黑龙江省齐齐哈尔市2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题 Word版含答案

齐齐哈尔市2020-2021学年度下学期期末质量监测
高二数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分
全卷共150分考试时间120分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．命题“false”的否定是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．已知false（i为虚数单位），则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．false展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．false C．40 D．false
5．下面是用“三段论形式写出的演绎推理：指数函数false在false上是增函数，因为false是指数函数，所以false在false上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．以上都可能
6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：false）服从正态分布false，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在false内的个数约为（ ）
附：若false，则false．
A．134 B．136 C．817 D．819
7．若函数false在false上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．设false，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
A．96种 B．72种 C．48种 D．36种
10．若直线l与曲线false和圆false都相切，则直线l的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派方案共有（ ）
A．240种 B．320种 C．180种 D．120种
12．已知false，且false，则下列结论一定正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．
13．已知false，则false___________．
14．已知向量false，且false，则false_________．
15．古代埃及数学中有一个独特现象：除false用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个分子为1的分数的和的形式．例如false，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人false，不够，每人false，余false，再将这false分成5份，每人得false，这样每人分得false．形如false的分数的分解：false，false，false，…，按此规律，则false________false．
16．给出下列命题：
①以模型false（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设false，将其变换后得到线性方程false，则false；
②若某种产品的合格率是false，合格品中的一等品率是false，则这种产品的一等品率为false；
③若随机变量false，且false，则false；
④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为false．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为false．
其中所有正确命题的序号是___________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．本小题满分12分
已知false是单调递增的等比数列，其前n项和为false，false，且false成等差数列．
（1）求false和false；
（2）设false，求数列false的前n项和false．
18．本小题满分12分
如图，三棱柱false中，false侧面false，已知false，false，点E是棱false的中点．
（1）求证：false平面false；
（2）求直线false与平面false所成角的正弦值．
19．本小题满分12分
已知函数false．
（1）当false时，求false在false处的切线方程；
（2）求函数false的单调区间．
20．本小题满分12分
2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450~950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．
（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；
（2）现采用分层抽样的方式从分数在false、false内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列false列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？
获得“党史学习之星”
未获得“党史学习之星”
合计
35周岁以上
35周岁以下
合计
（参考公式：false，其中false）
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．本小题满分12分
已知函数false．
（1）当false时，求false的极值；
（2）若不等式false恒成立，求a的最小值．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false．
（1）求曲线false的普通方程和曲线false的直角坐标方程；
（2）若P的直角坐标为false，曲线false与曲线false交于A、B两点，求false的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数false，不等式false的解集为false．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式false恒成立，求实数a的取值范围．
齐齐哈尔市2020—2021学年度下学期期末质量监测
高二数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
A
B
D
C
B
D
C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．
13．false 14．false 15．false 16．①②③
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．（12分）
解：（1）∵false是单调递增的等比数列，且false，
∴false的公比false，
∵false成等差数列，
∴false，即false， （2分）
由false，false，得false，
∴false（false舍去）， （4分）
∴false （6分）
（2）∵false， （7分）
∴false， （9分）
∴false． （12分）
18．（12分）
（1）证明：∵false，false，false，
∴由余弦定理可知false， （1分）
∴false，∴false， （2分）
∵false侧面false，且false面false，
∴false， （4分）
又∵false，false平面false，
∴false平面false． （6分）
（2）由（1）知，以B为坐标原点，false为x轴，false为y轴，false为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则false，false，false，false，
∴false，false，false （8分）
设平面false的法向量为false，
由false，得false； （10分）
设false与平面false所成角为false，则false
故直线false与平面false所成角的正弦值为false （12分）
19．（12分）
解：（1）当false时，false，false， （1分）
false，又false，
∴切点为false， （2分）
∴false在false处的切线方程为：false，即false． （4分）
（2）由题意：false的定义城为false．
①当false，即false时，false，即false在false上恒成立，
∴false的单调递增区间为false，无递减区间； （6分）
②当false，即false时，
令false，则false，解得false，false，且false， （8分）
当false，得false或false，
∴false的递增区间为false．
当false，得false，
∴false的减区间为false （10分）
综上所述，当false时，false的增区间为false，无递减区间；
当false时，false的增区间为false，
减区间为false． （12分）
20．（12分）
解：（1）由题意知：false，
解得false， （2分）
则所有参赛市民中获得“党史学习之星”的有：
false（人）， （3分）
（2）由题意，从false中抽取7人，从false中抽取3人，
随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．
false， （5分）
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
false
false
false
false
随机变量X的数学期望false． （8分）
（3）由题可知，样本中35周岁以上60人，35周岁以下40人，获得“党史学习之星”的25人，其中35周岁以下15人；得出以下false列联表；
获得“党史学习之星”
未获得“党史学习之星”
合计
35周岁以上
10
50
60
35周岁以下
15
25
40
合计
25
70
100
（10分）
false，
故有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关． （12分）
21．（12分）
解：（1）当false时，false， （1分）
令false得false（或false舍去），
∵当false时，false，false单调递减，
当false时，false，false单调递增， （3分）
∴false，无极大值． （4分）
（2）false，即false，
即false，
∴false，即false，
∴原问题等价于false在false上恒成立，
设false，则只需false． （5分）
由false，令false，
∵false，∴false在false上单调递增， （7分）
∵false，
∴存在唯一的false，使得false， （9分）
∵当false时，false，则false单调递增，
当false时，false，则false单调递减，
∴false， （11分）
∴false即可．
∴false，∴false，故整数a的最小值为2 （12分）
22．（10分）
解：（1）将false的方程化为false，两式相减得曲线false的方程：
false， （3分）
由false得false，
∵false，
∴曲线false的直角坐标方程为false （5分）
（2）∵点false在直线false上，
∴设false的参数方程为false（t为参数），将其代入false，得
false， （7分）
由韦达定理得，false， （8分）
∴false． （10分）
23．（10分）
（1）因为false，所以不等式false，即false，
所以false， （2分）
因为不等式解集为false，
所以false，且false
解得false． （5分）
（2）关于x的不等式false恒成立，等价于false恒成立，
等价于false恒成立， （7分）
解得false或false （10分）