2020-2021学年湖南省岳阳市华容县八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省岳阳市华容县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，6）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列4个图形中，既是中心对称图形又是轴对称的图形是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝35°，则∠BCD＝（　　）
A．35° B．45° C．60° D．55°
4．将直线y＝x+4向下平移5个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣5 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1
5．“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列说法，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的菱形是正方形
D．矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质
8．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
二、填空题（每小题4分，共32分。把答案写在题中的横线上。）
9．若正n边形的内角和等于它的外角和，则边数n为　 　．
10．点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝2，则AB＝　 　．
12．如图，在正方形ABDC的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 　 　．
13．如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD＝8，AB＝5，则BE＝　 　．
14．一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是　 　
15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是　 　尺．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列五种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG；⑤∠AEF＝∠EGB．正确的有 　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点（1，﹣3）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点（a，4）在该函数的图象上，求a的值．
18．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
19．某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件，B玩具为y件．
（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
20．如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形．
21．某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．
并绘制成两个统计图．
（1）求频数分布直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？
（4）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
22．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？
（2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？
23．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（﹣2，0），P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合）．
（1）求直线BC所对应的函数表达式；
（2）设动点P的横坐标为t，△POA的面积为S．
①求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标．
24．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 　 　命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形ABCD中，AD＝4，AB＝3，BC＝5，求CD的长．
（3）如图2，在准筝形ABCD中，AC与BD交于点O，点P在线段AD上，AP＝2，且AD＝4，AO＝2，在BD上存在动点E，使三角形AEP周长最小，并求出此时周长的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分。）
1．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，6）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点A（﹣2，6）所在的象限是第二象限．
故选：B．
2．下列4个图形中，既是中心对称图形又是轴对称的图形是（　　）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝35°，则∠BCD＝（　　）
A．35° B．45° C．60° D．55°
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝55°，
∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝55°，
故选：D．
4．将直线y＝x+4向下平移5个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣5 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x﹣1
解：将直线y＝x+4向下平移5个单位所得直线的解析式为y＝x+4﹣5，即y＝x﹣1．
故选：A．
5．“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
解：“早”字出现的频率是：＝，
故选：D．
6．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥BC于点D，
∴点P到边AB的距离等于PD＝4．
故选：B．
7．下列说法，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的菱形是正方形
D．矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质
解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误；
B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误；
C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确；
D、矩形、菱形都具有“对角线平分”的性质，故选项说法错误；
故选：C．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣1|的图象由一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成．根据前面所讲内容，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．7 D．﹣3或﹣5
解：对于函数y＝|x﹣a|，最小值为a+5．
情形1：a+5＝0，
a＝﹣5，
∴y＝|x+5|，此时x＝﹣5时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝﹣1时，有最小值，此时函数y＝x﹣a，由题意：﹣1﹣a＝a+5，得到a＝﹣3．
∴y＝|x+3|，符合题意．
情形3：当x＝2时，有最小值，此时函数y＝﹣x+a，由题意：﹣2+a＝a+5，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝﹣3．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共32分。把答案写在题中的横线上。）
9．若正n边形的内角和等于它的外角和，则边数n为　4　．
解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得：
（n﹣2）×180°＝360°，
解得n＝4．
故答案为：4．
10．点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是　（﹣1，2）　．
解：∵点P（1，﹣2），
∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝2，则AB＝　1　．
解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AC＝2，
∴AB＝1，
故答案为：1．
12．如图，在正方形ABDC的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 　45°　．
解：∵四边形ABDC是正方形，
∴CA＝CD，∠ACD＝90°，
在正方形ABDC的外侧作等边三角形CDE，
∴CE＝CD＝CA，∠DCE＝∠CED＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE＝（180°﹣∠ACE）＝×（180°﹣150°）＝×30°＝15°，
∴∠AED＝∠CED﹣∠CEA＝60°﹣15°＝45°．
故答案为45°．
13．如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD＝8，AB＝5，则BE＝　3　．
解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA＝∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴CD＝CE＝AB＝5，
即BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
14．一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是　2＜k＜3　
解：由题意：，
解得2＜k＜3，
故答案为2＜k＜3
15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是　12　尺．
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故答案为：12．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列五种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG；⑤∠AEF＝∠EGB．正确的有 　①②③④　．（填序号）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF＝AD，BG＝BC，
∴AF＝BG，
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB∥FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确；
∵AD＝2AB，AD＝2AF，
∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确；
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵点G是BC的中点，
∴BC＝2EG，故③正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，
∴CF＝EM，
∴∠ECM＝90°，
∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵AF＝DF，AD＝2AB，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵DF＝AF＝AD，CD＝AB＝AD，
∴四边形CDFG是菱形，
∴FG∥CD，
∴∠DCF＝∠CFG，
∵FG⊥CE，
∴∠EFC＝∠CFG，
∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，
∵∵EG＝BG，
∴∠B＝∠BEG，
∴∠EGB＝180°﹣2∠B，
∵EF≠FG，
∴∠FEG≠∠FGE，
∴∠FEG≠∠FGE，
∵∠FGE＝∠BEG＝∠B，
∴∠FEG≠∠B，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEG﹣∠FEG＝180°﹣∠B﹣∠FEG，
∴∠AEF≠∠EGB，故⑤错误；
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点（1，﹣3）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点（a，4）在该函数的图象上，求a的值．
解：（1）将x＝1，y＝﹣3代入一次函数解析式得：﹣3＝k+3，
解得：k＝﹣6．
故一次函数解析式为y＝﹣6x+3；
（2）把点（a，4）代入y＝﹣6a+3，得
a＝﹣，
∴a的值为﹣．
18．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
19．某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件，B玩具为y件．
（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
解：（1）由题意可得，，
解得，．
答：张阿姨购进A型玩具20件，B型玩具12件；
（2）设利润为w元，
w＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240，
∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，
∴x≥，
解得：x≥15，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝15时，w取最大值，最大值为225，
此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15，
故购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
20．如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形．
【解答】证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，
同理，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形．
21．某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．
并绘制成两个统计图．
（1）求频数分布直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？
（4）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
解：（1）a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40；
（2）n＝360×＝126；
（3）200﹣16﹣40﹣200×25%﹣70＝24（人），
答：E组有24人；
（4）1200×＝144（人），
答：估计全区获得一等奖的人数是144人．
22．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？
（2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？
解：（1）∵在Rt△ABC中，
AB＝25米，BC＝15米，
∴AC＝＝＝20（米），
在Rt△CDE中，
∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20（米），
∴EC＝＝＝15（米），
答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米；
（2）由（1）知，AC＝20米，EC＝15米，
则AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5（米）．
答：梯子顶端A下落的长度AE有5米．
23．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（﹣2，0），P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合）．
（1）求直线BC所对应的函数表达式；
（2）设动点P的横坐标为t，△POA的面积为S．
①求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
设直线BC所对应的函数表达式为y＝kx+b，
，
解得，，
即直线BC所对应的函数表达式是y＝2x+4；
（2）①∵点O（0，0），点A（4，0），
∴OA＝4，
∵动点P的横坐标为t，△POA的面积为S，P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），
∴动点P的纵坐标为﹣t+4，
∴S＝＝﹣2t+8，
即S与t的函数关系式是S＝﹣2t+8（0＜t＜4）；
②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q，
∵点P的坐标为（t，﹣t+4），
∴点Q的纵坐标为﹣t+4，
∵点Q在直线y＝2x+4上，
∴﹣t+4＝2x+4，得x＝﹣0.5t，
∵四边形COPQ是平行四边形，OC＝2，
∴OC＝PQ，
∴2＝t﹣（﹣0.5t），
解得，t＝，
∴点Q的坐标为（，）．
24．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是“准筝形”．
（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 　真　命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形ABCD中，AD＝4，AB＝3，BC＝5，求CD的长．
（3）如图2，在准筝形ABCD中，AC与BD交于点O，点P在线段AD上，AP＝2，且AD＝4，AO＝2，在BD上存在动点E，使三角形AEP周长最小，并求出此时周长的值．
解：（1）如图，若AB＝AD＝BC，
∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
同理有OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
且AB＝AD，
∴?ABCD是菱形；
故答案为：真；
（2）如图1，
∵四边形ABCD是准筝形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+OD2＝AD2，AO2+BO2＝AB2，BO2+CO2＝BC2，CO2+DO2＝CD2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2，
∴16+25＝9+CD2，
∴CD＝4；
（3）∵四边形ABCD是准筝形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵AD＝4，AO＝2，
∴AD＝2AO，OD＝2
∴∠ADO＝30°，
如图，作点A关于BD的对称点G，连接PG交BD于点E，则AE+PE最小，
由对称可知AE＝GE，过点P作PF⊥OA于点F 则AF＝1，PF＝，FG＝3，
在Rt△PFG中，PG＝＝，
∵C△AEP＝AP+AE+PE＝2+GE+PE＝2+PG＝2+2，