数
C．所有三角形
D．高个子男生
高频考点2
.
判断元素与集合的关系
【方法点拨】
判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【例2】（2021·浙江高一期末）已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）下列关系中①；②；③；④正确的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2-2】（2020·北京市第四十四中学高一期中）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2020·上海市杨浦高级中学高一期中）非空集合A具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（
）
（1）（2）（3）若，则（4）若，则
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（1）（2）（3）
D．（2）（3）（4）
【变式2-4】已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}．（1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系；（2）设x1，x2∈A，证明：x1?x2∈A．
高频考点3
.
利用集合中元素的特异性求参数
【方法点拨】
①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；
②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
【例3】（2020秋?花都区校级月考）若集合A＝{x|（m﹣2）x2+2mx﹣1＝0}有且仅有1个元素，则实数m的值是（ ）
A．±2或1
B．﹣2或1
C．2或1
D．﹣2
【变式3-1】（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（
）
A．－2
B．2
C．4
D．2或4
【变式3-2】（2020·广东中山市迪茵公学高一月考）设集合，若且，则实数的取值范围是________
【变式3-3】（2021·重庆高一月考）已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为________
【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合，则有（
）.
A．且
B．但
C．但
D．且
高频考点4.
用列举法表示集合
【方法点拨】
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【例4】（2021·山东省淄博实验中学高三月考）集合，用列举法可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2021·河北石家庄市·石家庄高一月考）用列举法表示集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2021·上海高一专题练习）下列命题中正确的（
）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上语句都不对
【变式4-3】（2020·上海高一期末）定义．已知，，，用列举法表示________．
【变式4-4】（2020秋?西安区校级月考）用列举法表示下列集合
（1）{x∈N
|x是15的约数}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}
（5）A＝{x∈N|∈N}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
高频考点5
.
用描述法表示集合
【方法点拨】
①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
②用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.；若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
【例5】（2020秋?镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合．
（1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（3）所有三角形构成的集合．
【变式5-1】（2020·浙江杭州市·高一月考）用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z};②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z};③C＝{2b+1|b∈Z};④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式5-2】（2020秋?黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2）可用集合表示为（ ）
A．{（x，y）|x≠1，y≠1，x≠2，y≠﹣2}
B．{（x，y）|或}
C．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2][（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
D．{（x，y）|[（x﹣1）2+（y﹣1）2]+[（x﹣2）2+（y+2）2]≠0}
【变式5-3】（2020秋?平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为
．
【变式5-4】（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为_________．
高频考点6
.
集合中的新定义问题
【方法点拨】
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
【例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高一期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；
④是“好集合”；⑤设集合是“好集合”，若、，则；其中真命题的序号是________.
【变式6-1】（2021?黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有
个．
【变式6-2】（2021?黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A?B中所有元素之积为（ ）
A．﹣8
B．﹣16
C．8
D．16
【变式6-3】（2021?定远县期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn．则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（ ）
A．18
B．17
C．16
D．15
【变式6-4】（2020·浙江省高一课时练习）设是集合A上的一个运算，若对任意，有，则称A对运算封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即.若分别是：①加法，②减法，③乘法，④除法，则A对运算封闭的序号有________.
易错点1.
忽略集合中元素的互异性
【方法点拨】
在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
【例1】若，则a=（
）
A．
B．0
C．1
D．0或1
【变式1】已知，且，则实数的取值集合是______．
【变式2】设集合，，，求的值．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·浙江省高一期末）已知集合，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·北京高一期末）方程组的解集是（ ）
A．{(1，﹣1),(﹣1，1)}
B．{(1，1),(﹣1，﹣1)}
C．{(2，﹣2),（﹣2，2)}
D．{(2，2),(﹣2，﹣2)}
3．（2020·湖北省高一期末）已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江省高一课时练习）下面四个命题正确的个数是（
）.
①集合中最小的数是1；②若，则；
③若，则的最小值是2；④的解集是.
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（2020·浙江省高一课时练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2020·常德市第二中学高三其他）已知集合，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·上海市实验学校高一期末）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；
（4）；与相同的集合有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一课时练习）用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020·浙江宁波市·余姚中学高一月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数可以取（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知集合，，且、，，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·江苏镇江市·丹徒高中高一月考）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（
）
A．若m=1，则
B．若，则≤n≤1
C．若，则
D．若n=1，则
12．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·浙江省高一课时练习）若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______
.
14．（2021·山东高一课时练习）给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.（填序号）
15．（2020·上海高一专题练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
16．（2020·上海高一专题练习），，则的取值范围_________；，，则=____．
16．（2021·徐汇区·上海中学高一期中）已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，则实数的所有可能取值是________
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
18．（2021·江苏省江浦高级中学高一月考）已知集合．问是否存在，使:（1）中只有一个元素；（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
19．（2020·上海高一课时练习）已知集合，
（1）求证：任何奇数都是中的元素；（2）判断偶数是否为的元素？请说明理由；
（3）求证：属于的两个元素之积仍属于；（4）试求中第个正整数.
20．（2021·江苏省响水中学高一月考）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
21．（2021·北京北师大实验中学高一月考）已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则；（1）判断是否正确，说明理由（2）证明：若则（3）证明：若则
22．（2021·浙江台州市·高一期末）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
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精品试卷·第
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