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1.2
集合间的基本关系
【学习要求】
1.理解集合之间的包含与相等的含义．
2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．
3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．
【思维导图】
【知识梳理】
一、子集
定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
记法与读法：记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
或
重要结论：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC．
对子集的理解：
(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．
二、集合相等
如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示．
对集合相等的理解：(1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；
(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
三、真子集
定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．
记法：记作AB(或BA)．
结论：(1)AB且BC，则AC；(2)AB且A≠B，则AB．
四、空集
定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集．
记法：
规定：空集是任何集合的子集，即A
特性：(1)空集只有一个子集，即它本身，
(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A
【高频考点】
高频考点1.
子集、真子集的概念
【方法点拨】
①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，是判断A?B的常用方法．
②不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
【例1】（2021·梁河县高一月考）下列命题中正确的是（
）
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合，那么，若，则
【答案】D
【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；
C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；
D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D.
【变式1-1】（2021·江西省吉水县高一期中）在①；②；③；
④
上述四个关系中，错误的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【详解】解：
“”表示集合与集合间的关系，所以①错误；
集合中元素是数，不是集合元素，所以②错误；
根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；
所表示的关系中，错误的个数是2．故选：B．
【变式1-2】（2021?宁县校级月考）对于集合A，B，“A?B”不成立的含义是（ ）
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
【解答】解：∵“A?B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，
∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．
【变式1-3】[多选题]（2021.山东高一期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．空集是任何集合的真子集；
B．若A?B，B?C，则A?C；
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
D．如果不属于B的元素也不属于A，则A?B
【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错；真子集具有传递性，B对；
空集没有真子集，C错；如果不属于B的元素也不属于A，则A?B，D对，故选：BD．
【变式1-4】（2021·北京高一期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：由图可知：，，由选项可知：，故选：D.
高频考点2
.
集合的相等与空集
【方法点拨】
①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.
【例2】（2021?雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（ ）
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n+2，n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N
}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}
C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}
D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}
【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q；
选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，
集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1?Q，所以P≠Q；
选项C：集合P＝{0，1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则P＝Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；
综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC．
【变式2-1】（2021·泰州市第二中学高一期中）已知集合，若，则的值等于____.
【答案】2020
【详解】由，可得且，则
由，所以，即
此时
若，则不满足.
若
，则或（舍）
所以
故答案为：2020
【变式2-3】（2021·龙湾高一期中）下列集合是空集的是（
）
A．或
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集；
对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D
【变式2-4】（2021·石家庄市第十八中学高一月考）若集合为空集，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意不等式无实解，时，不等式为，不成立，无实解．
时，，解得，综上，．故选：D.
高频考点3
.
集合间关系的判断
【方法点拨】判断集合关系的方法有三种：
①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．
②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．
【例3】（2021·昆山市高一月考）若集合A={x|x=5k-1，k∈Z}，B={x|x=5k+4，k∈Z}，C={x|x=10k-1，k∈Z}.则A，B，C的关系是（
）
A．A?C?B
B．A=B?C
C．B?A?C
D．C?A=B
【答案】D
【详解】对于集合：，
对于集合：，对于集合：，则.故选：D.
【变式3-1】（2021·河南洛阳市·高一期末）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】A.
为偶数，故，故；B.
，故B错
C.
，故错；D.
,故D错，故选：A
【变式3-2】（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）设集合，，则它们之间最准确的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由集合得，，则，
由集合得，，则，所以，，故选：C．
【变式3-3】（2021?九龙坡区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|≤3}，集合，则集合A，B，C的关系为（ ）
A．B?A
B．A＝B
C．C?B
D．A?C
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，∴﹣1≤x≤3，则A＝[﹣1，3]，
又|x﹣1|≤3，即﹣3≤x﹣1≤3，∴﹣2≤x≤4，则B＝[﹣2，4]，
∵?，∴﹣5＜x≤4，则C＝（﹣5，4]，∴A?C，B?C，故选：D．
【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D?A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B?A，C?A，正方形是矩形，所以C?B．故选B．
高频考点4.
有限集合子集、真子集的确定
【方法点拨】
1．确定所求集合，是子集还是真子集．
2．求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
3．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
【例4】（2021·河北衡水市·高三其他模拟）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（
）
A．12
B．14
C．15
D．16
【答案】B
【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
【变式4-1】（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知集合，则集合的真子集的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，故选：A.
【变式4-2】（2021·江苏高一期末）已知集合，则集合的子集个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【详解】，共两个元素
则集合的子集个数为
故选：D
【变式4-3】（2021·浙江高一期末）已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．
【答案】或1
【详解】A的子集个数为2个，所以集合A只有一个元素，
即关于x的方程只有一个根.
当时，方程只有一个根符合题意；
当时，关于x的方程只有一个根，只需，解得：.故或1.故答案为：或1.
【变式4-4】（2021·河南驻马店市·高一期末）已知集合满足，则符合条件的集合有______个．
【答案】7
【详解】据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件的集合M有：，，，，共7个，故答案为：7.
高频考点5
.
利用集合间的关系求参数
【方法点拨】
(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
(2)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
(3)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
【例5】（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合或，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，
当时，可得，要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
【变式5-1】（2021·上海虹口区·高一期末）若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为______.
【答案】
【详解】依题意得，.
∵,所以集合、、．
当时，即方程无实根，所以，符合题意；
当时，则1是方程的根，所以，符合题意；
当时，则是方程的根，所以，符合题意；
故答案为：．
【变式5-2】（2021·浙江高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，集合，可得，
因为，所以，解得．故选：B.
【变式5-3】（2021·霞浦县宏翔高级中学高一月考）已知集合.
（1）若，，求实数m的取值范围；
（2）若，，求实数m的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，，
若，当时，，解得，满足，
当时，，解得，
综上所述：实数m的取值范围是.
（2）若，则，
解得，即，
所以实数m的取值范围是
【变式5-4】（2021?荔湾区高一期中）已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．
（1）若a＝2，求集合A；（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，不等式x2﹣（a+1）x+a≤0，即x2﹣3x+2≤0，
解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}；
（2）设集合B＝{x|﹣4≤x≤2}，
由x2﹣（a+1）x+a≤0，可得（x﹣1）（x﹣a）≤0，
当a＜1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|a≤x≤1}，
由已知A?B可得a≥﹣4，所以﹣4≤a＜1；
当a＝1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|x＝1}，满足题意；
当a＞1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|1≤x≤a}，
由A?B可得a≤2，所以1＜a≤2；
综上可得﹣4≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣4，2]．
高频考点6
.
集合间关系中的新定义问题
【方法点拨】
【例6】（2021·福清西山学校高二月考）若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
【答案】15
【详解】由题意可知：，，，满足，将和看成一个元素，
所以的所有非空子集中“具有伙伴关系”的集合：
即为，，，四个“大元素”所构成的集合的非空子集，
所以“具有伙伴关系”的集合的个数为，故答案为：.
【变式6-1】（2021·浙江高一课时练习）已知集合满足或为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆，则集合的不同分拆的种数是（
）.
A．27
B．26
C．9
D．8
【答案】A
【详解】解：①当时，，只有1种分拆；
②当是单元素集合时（有三种可能），则必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含三个元素，有两种情况（如时，或），所以当是单元素集合时有6种分拆；
③当是含两个元素的集合时（有三种可能），则必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含中的一个或两个元素，有四种情况（如时，或或或），所以当是含两个元素的集合时有12种分拆；
④当是含三个元素的集合时（只有一种可能），则可能含零个、一个、两个或三个元素，有种情况（即时，可以是集合的任意一个子集），所以当是含三个元素的集合时，有种分拆.故集合的不同分拆的种数是种.故选：A.
【变式6-2】（2021?山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为
．
【解答】解：集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，
若a＝0，则B＝?，即有B?A；若a＞0，可得B＝{，}，不满足B?A；
若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得2或1，解得a或a＝2．
综上可得，a＝0或或2；故答案为：{0，，2}．
【变式6-3】（2021?如皋市校级月考）对于任意两个数x，y（x，y∈N
），定义某种运算“◎”如下：
①当或时，x◎y＝x+y；②当时，x◎y＝xy．则集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集个数是（ ）
A．214个
B．213个
C．211个
D．27个
【解答】解：①若x，y同为奇数或偶数时；
∵x◎y＝x+y＝10，∴同时为偶数时：（2，8），（4，6），（6，4），（8，2）；同时为奇数时：（1，9），（3，7），（5，5），（7，3），（9，1）；
②当x为偶数，y为奇数时；∵x◎y＝xy．∴（2，5），（10，1）
∴综上所诉：集合A中共含有11个元素，故其子集个数为：211个．故选：C．
【变式6-4】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）设集合，若非空集合满足：①；②（其中表示集合中元素的个数，表示集合中的最小元素），则称为的一个好子集，的所有好子集的个数为____________.
【答案】
【详解】依题意是非空集合，且是的子集.
是否好子集
1
1
是
2
1
否
2
1
否
2
1
否
3
1
否
3
1
否
3
1
否
4
1
否
1
2
是
2
2
是
2
2
是
3
2
否
1
3
是
2
3
是
1
4
是
综上所述，好子集有个.故答案为：
易错点1.
误解集合间的关系而致错
【方法点拨】
判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．
【例1】已知集合，，若，则等于（
）
A．或3
B．0或
C．3
D．
【答案】C
【解析】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.故选C.
【变式1】设，，，则A，B的关系是________.
【答案】
【解析】由集合可得集合A中元素代表直线上所有的点，
由，∵可化为，可得集合B中元素代表上除去点的两条射线，则可得集合B是集合A的真子集，即BA.
故答案为：BA.
【变式2】已知集合，，则集合与集合的关系是__________．
【答案】
【解析】解：根据题意，对集合分类讨论可得：①时，或1，或；
②时，无论取何值，都有；③时，或0，或0．
综上知，则有；故答案为：．
数学思想1.
分类讨论思想的应用
【方法点拨】
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
【例1】集合，，若，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若B＝?，即＜a﹣1，即a＜0时，满足B?A，
若B≠?，即≤2a﹣1，即a≥0时，
要使B?A，则满足，解得
综上：，故选：A．
【变式1】已知集合，，求满足的实数的取值范围.
【答案】
【解析】①当时，，满足.
②
当
时，，∵，∴解得.
③
当
时，，∵，∴解得.
综上所述，所求实数的取值范围为.
【变式2】已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】存在；或或.
【解析】∵，而集合A与a的取值范围有关.
①当时，，显然.
②当时，，∵，如图1所示，∴∴.
③当时，，∵，如图2所示，∴∴.
综上可知，所求实数a的取值范围为或或.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021?东湖区高一期中）下列各式：①{a}?{a}②??{0}③0?{0}④{1，3}?{3，4}，其中正确的有（ ）
A．②
B．①②
C．①②③
D．①③④
【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．
【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；
空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；
1?{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．
【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．
2．（2021·凌海市第三高级中学高二月考）下列集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据集合相等的概念逐项判断即可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，点和点不是同一个点，则；
对于B选项，集合和中的元素相同，则；
对于C选项，集合为点集，集合为数集，则；
对于D选项，集合为数集，集合为点集，则.故选：B.
【点睛】本题考查集合相等的判断，注意集合相等定义的应用，属于基础题.
3．（2021·陕西西安市·西安一中高一月考）设集合，则集合的关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用列举法进行判断即可.
【详解】因为，
，
所以，故选：B
4．（2020·山东省莱州一中高二月考）设，，集合满足（都是真包含），这样的集合有（
）
A．12个
B．14个
C．13个
D．以上都错
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合满足，分析出集合至少含3个元素，最多含5个元素再求解.
【详解】因为集合满足，所以集合至少含3个元素，最多含5个元素，
则这样的集合有（个）.故选：B
【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.
5．（2021·浙江高三专题练习）已知集合，则的真子集个数为（
）
A．7
B．8
C．255
D．256
【答案】C
【分析】求出集合A的元素，再求出A真子集的个数．
【详解】因为集合2，，所以集合A的元素是集合2，的子集，共有8个，
所以集合A的真子集个数为个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了集合与元素，集合与集合的关系，属于中档题．
6．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合，，（，），若，则（
）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【分析】根据，得到两类情况，解方程组，然后检验是否满足题意，即可得到结果.
【详解】∵集合，，且，
∴，或，先考虑，解得，
此时，，满足题意，∴；
再考虑，解得，
此时，，不满足题意，综上，故选：D
7．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先解出集合，再根据求的取值范围.
【详解】解不等式得，
要使，当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.故选：D.
【点睛】易错点睛：本题容易忽视的情况.
8．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的性质求得，若，则满足，从而解得实数的取值范围.
【详解】由题知，又，
则，解得故选：A
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·石家庄市高一月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】分析可知，集合为单元素集合，分与两种情况讨论，结合方程只有一根可求得实数的值.
【详解】由于集合有且仅有两个子集，则集合为单元素集合，即方程只有一根.
①当时，方程为，解得，合乎题意；
②当时，对于方程，，解得.
综上所述，或.故选：ABC.
10．（2021·广东汕尾市·高一期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】ABC
【分析】先判断时，
符合题意，再由时化简集合B，即得或，解得结果即可.
【详解】依题意，当时，
，满足题意；
当时，，要使，则有或，解得.
综上，或或.故选：ABC.
11．（2021·广东湛江市·高三二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．
12．（2021·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当
时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（
）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则
【答案】BC
【分析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
【详解】A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误．故选：BC.
【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·江苏高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
【答案】．
【分析】分和两种情况讨论，分别求得满足题意的a的范围，综合即可得答案.
【详解】当时，方程化为，解得，此时，满足题意，
当时，要使，则，解得且，
所以使的实数a的取值范围为．故答案为：．
14．（2021·上海黄浦区·格致中学高一期中）定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.
【答案】15
【分析】由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解.
【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现，
当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个；
当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个；
当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个.
当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个.
则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.故答案为：15.
15．（2021·河北石家庄市·高一月考）已知，若，则适合条件的实数m的集合P为________，P的子集有______个；P的非空真子集有________个．
【答案】
【分析】首先求出集合，再根据，求出参数的值，即可解得集合，再根据集合的元素个数求出其子集和非空真子集个数；
【详解】解：，因为，，当时，，当时，当时，所以，因为中含有个元素，所以的子集有个，非空真子集有个；故答案为：；；
16．（2021.广东高三专题练习）设数集，且，都是集合的子集，如果把叫做数集的长度，那么集合的长度的最小值是_________.
【答案】
【分析】根据题意，得出，的长度，且，都是集合的子集，当的长度的最小值，则与应分别在区间的左右两端，得出，求出集合，，从而得出的长度的最小值.
【详解】解：由题可知，的长度为
，的长度为，
因为，都是集合的子集，
当的长度的最小值时，所以与应分别在区间的左右两端，
即，则，
故此时的长度的最小值是：.故答案为：.
【点睛】本题考查集合的子集和交集的概念以及集合的长度问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2020·全国高一课时练习）写出下列每组中集合之间的关系：
（1）A={x|-3≤x<5}，B={x|-1（2）A={x|x=2n-1，n∈N
}，B={x|x=2n+1，n∈N
}．
（3）A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是四边形}，D={x|x是正方形}．
（4）A={x|-1≤x<3，x∈Z}，B={x|x=，y∈A}．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，看得到答案；（2）当n∈N
时，由列举法可得答案；
（3）由图形的特点可画出Venn图，可得答案；（4）依题意可得答案．
【详解】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有；
（2）当n∈N
时，由x=2n-1知x=1，3，5，7，9，…．
由x=2n+1知x=3，5，7，9，…．
故A={1，3，5，7，9，…}，B={3，5，7，9，…}，因此；
（3）由图形的特点可画出Venn图，如图所示，从而可得；
（4）依题意可得：A={-1，0，1，2}，B={0，1，2}，所以．
18．（2021·甘肃省武威高一期中）已知集合.
（1）若，求的值；（2）若，求常数所有可能的取值组成的集合.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据1,2为方程的根可求得结果；
（2）分类讨论，化简集合，根据子集关系列式可求得结果.
【详解】（1），∴1,2为方程的根，
，解得，所以.
（2）当时，集合，
当时，集合，或.解得或.
∴常数组成的集合为.
19．（2021·霍邱县第一中学高一月考）设集合，，.（1）讨论集合与的关系；（2）若，且，求实数的值.
【答案】（1）当时，；当时，是的真子集；（2）或.
【分析】（1）化简集合，分类讨论，利用子集的定义判断即可；
（2）由，分两种情况讨论，分别列方程求解即可.
【详解】（1），
当时，；
当时，是的真子集.
（2）当时，因为，所以.
当时，解得(舍去)或，此时，符合题意.
当时，解得，此时符合题意.
综上，或.
20．（2021·辽宁高一课时练习）设集合，不等式
的解集为.（1）当时，求集合，.（2）当时，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）代入即可求得，解一元二次不等式得；（2）注意讨论与的两种情况，最后求解并集即可.
【详解】（1）解：当时，，
解不等式得：，即.
（2）解：若，则有：
①，即，即，符合题意，
②，有，解得：.
综合①②得：.
21.（2021?武汉高一期中）已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2≤0（m∈R）的解集为M．（1）[1，2]?M，求实数m的取值范围；（2）当M不为空集，且M?[1，4]时，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定实数m的取值范围即可；
（2）由题意分类讨论即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意[1，2]?M
可知，令
f（x）＝x2﹣2mx+m+2，则，解得：m≥3．
（2）∵M不为空集，且M?[1，4]，
当△＞0
时，则，解得：，
当△＝0
时，m＝2也符合题目要求：
综上：．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
22.（2021?南阳高一期中）集合A＝{x|﹣3≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B?A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据B?A可讨论B是否为空集：B＝?时，m+1＞2m﹣1；B≠?时，，解出m的范围即可；（2）根据题意可知A∩B＝?，讨论B是否为空集：B＝?时，m＜2；B≠?时，或，然后解出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵B?A，
∴①B＝?时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
②B≠?时，，解得2≤m≤4，
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，4]；
（2）由题意知，A∩B＝?，
①B＝?时，m＜2；
②B≠?时，或，解得m＞6，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．
【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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1.2
集合间的基本关系
【学习要求】
1.理解集合之间的包含与相等的含义．
2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．
3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．
【思维导图】
【知识梳理】
一、子集
定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
记法与读法：记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
或
重要结论：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC．
对子集的理解：
(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．
二、集合相等
如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示．
对集合相等的理解：(1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；
(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
三、真子集
定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．
记法：记作AB(或BA)．
结论：(1)AB且BC，则AC；(2)AB且A≠B，则AB．
四、空集
定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集．
记法：
规定：空集是任何集合的子集，即A
特性：(1)空集只有一个子集，即它本身，
(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A
【高频考点】
高频考点1.
子集、真子集的概念
【方法点拨】
①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，是判断A?B的常用方法．
②不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
【例1】（2021·梁河县高一月考）下列命题中正确的是（
）
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合，那么，若，则
【变式1-1】（2021·江西省吉水县高一期中）在①；②；③；
④
上述四个关系中，错误的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式1-2】（2021?宁县校级月考）对于集合A，B，“A?B”不成立的含义是（ ）
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
【变式1-3】[多选题]（2021.山东高一期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．空集是任何集合的真子集；
B．若A?B，B?C，则A?C；
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
D．如果不属于B的元素也不属于A，则A?B
【变式1-4】（2021·北京高一期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点2
.
集合的相等与空集
【方法点拨】
①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.
【例2】（2021?雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（ ）
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n+2，n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N
}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}
C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}
D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}
【变式2-1】（2021·泰州市第二中学高一期中）已知集合，若，则的值等于____.
【变式2-3】（2021·龙湾高一期中）下列集合是空集的是（
）
A．或
B．
C．
D．
【变式2-4】（2021·石家庄市第十八中学高一月考）若集合为空集，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点3
.
集合间关系的判断
【方法点拨】判断集合关系的方法有三种：
①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．
②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A?B；②若q(x)推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．
【例3】（2021·昆山市高一月考）若集合A={x|x=5k-1，k∈Z}，B={x|x=5k+4，k∈Z}，C={x|x=10k-1，k∈Z}.则A，B，C的关系是（
）
A．A?C?B
B．A=B?C
C．B?A?C
D．C?A=B
【变式3-1】（2021·河南洛阳市·高一期末）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）设集合，，则它们之间最准确的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2021?九龙坡区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|≤3}，集合，则集合A，B，C的关系为（ ）
A．B?A
B．A＝B
C．C?B
D．A?C
【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A．
B．
C．
D．
高频考点4.
有限集合子集、真子集的确定
【方法点拨】
1．确定所求集合，是子集还是真子集．
2．求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
3．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
【例4】（2021·河北衡水市·高三其他模拟）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（
）
A．12
B．14
C．15
D．16
【变式4-1】（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知集合，则集合的真子集的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2021·江苏高一期末）已知集合，则集合的子集个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式4-3】（2021·浙江高一期末）已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．
【变式4-4】（2021·河南驻马店市·高一期末）已知集合满足，则符合条件的集合有______个．
高频考点5
.
利用集合间的关系求参数
【方法点拨】
(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
(2)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
(3)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
【例5】（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合或，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2021·上海虹口区·高一期末）若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为______.
【变式5-2】（2021·浙江高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2021·霞浦县宏翔高级中学高一月考）已知集合.
（1）若，，求实数m的取值范围；
（2）若，，求实数m的取值范围；
【变式5-4】（2021?荔湾区高一期中）已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．
（1）若a＝2，求集合A；（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．
高频考点6
.
集合间关系中的新定义问题
【方法点拨】
【例6】（2021·福清西山学校高二月考）若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
【变式6-1】（2021·浙江高一课时练习）已知集合满足或为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆，则集合的不同分拆的种数是（
）.
A．27
B．26
C．9
D．8
【变式6-2】（2021?山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为
．
【变式6-3】（2021?如皋市校级月考）对于任意两个数x，y（x，y∈N
），定义某种运算“◎”如下：
①当或时，x◎y＝x+y；②当时，x◎y＝xy．则集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集个数是（ ）
A．214个
B．213个
C．211个
D．27个
【变式6-4】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）设集合，若非空集合满足：①；②（其中表示集合中元素的个数，表示集合中的最小元素），则称为的一个好子集，的所有好子集的个数为____________.
易错点1.
误解集合间的关系而致错
【方法点拨】
判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．
【例1】已知集合，，若，则等于（
）
A．或3
B．0或
C．3
D．
【变式1】设，，，则A，B的关系是________.【变式2】已知集合，，则集合与集合的关系是__________．
数学思想1.
分类讨论思想的应用
【方法点拨】
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
【例1】集合，，若，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知集合，，求满足的实数的取值范围.
【变式2】已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021?东湖区高一期中）下列各式：①{a}?{a}②??{0}③0?{0}④{1，3}?{3，4}，其中正确的有（ ）
A．②
B．①②
C．①②③
D．①③④
2．（2021·凌海市第三高级中学高二月考）下列集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2021·陕西西安市·西安一中高一月考）设集合，则集合的关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东省莱州一中高二月考）设，，集合满足（都是真包含），这样的集合有（
）
A．12个
B．14个
C．13个
D．以上都错
5．（2021·浙江高三专题练习）已知集合，则的真子集个数为（
）
A．7
B．8
C．255
D．256
6．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合，，（，），若，则（
）
A．
B．2
C．
D．1
7．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·石家庄市高一月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·广东汕尾市·高一期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
11．（2021·广东湛江市·高三二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若时，则或
12．（2021·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当
时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（
）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·江苏高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
14．（2021·上海黄浦区·格致中学高一期中）定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.
15．（2021·河北石家庄市·高一月考）已知，若，则适合条件的实数m的集合P为________，P的子集有______个；P的非空真子集有________个．
16．（2021.广东高三专题练习）设数集，且，都是集合的子集，如果把叫做数集的长度，那么集合的长度的最小值是_________.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2020·全国高一课时练习）写出下列每组中集合之间的关系：
（1）A={x|-3≤x<5}，B={x|-1（2）A={x|x=2n-1，n∈N
}，B={x|x=2n+1，n∈N
}．
（3）A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是四边形}，D={x|x是正方形}．
（4）A={x|-1≤x<3，x∈Z}，B={x|x=，y∈A}．
18．（2021·甘肃省武威高一期中）已知集合.
（1）若，求的值；（2）若，求常数所有可能的取值组成的集合.
19．（2021·霍邱县第一中学高一月考）设集合，，.（1）讨论集合与的关系；（2）若，且，求实数的值.
20．（2021·辽宁高一课时练习）设集合，不等式
的解集为.（1）当时，求集合，.（2）当时，求实数的取值范围.
21.（2021?武汉高一期中）已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2≤0（m∈R）的解集为M．（1）[1，2]?M，求实数m的取值范围；（2）当M不为空集，且M?[1，4]时，求实数m的取值范围．
22.（2021?南阳高一期中）集合A＝{x|﹣3≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B?A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
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精品试卷·第
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