2020-2021学年湖南省邵阳市新邵县八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年湖南省邵阳市新邵县八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 833.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-22 05:55:36 | ||
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文档简介
2020-2021学年湖南省邵阳市新邵县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）.
1．点（﹣1，a）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若点P（a﹣3，a﹣1）是第三象限内的一点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＜1 D．1＜a＜3
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
5．如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
6．对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y值随x值的增大而增大
D．当x＞时，y＜0
7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝10，∠ACB＝30°，则三角形AOD的面积是（ ）
A．25 B．50 C．100 D．100
8．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b＝2x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．为热烈庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了以“青春心向党，建功新时代”为主题的系列活动，举办了合唱、舞蹈、书法演讲四个项目的比赛（每位同学仅选一项），随机调查了部分学生，将结果绘制成了如表频数和频率分布表，则参加合唱比赛的频率是（ ）
类别 舞蹈 合唱 书法 演讲
频数 8 16 10 6
频率 0.2
0.25
A．0.1 B．0.25 C．0.4 D．0.5
10．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是： ．（写一个即可）
13．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是 ．
14．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
15．如图，在△MBN中，BM＝8，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，且
∠NDC＝∠MDA，则四边形ABCD的周长是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是 ．
17．频数分布直方图由五个小长方形组成，且五个长方形的高度之比是4：2：5：3：1，若第一组的频数为16，则第三组的频数是 ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
三、解答题（19、20、22小题每小题8分，21、22、23、24小题每小题8分，26小题12分，共66分）
19．已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝1．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形．
（2）连结BE，若BE＝EF，AD＝6，求AE的长度．
21．如图，一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象l2交于点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）求一次函数图象l2相应的函数表达式；
（3）求△ABC的面积．
22．在今年的初中毕业学业水平考试中，某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）抽取了 名学生成绩；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是 ；
（4）若A、B、C三个等级为合格，该校八年级有1200名学生，估计全年级生物合格的学生人数．
23．亿联华超市在端午节来临之际，以10元/千克的价格调进一批水果，根据前期销售情况，每天销售量y（千克）与该水果定价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该水果的销售价定为13元/千克，不考虑其它因素，求超市每天销售这种水果所获得的利润．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x，y轴于A，B两点，进行如下操作：
①分别以A，B为圆心，BO，AO长为半径画弧交于点C，连接AC，BC；
②D为对角线AB的中点，P是线段OA上一动点（不与A点重合），连接BP，PD；
③延长PD交BC于点E，连接AE．
根据以上操作，完成下列问题：
（1）求证：四边形APBE为平行四边形；
（2）若点P的坐标为（t，0），△BPE的面积记为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在点P，使得△BPE是以BP为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．点（﹣1，a）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解答】A．当x＝﹣1时，代入y＝﹣x+2得，y＝3，即a＝3，
故选：C．
2．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．若点P（a﹣3，a﹣1）是第三象限内的一点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＜1 D．1＜a＜3
解：∵点P（a﹣3，a﹣1）是第三象限内的一点，
∴，
解不等式①，得：a＜3，
解不等式②，得：a＜1，
∴a＜1，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
解：∵∠ACB＝90°，∠DCB＝35°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝55°，
∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝AB，AD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD＝55°，
故选：B．
5．如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
解：根据题意，坐标原点是嘴所在的行和左眼所在的列的位置，所以嘴的坐标是（1，0），故选A．
6．对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y值随x值的增大而增大
D．当x＞时，y＜0
【解答】（A）当x＝1时，代入函数y＝﹣2x+1得，y＝﹣1，故排除A；
（B）k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图像经过一、二、四象限，故排除B；
（C）k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，故排除C；
（D）当y＝0时，x＝，又因为y随x增大而减小，x＞时，y＜0．
故选：D．
7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝10，∠ACB＝30°，则三角形AOD的面积是（ ）
A．25 B．50 C．100 D．100
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，OB＝OD，
∵AB＝10，∠ACB＝30°，
∴tan30°＝，
∴BC＝10，
∴AD＝BC＝10，
∴S△AOD＝S△ADB＝××10×10＝25，
故选：A．
8．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b＝2x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
解：当y＝2时，2x＝2，解得x＝1，则B（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2x＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝1，
故选：B．
9．为热烈庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了以“青春心向党，建功新时代”为主题的系列活动，举办了合唱、舞蹈、书法演讲四个项目的比赛（每位同学仅选一项），随机调查了部分学生，将结果绘制成了如表频数和频率分布表，则参加合唱比赛的频率是（ ）
类别 舞蹈 合唱 书法 演讲
频数 8 16 10 6
频率 0.2
0.25
A．0.1 B．0.25 C．0.4 D．0.5
解：∵根据频数分布表得，随机调查的总人数为8÷0.2＝40（人），
∴参加合唱比赛的频率是16÷40＝0.4，
故选：C．
10．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
解：由题意得，x+1≥0，x﹣2≠0，
解得x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是： AC＝AD（答案不唯一） ．（写一个即可）
解：添加的条件是AC＝AD，
理由是：∵∠C＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
13．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是 （1，0） ．
解：∵一次函数y＝2x+1向下平移3个单位的解析式为y＝2x﹣2，
∴当y＝0时，x＝1，
∴平移后与x轴的交点坐标为（1，0），
故答案是：（1，0）．
14．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
15．如图，在△MBN中，BM＝8，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，且
∠NDC＝∠MDA，则四边形ABCD的周长是 16 ．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，即AB∥CD，
∴∠M＝∠NDC，
又∠NDC＝∠MDA，
∴∠M＝∠MDA，
∴MA＝AD，
四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（AB+AM）＝2×8＝16，
故应填16．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是 （2，﹣3） ．
解：∵菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，
∴AC⊥BD，菱形ABCD关于x轴对称，
∴B、D关于x轴对称，
∵顶点B的坐标为（2，3），
∴顶点D的坐标是（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）．
17．频数分布直方图由五个小长方形组成，且五个长方形的高度之比是4：2：5：3：1，若第一组的频数为16，则第三组的频数是 20 ．
解：根据题意知第三组的频数为5×＝20，
故答案为：20．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 12 ．
解：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF＝DC，
∵BD＝DC，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD＝2S△ABD，
又∵BD＝DC，
∴S△ABC＝2S△ABD，
∴S四边形AFBD＝S△ABC，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴S△ABC＝AB?AC＝×4×6＝12，
∴S四边形AFBD＝12．
故答案为：12
三、解答题（19、20、22小题每小题8分，21、22、23、24小题每小题8分，26小题12分，共66分）
19．已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝1．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
解：（1）设y+3＝kx（k是常数且k≠0），
将x＝2，y＝1代入y+3＝kx得1+3＝2k，
解得k＝2，
于是，可得y＝2x﹣3；
（2）将代入y＝2x﹣3得，y＝﹣4．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形．
（2）连结BE，若BE＝EF，AD＝6，求AE的长度．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC，
∵EF＝DC，
∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）解：连接BE，如图所示：
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠FBE＝60°，
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴AE＝AD＝6．
21．如图，一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象l2交于点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）求一次函数图象l2相应的函数表达式；
（3）求△ABC的面积．
解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y＝x+3的图象上，
∴m＝1+3＝4；
（2）设一次函数图象l2相应的函数表达式为y＝kx+b，
把点A（3，0），C（1，4）代入得，
解得，
∴一次函数图象l2相应的函数表达式y＝﹣2x+6；
（3）∵一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，
∴B（﹣3，0），
∵A（3，0），C（1，4），
∴AB＝6，
∴S△ABC＝×6×4＝12．
22．在今年的初中毕业学业水平考试中，某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）抽取了 50 名学生成绩；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是 72° ；
（4）若A、B、C三个等级为合格，该校八年级有1200名学生，估计全年级生物合格的学生人数．
解：（1）抽取的学生人数为23÷46%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D等级人数为50﹣（10+23+12）＝5（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（4）估计全年级生物合格的学生人数为1200×＝1080（人）．
23．亿联华超市在端午节来临之际，以10元/千克的价格调进一批水果，根据前期销售情况，每天销售量y（千克）与该水果定价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该水果的销售价定为13元/千克，不考虑其它因素，求超市每天销售这种水果所获得的利润．
解：（1）设售量y与定价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由图象得：，
解得：，
∴销售量y与定价x之间的函数关系式为y＝﹣20x+320；
（2）当x＝13时，y＝﹣20×13+320＝60，
∴60×（13﹣10）＝180（元），
答：超市每天销售这种水果所获得的利润为180元．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝．
在Rt△ACE中，
AE＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x，y轴于A，B两点，进行如下操作：
①分别以A，B为圆心，BO，AO长为半径画弧交于点C，连接AC，BC；
②D为对角线AB的中点，P是线段OA上一动点（不与A点重合），连接BP，PD；
③延长PD交BC于点E，连接AE．
根据以上操作，完成下列问题：
（1）求证：四边形APBE为平行四边形；
（2）若点P的坐标为（t，0），△BPE的面积记为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在点P，使得△BPE是以BP为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由作法①可知，AC＝OB，BC＝OA，
又∵OA⊥OB，
∴四边形OACB是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠CBA＝∠OAB，
∵D为对角线AB的中点，
∴BD＝AD，
在△BDE和△ADP中，
，
∴△BDE≌△ADP（ASA），
∴BE＝AP，
又∵BE∥AP，
∴四边形APBE为平行四边形；
（2）解：∵直线y＝﹣x+4分别交x，y轴于A，B两点，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
∵四边形APBE为平行四边形，
∴S△BPE＝S△AEP，
∴AP＝OA﹣OP＝8﹣t，
∴S△AEP＝AP×OB＝（8﹣t）×4＝﹣2t+16，
∴S＝﹣2t+16；
（3）解：存在，分两种情况，
①当BP＝BE时，
BE＝AP＝8﹣t，
在Rt△OBP中，OB2+OP2＝BP2，
∴（8﹣t）2＝t2+4，
解得：t＝3，
②当BP＝PE时，则BE＝2OP＝2t，
∴2t＝8﹣t，
解得t＝，
综上所述：当△BPE是以BP为腰的等腰三角形时点P的坐标为（3，0）或（，0）．
一、选择题（每题3分，共30分）.
1．点（﹣1，a）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若点P（a﹣3，a﹣1）是第三象限内的一点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＜1 D．1＜a＜3
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
5．如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
6．对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y值随x值的增大而增大
D．当x＞时，y＜0
7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝10，∠ACB＝30°，则三角形AOD的面积是（ ）
A．25 B．50 C．100 D．100
8．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b＝2x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．为热烈庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了以“青春心向党，建功新时代”为主题的系列活动，举办了合唱、舞蹈、书法演讲四个项目的比赛（每位同学仅选一项），随机调查了部分学生，将结果绘制成了如表频数和频率分布表，则参加合唱比赛的频率是（ ）
类别 舞蹈 合唱 书法 演讲
频数 8 16 10 6
频率 0.2
0.25
A．0.1 B．0.25 C．0.4 D．0.5
10．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是： ．（写一个即可）
13．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是 ．
14．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
15．如图，在△MBN中，BM＝8，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，且
∠NDC＝∠MDA，则四边形ABCD的周长是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是 ．
17．频数分布直方图由五个小长方形组成，且五个长方形的高度之比是4：2：5：3：1，若第一组的频数为16，则第三组的频数是 ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
三、解答题（19、20、22小题每小题8分，21、22、23、24小题每小题8分，26小题12分，共66分）
19．已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝1．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形．
（2）连结BE，若BE＝EF，AD＝6，求AE的长度．
21．如图，一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象l2交于点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）求一次函数图象l2相应的函数表达式；
（3）求△ABC的面积．
22．在今年的初中毕业学业水平考试中，某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）抽取了 名学生成绩；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是 ；
（4）若A、B、C三个等级为合格，该校八年级有1200名学生，估计全年级生物合格的学生人数．
23．亿联华超市在端午节来临之际，以10元/千克的价格调进一批水果，根据前期销售情况，每天销售量y（千克）与该水果定价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该水果的销售价定为13元/千克，不考虑其它因素，求超市每天销售这种水果所获得的利润．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x，y轴于A，B两点，进行如下操作：
①分别以A，B为圆心，BO，AO长为半径画弧交于点C，连接AC，BC；
②D为对角线AB的中点，P是线段OA上一动点（不与A点重合），连接BP，PD；
③延长PD交BC于点E，连接AE．
根据以上操作，完成下列问题：
（1）求证：四边形APBE为平行四边形；
（2）若点P的坐标为（t，0），△BPE的面积记为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在点P，使得△BPE是以BP为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．点（﹣1，a）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解答】A．当x＝﹣1时，代入y＝﹣x+2得，y＝3，即a＝3，
故选：C．
2．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．若点P（a﹣3，a﹣1）是第三象限内的一点，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＜1 D．1＜a＜3
解：∵点P（a﹣3，a﹣1）是第三象限内的一点，
∴，
解不等式①，得：a＜3，
解不等式②，得：a＜1，
∴a＜1，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝35°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
解：∵∠ACB＝90°，∠DCB＝35°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝55°，
∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝AB，AD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD＝55°，
故选：B．
5．如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
解：根据题意，坐标原点是嘴所在的行和左眼所在的列的位置，所以嘴的坐标是（1，0），故选A．
6．对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y值随x值的增大而增大
D．当x＞时，y＜0
【解答】（A）当x＝1时，代入函数y＝﹣2x+1得，y＝﹣1，故排除A；
（B）k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图像经过一、二、四象限，故排除B；
（C）k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，故排除C；
（D）当y＝0时，x＝，又因为y随x增大而减小，x＞时，y＜0．
故选：D．
7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝10，∠ACB＝30°，则三角形AOD的面积是（ ）
A．25 B．50 C．100 D．100
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，OB＝OD，
∵AB＝10，∠ACB＝30°，
∴tan30°＝，
∴BC＝10，
∴AD＝BC＝10，
∴S△AOD＝S△ADB＝××10×10＝25，
故选：A．
8．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b＝2x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
解：当y＝2时，2x＝2，解得x＝1，则B（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2x＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝1，
故选：B．
9．为热烈庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了以“青春心向党，建功新时代”为主题的系列活动，举办了合唱、舞蹈、书法演讲四个项目的比赛（每位同学仅选一项），随机调查了部分学生，将结果绘制成了如表频数和频率分布表，则参加合唱比赛的频率是（ ）
类别 舞蹈 合唱 书法 演讲
频数 8 16 10 6
频率 0.2
0.25
A．0.1 B．0.25 C．0.4 D．0.5
解：∵根据频数分布表得，随机调查的总人数为8÷0.2＝40（人），
∴参加合唱比赛的频率是16÷40＝0.4，
故选：C．
10．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
解：由题意得，x+1≥0，x﹣2≠0，
解得x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是： AC＝AD（答案不唯一） ．（写一个即可）
解：添加的条件是AC＝AD，
理由是：∵∠C＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
13．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是 （1，0） ．
解：∵一次函数y＝2x+1向下平移3个单位的解析式为y＝2x﹣2，
∴当y＝0时，x＝1，
∴平移后与x轴的交点坐标为（1，0），
故答案是：（1，0）．
14．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
15．如图，在△MBN中，BM＝8，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD为平行四边形，且
∠NDC＝∠MDA，则四边形ABCD的周长是 16 ．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，即AB∥CD，
∴∠M＝∠NDC，
又∠NDC＝∠MDA，
∴∠M＝∠MDA，
∴MA＝AD，
四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（AB+AM）＝2×8＝16，
故应填16．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是 （2，﹣3） ．
解：∵菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，
∴AC⊥BD，菱形ABCD关于x轴对称，
∴B、D关于x轴对称，
∵顶点B的坐标为（2，3），
∴顶点D的坐标是（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）．
17．频数分布直方图由五个小长方形组成，且五个长方形的高度之比是4：2：5：3：1，若第一组的频数为16，则第三组的频数是 20 ．
解：根据题意知第三组的频数为5×＝20，
故答案为：20．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 12 ．
解：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF＝DC，
∵BD＝DC，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD＝2S△ABD，
又∵BD＝DC，
∴S△ABC＝2S△ABD，
∴S四边形AFBD＝S△ABC，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴S△ABC＝AB?AC＝×4×6＝12，
∴S四边形AFBD＝12．
故答案为：12
三、解答题（19、20、22小题每小题8分，21、22、23、24小题每小题8分，26小题12分，共66分）
19．已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝1．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣时，求y的值．
解：（1）设y+3＝kx（k是常数且k≠0），
将x＝2，y＝1代入y+3＝kx得1+3＝2k，
解得k＝2，
于是，可得y＝2x﹣3；
（2）将代入y＝2x﹣3得，y＝﹣4．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形．
（2）连结BE，若BE＝EF，AD＝6，求AE的长度．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC，
∵EF＝DC，
∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）解：连接BE，如图所示：
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠FBE＝60°，
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴AE＝AD＝6．
21．如图，一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象l2交于点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）求一次函数图象l2相应的函数表达式；
（3）求△ABC的面积．
解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y＝x+3的图象上，
∴m＝1+3＝4；
（2）设一次函数图象l2相应的函数表达式为y＝kx+b，
把点A（3，0），C（1，4）代入得，
解得，
∴一次函数图象l2相应的函数表达式y＝﹣2x+6；
（3）∵一次函数y＝x+3的图象l1与x轴交于点B，
∴B（﹣3，0），
∵A（3，0），C（1，4），
∴AB＝6，
∴S△ABC＝×6×4＝12．
22．在今年的初中毕业学业水平考试中，某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）抽取了 50 名学生成绩；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是 72° ；
（4）若A、B、C三个等级为合格，该校八年级有1200名学生，估计全年级生物合格的学生人数．
解：（1）抽取的学生人数为23÷46%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D等级人数为50﹣（10+23+12）＝5（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（4）估计全年级生物合格的学生人数为1200×＝1080（人）．
23．亿联华超市在端午节来临之际，以10元/千克的价格调进一批水果，根据前期销售情况，每天销售量y（千克）与该水果定价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该水果的销售价定为13元/千克，不考虑其它因素，求超市每天销售这种水果所获得的利润．
解：（1）设售量y与定价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由图象得：，
解得：，
∴销售量y与定价x之间的函数关系式为y＝﹣20x+320；
（2）当x＝13时，y＝﹣20×13+320＝60，
∴60×（13﹣10）＝180（元），
答：超市每天销售这种水果所获得的利润为180元．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝．
在Rt△ACE中，
AE＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x，y轴于A，B两点，进行如下操作：
①分别以A，B为圆心，BO，AO长为半径画弧交于点C，连接AC，BC；
②D为对角线AB的中点，P是线段OA上一动点（不与A点重合），连接BP，PD；
③延长PD交BC于点E，连接AE．
根据以上操作，完成下列问题：
（1）求证：四边形APBE为平行四边形；
（2）若点P的坐标为（t，0），△BPE的面积记为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在点P，使得△BPE是以BP为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由作法①可知，AC＝OB，BC＝OA，
又∵OA⊥OB，
∴四边形OACB是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠CBA＝∠OAB，
∵D为对角线AB的中点，
∴BD＝AD，
在△BDE和△ADP中，
，
∴△BDE≌△ADP（ASA），
∴BE＝AP，
又∵BE∥AP，
∴四边形APBE为平行四边形；
（2）解：∵直线y＝﹣x+4分别交x，y轴于A，B两点，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
∵四边形APBE为平行四边形，
∴S△BPE＝S△AEP，
∴AP＝OA﹣OP＝8﹣t，
∴S△AEP＝AP×OB＝（8﹣t）×4＝﹣2t+16，
∴S＝﹣2t+16；
（3）解：存在，分两种情况，
①当BP＝BE时，
BE＝AP＝8﹣t，
在Rt△OBP中，OB2+OP2＝BP2，
∴（8﹣t）2＝t2+4，
解得：t＝3，
②当BP＝PE时，则BE＝2OP＝2t，
∴2t＝8﹣t，
解得t＝，
综上所述：当△BPE是以BP为腰的等腰三角形时点P的坐标为（3，0）或（，0）．
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