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1.3
集合的基本运算
【学习要求】
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算
4.理解全集、补集的概念，准确翻译和使用补集符号和Venn图，并能解决一些集合综合运算的问题．
【思维导图】
【知识梳理】
一、并集
1．并集的定义
自然语言
符号语言
图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
2.并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.
二、交集
定义
文字语言
一般地，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB．(读作“A交B”)
符号语言
AB＝{x|xA，且xB}
图形语言
性质
(1)AA＝A，A＝；
(2)AB＝BA；(3)ABA，ABB；
(4)AB＝AAB；(5)(AB)C＝A(BC)；
(6)(AB)(AB)
对交集的理解：(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则AB＝{2,3,4}，而不是AB＝{2,3}，{2,4}或{3,4}．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB＝．
(4)定义中“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为AB．而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB．
三、补集与全集
(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U．
(2)补集
定义
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA．
符号语言
UA＝{x|xU，且xA}
图形语言
性质
(1)UAU；
(2)UU＝，U＝U；(3)U(UA)＝A；
(4)A(UA)＝U；A(UA)＝
对补集的理解：(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)UA包含三层意思：①AU；②UA是一个集合，且UAU；③UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一．
四、集合的运算
(1)集合的基本运算
①对于用列举法表示的集合，这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏．
②当集合A，B都有无穷多个元素时，应注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证．
③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算．
(2)集合的混合运算
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(UA)B时，先求出UA，再求交集；求U(AB)时，先求出AB，再求补集．
注意以下规律：(1)①U(AB)＝(UA)(UB)，如图a；②U(AB)＝(UA)(UB)，如图b．
(2).①A(BC)＝(AB)C．
②A(BC)＝(AB)C．
③A(BC)＝(AB)(AC)．
④A(BC)＝(AB)(AC)．
五、Venn图的应用
(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性．
在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示．
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下：
Ⅰ：A(UB)；
Ⅱ：AB；
Ⅲ：(UA)B；Ⅳ：(UA)(UB)(或U(AB))．
(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的．
利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．
【高频考点】
高频考点1.
并集的运算
【方法点拨】求两个集合的并集的方法：
①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．
②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【例1】（2021·天津河西区·高二期末）设集合或，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵集合或，集合，
∴．故选：D．
【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）已知集合A=，B=，A∪B=_______．
【答案】
【详解】因为B={y|y=x2，x∈A}=，所以A∪B=．
故答案为：
【变式1-2】（2021·北京顺义区·高三二模）已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以.故选：D.
【变式1-3】[多选题]（2021?辛集市校级期中）已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（ ）
A．{﹣1，1，4}
B．{1，0，4}
C．{1，2，4}
D．{﹣2，1，4}
【解答】解：若A∪B含3个元素，则a＝1或a＝a2或a2＝4，
a＝1时，不满足集合元素的互异性，a＝0，a＝2或a＝﹣2时满足题意，
a＝0时，A∪B＝{1，0，4}；a＝2时，A∪B＝{1，2，4}；a＝﹣2时，A∪B＝{4，﹣2，1}．
故选：BCD．
【变式1-4】（2021?天津月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}．
（1）若A＝B，求a的值；（2）若A∪B＝A，求a的值．
【解答】解：（1）A＝{1，2}，∵A＝B，∴1，2∈B，∴a＝1+2＝3；
（2）∵A∪B＝A，∴B?A，∴①△＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，即a＝2时，B＝{1}，满足题意；
②△＞0时，1，2∈B，∴a＝3，
综上得，a＝2或3．
高频考点2
.
交集的运算
【方法点拨】
(1)
求集合A∩B的步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)
求集合A∩B的方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【例2】（2021·广东高一期末）设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由不等式，解得，即，
又由，可得.故选：B.
【变式2-1】（2020·江苏高三一模）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】，，.故选：C.
【变式2-2】（2021·山东济南市·高三模拟）已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．1或2
【答案】A
【详解】∵集合M＝{（x，y）|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2﹣4}，
∴M∩N＝{（x，y）|}＝．∴M∩N中的元素个数为0．故选：A．
【变式2-3】[多选题]（2021?辛集市高一月考）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k∈N
}关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．3
【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈N+}，
∴阴影部分表示的集合为M∩N＝{1，3}，∴阴影部分表示的集合中的元素有1，3，
故A和B均错误，C和D均正确．故选：CD．
【变式2-4】（2021·安徽蚌埠市·蚌埠二中高三模拟）集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，
在集合中，，在集合中，，
要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，
∵元素是向量，要使的向量相等，只有横坐标和纵坐标分别相等，
∴，解得，此时.故选：A.
高频考点3
.
由集合的并集、交集求参数
【方法点拨】
①利用集合交集、并集的求参数解题策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A?B，A∪B＝B转化为A?B.
②利用集合交集、并集的求参数解题方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
③特别注意：当题目条件中出现B?A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝?的情况．
【例3】（2021?南京期中）[多选题]设集合M＝{x|a＜x＜3+a}，N＝{x|x＜2或x＞4}，则下列结论中正确的是（ ）
A．若a＜﹣1，则M?N
B．若a＞4，则M?N
C．若M∪N＝R，则1＜a＜2
D．若M∩N≠?，则1＜a＜2
【解答】解：∵集合M＝{x|a＜x＜3+a}，N＝{x|x＜2或x＞4}，
对于A，a＜﹣1时，a+3＜2，故M?N成立，
对于B，a＞4时，则M?N成立，
对于C，若M∪N＝R，则，解得1＜a＜2，
对于D，若M∩N＝?，则，解得a不存在，故M∩N≠?，a∈R，故D错，故选：ABC．
【变式3-1】（2021·泰州市高一月考）已知集合，若，则实数k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若，即，又，则，解得，
又，所以当时，实数的取值范围为集合的补集，
即实数k的取值范围为.故选：C
【变式3-2】（2021·务川高一期末）已知集合，．
（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．
【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1），解得或，集合，
因为，所以或.
（2）因为，所以，
因为，，所以，
解得，代入验证后满足题意.
【变式3-3】（2021?眉山期末）已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}．
（1）若a＝﹣2，求A∪B，A∩B；（2）A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝﹣2时，集合A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}．
∴A∪B＝（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞），A∩B＝[﹣3，﹣2]．
（2）若A∩B＝A，得A?B，当A＝?时，2a+1＞3a+5，解得a＜﹣4，
当A≠?时，或
解得或a≥2，综上所述，或a≥2，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[2，+∞）．
【变式3-4】（2021?解放区校级月考）已知集合A＝{y|y＝4x﹣2，﹣1＜x＜3}，B＝{x|3m﹣1＜x＜2m+1}．
（Ⅰ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若A∩B＝{x|a＜x＜b}且b﹣a＝2，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{y|y＝4x﹣2，﹣1＜x＜3}＝（﹣6，10），B＝{x|3m﹣1＜x＜2m+1}，
∵A∪B＝A，∴B?A，
当B＝?时，即3m﹣1≥2m+1时，解得m≥2，此时满足题意，
当B≠?时，即3m﹣1＜2m+1时，解得m＜2，则，解得m，
综上所述m的取值范围为[，+∞）；
（Ⅱ）集合A＝（﹣6，10），10﹣（﹣6）＝16，
若A∩B＝{x|a＜x＜b}且b﹣a＝2，
①A∩B＝{3m﹣1＜x＜2m+1}时，，解得m＝0；
②A∩B＝{x|3m﹣1＜x＜10}时，，此时满足条件的m不存在；
③A∩B＝{x|﹣5＜x＜2m+1}时，，解得m，
综上得，m的取值范围为{，0}．
高频考点4.
补集的运算
【方法点拨】
求集合补集的基本方法及处理技巧：(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
【例4】（2021·北京高二期末）已知全集，集合，则集合（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【详解】解：因为全集，集合，所以或
故选：B
【变式4-1】（2021·浙江高二期末）设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得：集合，所以.故选：A
【变式4-2】（2021·北京海淀区·101中学高三其他模拟）已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，
因集合，集合，则有，
所以图中阴影部分表示的集合是.故选：C
【变式4-3】（2021·珠海市第二中学高三模拟）已知为的两个不相等的非空子集，若，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据集合的运算，因为，可得，
所以，所以.故答案为：D.
【变式4-4】（2021?海淀区校级月考）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若?UM＝{1，4}，则p的值为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣6
D．6
【解答】因为集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若?UM＝{1，4}，所以M＝{2，3}
即2，3是方程的两个根，22﹣5×2+p＝0，所以p＝6．故选：D．
高频考点5
.
交集、并集、补集的综合运算
【方法点拨】求集合交、并、补运算的方法：
①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
【例5】（2021·辽宁高三其他模拟）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵集合，，
∴，故错误；，故错误；，故错误；
或，，故D正确.故选：D.
【变式5-1】（2021·青海西宁市·高三二模）设集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：因为集合的元素都在集合中，但不在中，所以为.故选：B．
【变式5-2】（2021?椒江区校级月考）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，3}，则（?UA）∩B＝（ ）
A．{﹣1}
B．{0，1}
C．{﹣1，3}
D．{﹣1，0，1，3}
【解答】解：全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，3}，
则（?UA）＝{﹣1，3，4}，所以（?UA）∩B＝{﹣1，3}．故选：C．
【变式5-3】（2021?苏州期中）[多选题]已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ）
A．M∩N
B．（?UM）∩N
C．（?UN）∩M
D．（?U（M∩N））∩N
【解答】解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，∴M∩N＝{5}，（?UM）∩N＝{1，2}，
M∩（?UN）＝{3，4}，（?U（M∩N））∩N＝{1，2，3，4，6}∩（1，2，5}＝{1，5}．故选：BD．
【变式5-4】（2021?南关区校级期末）已知全集U＝{x|x≤8，x∈N
}，若A∩（?UB）＝{2，8}，（?UA）∩B＝{3，7}，（?UA）∩（?UB）＝{1，5，6}，则集合A＝
，B＝
．
【解答】解：全集U＝{x|x≤8，x∈N
}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
A∩（?UB）＝{2，8}，（?UA）∩B＝{3，7}，（?UA）∩（?UB）＝{1，5，6}，∴A∩B＝{4}，
集合A＝{2，4，8}，B＝{3，4，7}．故答案为：{2，4，8}，{3，4，7}．
高频考点6
.
利用集合间的关系求参数
【方法点拨】
①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
【例6】（2021·沙坪坝区·重庆八中）已知集合，集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，得，则，故选：A．
【变式6-1】（2021?河西区高一月考）已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a﹣1或x≥a+1}，若A∩（?RB）≠?，则实数a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤2
B．1＜a＜2
C．a≤1或a≥2
D．a＜1或a＞2
【解答】解：A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a﹣1或x≥a+1}，所以?RB＝{x|a﹣1＜x＜a+1}；
又A∩（?RB）≠?，所以a﹣1＜0或a+1＞3，解得a＜1或a＞2；
所以实数a的取值范围是a＜1或a＞2．故选：D．
【变式6-2】（2021?临朐县高一期中）已知集合A＝{x|﹣3＜x≤6}，B＝{x|b﹣3＜x＜b+7}，M＝{x|﹣4≤x＜5}，全集U＝R．（1）A∩M＝
；（2）若B∪（?UM）＝R，则实数b的取值范围为
．
【解答】解：（1）∵集合A＝{x|﹣3＜x≤6}，M＝{x|﹣4≤x＜5}，
∴A∩M＝{x|﹣3＜x＜5}．故答案为：{x|﹣3＜x＜5}．
（2）∵B＝{x|b﹣3＜x＜b+7}，M＝{x|﹣4≤x＜5}，全集U＝R，∴?UM＝{x|x＜﹣4或x≥5}，
∵B∪（?UM）＝R，∴，解得﹣2≤b＜﹣1．
∴实数b的取值范围为[﹣2，﹣1）．故答案为：[﹣2，﹣1）．
【变式6-3】（2021·广东深圳市·高一期中）已知集合．
（1）若，求；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）三个条件任选一个，结论都是．
【详解】（1），
又，∴或；
（2）选① ∵，∴，∴，∴．
选②∵，∴，∴，∴．
选③∵，∴，∴，∴．
【变式6-4】（2021·山东高三专题练习）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a及m的取值范围．
【答案】a＝3或a＝2，m的取值范围是m＝3或－2【详解】由题意得，A＝{1，2}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}．
由A∪B＝A，知B?A，所以可能有两种情况：
①a－1＝2，即a＝3，此时A＝B，满足B?A；
②a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1}，满足B?A；
由A∩C＝C知，
若为空集，显然满足，此时，由＝m2－8<0得－2若，则方程x2－mx＋2＝0只有一个实根1，则，无解；
若，则方程x2－mx＋2＝0只有一个实根2，则，无解；
，则方程x2－mx＋2＝0有2个不等的实根1和2，则，解得；
综上可知：a＝3或a＝2；m＝3或－2易错点1.集合运算时忽略空集致错
【方法点拨】
A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．
【例1】集合，．
（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）由集合，，
因为,所以,则，即实数的取值范围为；
（2）因为
,又,
可得，故实数的取值范围为.
【变式1】设集合，集合．求：
（1）实数在什么范围内取值时，且；（2）实数在什么范围内取值时，．
【答案】（1）（2）或.
【解析】（1）∵，，∴．
方程得两根为，，
由题意，得，解不等式组，得；
（2）当时，，不可能；
当时，方程两根为，．得或，∴或.
【变式2】已知集合，.
（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，，
∴，
（2）若，此时，∴，满足，
当时，，∵，∴，∴.
综上可知，实数的取值范围是.
数学思想1.数形结合思想的应用
【方法点拨】
求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．
【例1】已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】因为,则画出数轴,并表示出集合,如下:
可得,故答案为:
【变式1】设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】由题，或，
则或.故选：D.
【变式2】某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人.
【答案】3
【解析】设一（1）班这两个社团都参加了的学生共有人，
则故答案为：3
数学思想2.
“正难则反”思想的应用
【方法点拨】
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
【例1】已知集合，若.求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】若.∵，∴集合B有以下三种情况：
①当时，，即，∴或.
②当B是单元素集合时，，∴或.
若，则，此时不满足，故舍去；
若，则，此时不满足，故舍去.
③当时，，6是方程的两个根，
∴即a的值不存在.
综上可得，当时，实数a的取值范围为或.
故若，则实数a的取值范围为.
【变式1】已知集合,则实数的值为__________.
【答案】或
【解析】由题意得，故得，即，解得或.
当时，，符合题意．
当时，，符合题意．所以或．答案：或
【变式2】设全集，．若，求实数的值．
【答案】
【解析】因为,且全集,
所以,解得或,
当时,,集合A中的元素不满足互异性,不合题意;
当时,,此时,满足,符合题意.
综上可得,..故答案为:
.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·辽宁高三模拟）若集合，则A∩B＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，得，所以．故选：D
2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模）已知集合，，则集合等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由不等式，可得，即集合，
又由集合，可得.故选：C.
3．（2021·三门峡市第一高级中学月考）设、是两个非空集合，定义与的差集为且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当，由于对任意都有，所以，
因此；当时，作出Venn图如图所示，
则表示由在中但不在中的元素构成的集合，因而表示由在中但不在中的元素构成的集合，由于中的元素都不在中，所以中的元素都在中，所以中的元素都在中，反过来中的元素也符合的定义，因此.故选：C.
4．（2021·江苏苏州市·高三三模）已知为全集，非空集合、满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如下图所示：
，由图可知，，，故选：A.
5．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）已知，，，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
【答案】A
【详解】因为或，所以或.故选：A.
6．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三模拟）已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（
）
A．有可能
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】，，，
若，由集合中元素互异性知：，；
若，同理可知：，；综上所述：.故选：B.
7．（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）已知集合，，则使的实数的取值范围可是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，集合，，
因为，可得，
当时，可得，解得；
当时，可得，解得，
综上可得，实数的取值范围.故选：B.
8．（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN
，TN
，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT，②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（
）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项
C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若，
则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知为全集，集合为的子集，且，，，那么集合的子集可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】依题意，可得如下Venn图，
∴如图，知，故，∴的子集可以为B或C．故选：BC
10．（2020·河北沧州市·高一期中）设不大于的最大整数为，如．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】，
因为，
所以，，，
∵，∴，故选：AD.
11．（2021·江苏南京市·高一期中）设集合，或，则下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，不等式无解，则若，，故D错误.
故选：ABC.
12．（2021·浙江高一期末）（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（
）
A．是优集
B．是优集
C．若是优集，则或
D．若是优集，则是优集
【答案】ACD
【详解】对于A中，任取，
因为集合是优集，则，则，
，则，所以A正确；
对于B中，取，则或，
令，则，所以B不正确；
对于C中，任取，可得，因为是优集，则，
若，则，此时；
若，则，此时，所以C正确；
对于D中，是优集，可得，则为优集；
或，则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·霍邱县第一中学高一月考）某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.
【答案】17
【详解】设参加游泳比赛为集合，参加田径比赛为集合，参加球类比赛为集合，同时参加球类和田径比赛的有人
由韦恩图可知，，解得
则仅参加一项比赛的共有人故答案为：
14．（2021·眉山市东坡区校高一期中）设P和Q是两个集合，定义集合，且，若，则________．
【答案】
【详解】因为集合中的，，这三个元素都在集合中，而，
所以，且．故答案为：．
15．（2021·福建省福州民族中学高一月考）集合，．若，则的取值范围为_____
【答案】
【详解】当时，或，此时符合题意；
当时，，满足；
当时，或，要使，只要，解得.
综上所述：.故答案为：
16．（2021·江苏淮安市·高二期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为____________．
【答案】
【详解】集合，
若集合A，B构成“偏食”，则。则，实数t的取值范围为
故答案为：
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·浙江杭州市·高一月考）已知全集，，（1）。若，求的取值范围；（2）若，，求
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）若，则方程无实数解，
，则.
（2）∵，
∴方程的一个根为4，则，方程另一个根为3.∴.
∵，∴方程的一个根为2，则，方程另一个根为3.
∴∴
18．（2021·三门峡市月考）已知全集集合
.（1）求；（2）若求实数的取值范围.
【答案】（1），或；（2）．
【详解】（1）∵，
或，则或；
（2）∵，
若，即，则，满足题意；
若，则，解得，∴，
综上，的范围是．
19．（2021·广东惠州市·高一期末）已知集合，集合．现有三个条件：条件①，条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【答案】（1）；（2）选①：；选②：或；选③：．.
【详解】集合，
（1）若，，则
（2）选①：，则，
若，则，解得
若，则，解得；综上得；
选②：
若，则，解得
若，则或
解得或；综上得或．
选③：，则．
则解得所以.
20．（2021·黑龙江·高一开学考试）设集合，.（1）若，且，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），，
，且，
所以，，解得；
（2）①当时，，则或，
又，所以，解得，所以；
②当时，，则，满足，所以；
③当时，，则或，
又∵，所以，解得，所以.
因此，实数的取值范围是.
21．（2020·华东师范高一期中）已知.
（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的值；
【答案】（1）5；（2）.
【详解】（1）由，则，
即是方程的两个根，所以，解得.
（2）由，且，可得，
所以，解得5或，
当时，，此时，（舍去）
当时，，此时，
所以实数的值为
22．（2020·江西省临川高一月考）设集合，集合.（1）若，求实数m的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以，
①当时，，此时，
②当时，，有成立；综上所述，所求m的取值范围是.
（2），或，
①当时，，
若中只有一个整数，则，得；
②当时，，因此，不符合题意；综上知，m的取值范围是.
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1.3
集合的基本运算
【学习要求】
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算
4.理解全集、补集的概念，准确翻译和使用补集符号和Venn图，并能解决一些集合综合运算的问题．
【思维导图】
【知识梳理】
一、并集
1．并集的定义
自然语言
符号语言
图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
2.并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.
二、交集
定义
文字语言
一般地，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB．(读作“A交B”)
符号语言
AB＝{x|xA，且xB}
图形语言
性质
(1)AA＝A，A＝；
(2)AB＝BA；(3)ABA，ABB；
(4)AB＝AAB；(5)(AB)C＝A(BC)；
(6)(AB)(AB)
对交集的理解：(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则AB＝{2,3,4}，而不是AB＝{2,3}，{2,4}或{3,4}．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB＝．
(4)定义中“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为AB．而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB．
三、补集与全集
(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U．
(2)补集
定义
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA．
符号语言
UA＝{x|xU，且xA}
图形语言
性质
(1)UAU；
(2)UU＝，U＝U；(3)U(UA)＝A；
(4)A(UA)＝U；A(UA)＝
对补集的理解：(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)UA包含三层意思：①AU；②UA是一个集合，且UAU；③UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一．
四、集合的运算
(1)集合的基本运算
①对于用列举法表示的集合，这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏．
②当集合A，B都有无穷多个元素时，应注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证．
③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算．
(2)集合的混合运算
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(UA)B时，先求出UA，再求交集；求U(AB)时，先求出AB，再求补集．
注意以下规律：(1)①U(AB)＝(UA)(UB)，如图a；②U(AB)＝(UA)(UB)，如图b．
(2).①A(BC)＝(AB)C．
②A(BC)＝(AB)C．
③A(BC)＝(AB)(AC)．
④A(BC)＝(AB)(AC)．
五、Venn图的应用
(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性．
在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示．
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下：
Ⅰ：A(UB)；
Ⅱ：AB；
Ⅲ：(UA)B；Ⅳ：(UA)(UB)(或U(AB))．
(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的．
利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．
【高频考点】
高频考点1.
并集的运算
【方法点拨】求两个集合的并集的方法：
①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．
②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【例1】（2021·天津河西区·高二期末）设集合或，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）已知集合A=，B=，A∪B=_______．
【变式1-2】（2021·北京顺义区·高三二模）已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】[多选题]（2021?辛集市校级期中）已知集合A＝{4，a}，B＝{1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（ ）
A．{﹣1，1，4}
B．{1，0，4}
C．{1，2，4}
D．{﹣2，1，4}
【变式1-4】（2021?天津月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}．
（1）若A＝B，求a的值；（2）若A∪B＝A，求a的值．
高频考点2
.
交集的运算
【方法点拨】
(1)
求集合A∩B的步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)
求集合A∩B的方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【例2】（2021·广东高一期末）设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2020·江苏高三一模）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2021·山东济南市·高三模拟）已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．1或2
【变式2-3】[多选题]（2021?辛集市高一月考）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k∈N
}关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．3
【变式2-4】（2021·安徽蚌埠市·蚌埠二中高三模拟）集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点3
.
由集合的并集、交集求参数
【方法点拨】
①利用集合交集、并集的求参数解题策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A?B，A∪B＝B转化为A?B.
②利用集合交集、并集的求参数解题方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
③特别注意：当题目条件中出现B?A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝?的情况．
【例3】（2021?南京期中）[多选题]设集合M＝{x|a＜x＜3+a}，N＝{x|x＜2或x＞4}，则下列结论中正确的是（ ）
A．若a＜﹣1，则M?N
B．若a＞4，则M?N
C．若M∪N＝R，则1＜a＜2
D．若M∩N≠?，则1＜a＜2
【变式3-1】（2021·泰州市高一月考）已知集合，若，则实数k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2021·务川高一期末）已知集合，．
（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．
【变式3-3】（2021?眉山期末）已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}．
（1）若a＝﹣2，求A∪B，A∩B；（2）A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【变式3-4】（2021?解放区校级月考）已知集合A＝{y|y＝4x﹣2，﹣1＜x＜3}，B＝{x|3m﹣1＜x＜2m+1}．
（Ⅰ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若A∩B＝{x|a＜x＜b}且b﹣a＝2，求实数m的取值范围．
高频考点4.
补集的运算
【方法点拨】
求集合补集的基本方法及处理技巧：(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
【例4】（2021·北京高二期末）已知全集，集合，则集合（
）
A．
B．或
C．
D．或
【变式4-1】（2021·浙江高二期末）设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2021·北京海淀区·101中学高三其他模拟）已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2021·珠海市第二中学高三模拟）已知为的两个不相等的非空子集，若，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】（2021?海淀区校级月考）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x∈U|x2﹣5x+p＝0}，若?UM＝{1，4}，则p的值为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣6
D．6
高频考点5
.
交集、并集、补集的综合运算
【方法点拨】求集合交、并、补运算的方法：
①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
【例5】（2021·辽宁高三其他模拟）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2021·青海西宁市·高三二模）设集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2021?椒江区校级月考）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，3}，则（?UA）∩B＝（ ）
A．{﹣1}
B．{0，1}
C．{﹣1，3}
D．{﹣1，0，1，3}
【变式5-3】（2021?苏州期中）[多选题]已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ）
A．M∩N
B．（?UM）∩N
C．（?UN）∩M
D．（?U（M∩N））∩N
【变式5-4】（2021?南关区校级期末）已知全集U＝{x|x≤8，x∈N
}，若A∩（?UB）＝{2，8}，（?UA）∩B＝{3，7}，（?UA）∩（?UB）＝{1，5，6}，则集合A＝
，B＝
．
高频考点6
.
利用集合间的关系求参数
【方法点拨】
①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
【例6】（2021·沙坪坝区·重庆八中）已知集合，集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2021?河西区高一月考）已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a﹣1或x≥a+1}，若A∩（?RB）≠?，则实数a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤2
B．1＜a＜2
C．a≤1或a≥2
D．a＜1或a＞2
【变式6-2】（2021?临朐县高一期中）已知集合A＝{x|﹣3＜x≤6}，B＝{x|b﹣3＜x＜b+7}，M＝{x|﹣4≤x＜5}，全集U＝R．（1）A∩M＝
；（2）若B∪（?UM）＝R，则实数b的取值范围为
．
【变式6-3】（2021·广东深圳市·高一期中）已知集合．
（1）若，求；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【变式6-4】（2021·山东高三专题练习）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a及m的取值范围．
易错点1.集合运算时忽略空集致错
【方法点拨】
A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．
【例1】集合，．
（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．
【变式1】设集合，集合．求：（1）实数在什么范围内取值时，且；（2）实数在什么范围内取值时，．
【变式2】已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.
数学思想1.数形结合思想的应用
【方法点拨】
求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．
【例1】已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________
【变式1】设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．或
【变式2】某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人.
数学思想2.
“正难则反”思想的应用【方法点拨】
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
【例1】已知集合，若.求实数a的取值范围.
【变式1】已知集合,则实数的值为__________.
【变式2】设全集，．若，求实数的值．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·辽宁高三模拟）若集合，则A∩B＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模）已知集合，，则集合等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·三门峡市第一高级中学月考）设、是两个非空集合，定义与的差集为且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·江苏苏州市·高三三模）已知为全集，非空集合、满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）已知，，，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
6．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三模拟）已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（
）
A．有可能
B．
C．
D．
7．（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）已知集合，，则使的实数的取值范围可是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN
，TN
，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT，②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（
）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知为全集，集合为的子集，且，，，那么集合的子集可以为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·河北沧州市·高一期中）设不大于的最大整数为，如．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·江苏南京市·高一期中）设集合，或，则下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．（2021·浙江高一期末）（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（
）
A．是优集
B．是优集
C．若是优集，则或
D．若是优集，则是优集
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·霍邱县第一中学高一月考）某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.
14．（2021·眉山市东坡区校高一期中）设P和Q是两个集合，定义集合，且，若，则________．
15．（2021·福建省福州民族中学高一月考）集合，．若，则的取值范围为_____
16．（2021·江苏淮安市·高二期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合和集合，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为____________．
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·浙江杭州市·高一月考）已知全集，，（1）。若，求的取值范围；（2）若，，求
18．（2021·三门峡市月考）已知全集集合
.（1）求；（2）若求实数的取值范围.
19．（2021·广东惠州市·高一期末）已知集合，集合．现有三个条件：条件①，条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
20．（2021·黑龙江·高一开学考试）设集合，.（1）若，且，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.
21．（2020·华东师范高一期中）已知.
（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的值；
22．（2020·江西省临川高一月考）设集合，集合.（1）若，求实数m的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围.
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精品试卷·第
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