江苏省南京市秦淮区高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

秦淮区高中2020-2021学年高一下学期期中考试
数学试卷
注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。
2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。
2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一?选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z＝1＋i，则|z2－2z|＝( ▲ )．
A．0 B．1 C. D．2
2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( ▲ )．
A．－3 B．－10 C．9 D．15
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，cos(B＋C)＝，则a等于( ▲ )．
A． B． C．4 D．
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，点D为边BC上靠近B的三等分点，则·的值为( ▲ )．
A．－ B．－ C． D．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝，则C＝( ▲ )．
A． B． C． D．
6．若α，β∈(，π)，且sinα＝，sin(α－β)＝－，则sinβ＝( ▲ )．
A． B． C． D．
7．已知||＝3，||＝2，若对于任意的实数m，不等式|＋|≤|＋m|恒成立，则
cos∠BAC＝( ▲ )．
A． B．－ C．－ D．
8．已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则＋()2的最小值为( ▲ )．
A．－1 B． C．3 D．
二?选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列命题为真命题的是( ▲ )．
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若i为虚数单位，则i3＝i
C．若复数z＝1＋i，则z2＝2i
D．若复数z＝－＋i，则1＋z＋z2＝0
257873567627510．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )．
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．
A．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且同向
B．若非零向量a?b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°
C．若单位向量的e1?e2的夹角为60°，则当|2e1＋te2| (t∈R)取最小值时，t＝1
D．在△ABC中，若(＋)·＝0，则△ABC为等腰三角形
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．
A．c＝acosB＋bcosA
B．若A＞B，则sin2A＞sin2B
C．若A＝30?，a＝4，b＝6，则满足条件的三角形有两解
D．若△ABC是钝角三角形，则tanA·tanC＜1
三?填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知a＝(sinα，4)，b＝(1，cosα)，且a⊥b，则sin2α＋2sin2α＝．
14．已知函数f(x)＝2cos2(x－)－1，g(x)＝x3，设函数F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)所有的零点之和为．
4074795116840D
C
A
B
M
N
D
C
A
B
M
N
15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，
若＝λ1＋λ2，λ1，λ2∈R，则的值为．
16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC中，若O为△ABC的外心，则·＝2．
4288155121285E
A
B
·O
E
A
B
·O
证明如下：取AB中点E，连接OE，可知OE⊥AB，则
434403549530·＝2·＝2||||cos∠OAE
＝2||(||cos∠OAE)＝22＝2．
利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，满足a＞c且2bcosA＝3c，(c＋a)＝2b．
设O为△ABC的外心，若＝x＋y，x，y∈R，则x－2y＝．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．
17．(本小题10分)
已知复数z=bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位
求复数z；
若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
18．(本小题12分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．
19．(本小题12分)
设向量a＝(3cos，sin)，b＝(sin，3cos)，c＝(cos，－3sin)．
(1)若a与b－c垂直，求tan(＋)的值；
(2)求|b－c|的最小值；
20．(本小题12分)
4047490384175A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
N
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC＝， OA⊥平面ABCD， OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点
(1)画出平面AMN与平面OCD的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)；
(2)证明：直线MN||平面OCD ；
(3)求异面直线AB与MD所成角的大小．
21．（本小题12分）
某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设∠COB＝θ．
3994150224790
B
D
A
O
B
D
A
O
(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD＝，
则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；
(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC，
CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总
长l最长，并求l的最大值．
22．（本小题12分）
已知ΔABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为ΔABC外接圆半径．
(1)若R＝1，且满足sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA，求b2＋c2的取值范围；
(2)若b2＋c2＝2aRcosA＋a2，求tanA＋tanB＋tanC的最小值．
秦淮区高中2020-2021学年高一下学期期中考试
数学试卷
注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。
2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。
2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一?选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z＝1＋i，则|z2－2z|＝( ▲ )．
A．0 B．1 C. D．2
答案：D
2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( ▲ )．
A．－3 B．－10 C．9 D．15
答案：D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，cos(B＋C)＝，则a等于( ▲ )．
A． B． C．4 D．
答案　C
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，点D为边BC上靠近B的三等分点，则·的值为( ▲ )．
A．－ B．－ C． D．
答案：D
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝，则C＝( ▲ )．
A． B． C． D．
答案：A
6．若α，β∈(，π)，且sinα＝，sin(α－β)＝－，则sinβ＝( ▲ )．
A． B． C． D．
答案：B
7．已知||＝3，||＝2，若对于任意的实数m，不等式|＋|≤|＋m|恒成立，则
cos∠BAC＝( ▲ )．
A． B．－ C．－ D．
答案：C
详解：因为||＝3，||＝2，且关于m的不等式|＋|≤|＋m|恒成立，
所以|＋|2≤|＋m|2，
所以9＋4＋12cos∠BAC≤9＋4m2＋12mcos∠BAC，
整理得m2＋3mcos∠BAC－3cos∠BAC－1≥0，
所以Δ＝9cos2∠BAC＋12cos∠BAC＋4＝(3cos∠BAC＋2)2≤0，
所以3cos∠BAC＋2＝0，cos∠BAC＝－
8．已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则＋()2的最小值为( ▲ )．
A．－1 B． C．3 D．
答案：C
解析：
由正弦定理可知:＋()2＝＋()2＝＋()2＝＋cosA＋()2，又A＝2B，则＝＝＝2cos2B，()2＝()2，
从而＋＝4cos2B－1＋，又A＝2B，知A＋B＝3B＜π，所以0＜B＜，则＜cosB＜1，可令t＝cosB，则＋()2＝4t2＋－1≥3，等号能取到
二?选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列命题为真命题的是( ▲ )．
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若i为虚数单位，则i3＝i
C．若复数z＝1＋i，则z2＝2i
D．若复数z＝－＋i，则1＋z＋z2＝0
答案：ACD
257873567627510．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )．
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
答案：BC
11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．
A．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且同向
B．若非零向量a?b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°
C．若单位向量的e1?e2的夹角为60°，则当|2e1＋te2| (t∈R)取最小值时，t＝1
D．在△ABC中，若(＋)·＝0，则△ABC为等腰三角形
答案：ABD
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．
A．c＝acosB＋bcosA
B．若A＞B，则sin2A＞sin2B
C．若A＝30?，a＝4，b＝6，则满足条件的三角形有两解
D．若△ABC是钝角三角形，则tanA·tanC＜1
答案：ACD
详解：
对于A，作AB边上的高，在两个直角三角形中可知结论成立，故A正确；
对于B，当A＝60°，B＝30°时不满足，故B错误；
对于C，由正弦定理得＝，则sinB＝＝，因为b＞a，故有两解，故C正确；
对于D，在△ABC中，tanB＝－tan(A＋C)＝－，则tanA·tanC－1＝，当△ABC是钝角三角形，若A或C为钝角，则tanA·tanC＜0＜1，满足；若B为钝角，则tanA·tanC－1＝＜0，即tanA·tanC＜1，满足，故D正确．
三?填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知a＝(sinα，4)，b＝(1，cosα)，且a⊥b，则sin2α＋2sin2α＝．
答案：
14．已知函数f(x)＝2cos2(x－)－1，g(x)＝x3，设函数F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)所有的零点之和为．
4074795116840D
C
A
B
M
N
D
C
A
B
M
N
答案：0
15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，
若＝λ1＋λ2，λ1，λ2∈R，则的值为．
答案：－
16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC中，若O为△ABC的外心，则·＝2．
4288155121285E
A
B
·O
E
A
B
·O
证明如下：取AB中点E，连接OE，可知OE⊥AB，则
434403549530·＝2·＝2||||cos∠OAE
＝2||(||cos∠OAE)＝22＝2．
利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，满足a＞c且2bcosA＝3c，(c＋a)＝2b．
设O为△ABC的外心，若＝x＋y，x，y∈R，则x－2y＝．
答案：－
2bcosA＝3c，即b2＝a2＋2c2，
由条件得c＋a＝b，联立解得a＝c，b＝c，或a＝5c，b＝3c.
又a＞c，所以a＝5c，b＝3c
由＝x＋y，得·＝x2＋y·，可得2x＋3y＝1
同理，由＝x＋y，得·＝x·＋y2，可得x＋18y＝9
解得x－2y＝－.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．
17．(本小题10分)
已知复数z=bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位
求复数z；
若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解：(1)＝＝＝＝＋i
因为是实数，所以＝0，b＝－2，故复数z＝－2i.
(2) (m+z)2=(m－2i)2＝m2－4－2mi，所表示点在第一象限，
所以m2－4＞0，且－2m＞0，
所以m＜－2.
18．(本小题12分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式计算如下sin215°＋cos15°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝
(2)三角恒等式：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝
证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝
19．(本小题12分)
设向量a＝(3cos，sin)，b＝(sin，3cos)，c＝(cos，－3sin)．
(1)若a与b－c垂直，求tan(＋)的值；
(2)求|b－c|的最小值；
解:(1)b－c＝(sin，3cos)－(cos，－3sin)＝(sin－cos，3cos＋3sin)，
因为a与b－c垂直，所以a(b－c)＝0，
即3cos( sin－cos)＋sin(3cos＋3sin)
＝3cos sin－3coscos＋3sincos＋3sinsin＝0，
即sincos＋cos sin＝coscos－sinsin，
从而sin(＋)＝cos(＋)，所以tan(＋)＝1．
(2) b－c＝(sin，3cos)－(cos，－3sin)＝(sin－cos，3cos＋3sin)，
所以(b－c)2＝(sin－cos)2＋(3cos＋3sin)2＝10＋16sincos＝10＋8sin2，
当＝－＋kπ，k∈Z时(b－c)2取最小值2，从而|b＋c|的最大值为．
20．(本小题12分)
4047490384175A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
N
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC＝， OA⊥平面ABCD， OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点
(1)画出平面AMN与平面OCD的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)；
(2)证明：直线MN||平面OCD ；
(3)求异面直线AB与MD所成角的大小．
解：
(1)在平面ABCD内延长AN、DC交于点E，连结EO，
直线EO为平面AMN与平面OCD的交线．
(2)证：在菱形ABCD中，AB||CD．
因为N是BC的中点，
3710305142240A
B
C
D
O
M
N
E
A
B
C
D
O
M
N
E
所以N是AE的中点．
在△OAE中，M，N分别是OA和AE中点，
所以MN||OE ．
又因为MN平面OCD，OE 平面OCD，
所以MN||平面OCD．
(3) 在菱形ABCD中，AB||CD．
所以∠MDC(或其补角)是异面直线AB与MD所成的角
连AC，MC，
在菱形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC＝，
由余弦定理得，AC=．
因为OA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以OA⊥AC．
在Rt△MAC中，MA=1，AC=，所以MC=．
因为OA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以OA⊥AD．
在Rt△MAD中，MA=1，AD=1，所以MD=．
在△MCD中，MC=，MD=，CD=1，
所以cos∠MDC＝，故∠MDC＝，所以 AB与MD所成角的大小为．
21．（本小题12分）
某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设∠COB＝θ．
B
D
A
O
(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD＝，
则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；
(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC，
CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总
长l最长，并求l的最大值．
解:(1)由图，SABCD＝S△BOC＋S△COD＋S△DOA
＝2sinθ＋2sin＋2sin(π－θ－)
＝2sin(θ＋)＋，
因为∠COD＝，所以0＜θ＜π，所以＜θ＋＜π，
故当θ＋＝，即θ＝时，绿植种植面积最大；
(2)由题意可得，∠COB＝∠COD＝θ，所以0＜θ＜，
由余弦定理，BC＝＝2sin，
DA＝＝2cosθ，
∴l＝4sin＋2cosθ(0＜θ＜)，
令t＝sin，则0＜t＜，
∴l＝4sin＋2(1－2sin2)＝4t＋2(1－2t2)＝－4(t－)2＋3，
∴t＝，即θ＝时，l的最大值为3．
22．（本小题12分）
已知ΔABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为ΔABC外接圆半径．
(1)若R＝1，且满足sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA，求b2＋c2的取值范围；
(2)若b2＋c2＝2aRcosA＋a2，求tanA＋tanB＋tanC的最小值．
解：(1)根据正弦定理＝＝＝2R，
将sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA转化为·＝
即sinA＝，又因A为锐角，所以A＝.
b2＋c2＝4sin2C＋4sin2B＝2cos2C＋2cos2B－4
＝2cos(－2B)＋2cos2B－4＝3cos2B－sin2B－4
＝2cos(2B＋)－4
因为ΔABC是锐角三角形，
所以，所以＜B＜，得＜2B＋＜，
所以2cos(2B＋)－4∈[－4－2，－7)
故·(＋)的取值范围是[－4－2，－7)．
(2)由题设得aR＝bc，根据正弦定理＝＝＝2R，
所以sinA＝2sinBsinC
sin(B＋C)＝2sinBsinC
sinBcosC＋sinCcosB＝2sinBsinC，在锐角三角形ABC中cosBcosC≠0
所以tanB＋tanC＝2tanBtanC．
又tanA＋tanB＋tanC＝－tan(B＋C)＋tanB＋tanC＝(tanB＋tanC)(1＋)
令tanB＋tanC＝t，因为tanA＝－tan(B＋C)＝＞0
所以t＞1
则tanA＋tanB＋tanC＝t(1＋)＝t(1＋)＝t＋＝t＋＝t－2＋＋4≥8
当且仅当t＝4，即或时等号成立。