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北师版九年级上册数学1.2.1
矩形的性质教学设计
课题
1.2.1
矩形的性质
单元
一单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.经历探索矩形的概念和有关性质的过程，掌握矩形的概念和矩形的性质定理.2.了解矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.3.经历利用矩形的定义探索矩形的性质的过程，培养动手实践能力、观察、推理的意识，发展逻辑思维，获得从一般到特殊的数学思维经验，掌握转化数学思想.
重点
矩形的概念与性质.
难点
矩形性质定理的探索和应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
上节课我们学习了特殊的平行四边形中的菱形，你能说一说菱形有什么性质吗？怎样判定一个四边形是不是菱形？下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征?
学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
通过复习，使学生更好的掌握菱形的性质和判定方法，为本节课的学习做铺垫。通过展示生活中的实例，让学生感受数学与生活的联系。
讲授新课
观察下图，改变平行四边形的一个内角（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。师：你能说一说矩形的定义吗？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．师：矩形有哪些性质呢？你能说一说这些性质吗？教师课件出示表格。矩形是轴对称图形吗？动手操作：准备一张长方形纸片，通过折叠纸片你能发现什么？师：矩形是_____________；矩形有____条对称轴。由于矩形有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？量一量：准备一张长方形纸片，通过测量纸片的边，角，对角线，你能发现什么？矩形的四个角有什么特点？矩形的对角线有什么特点？你能证明猜想吗？教师出示问题。已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°；（2）AC=BD.证明：（1）∵
四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠CDA,∠DAB=∠BCD（矩形的对角相等）,AB∥CD（矩形的对边平行）.∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD（矩形的对边相等）.在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC=DB.【总结归纳】矩形性质小结：矩形性质定理1
矩形的四个角都是直角.矩形性质定理2
矩形的对角线相等.符号语言1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，符号语言2：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.【学以致用】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（??
）A．内角和是360度
??????????????B．对角相等C．对边平行且相等
???????????????D．对角线相等探索直角三角形的性质定理议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BE是AC上的中线.求证:BE
=AC
总结：直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：在△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO，∴BO
=AC例1
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形的对角线的长.【拓展提高】直角三角形的性质小结：（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.（4）直角三角形斜边中线等于斜边的一半.
学生思考回答问题。学生总结矩形的定义。矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。学生拿出矩形纸跟着老师动手折叠探究矩形的对称性、然后多媒体动画演示，得到矩形是轴对称图形。生：猜想：矩形的四个角都是直角。猜想：矩形的对角线相等。学生根据问题整理解题过程。学生在教师的引导下总结归纳。利用所学知识解决问题。老师引导学生观察矩形ABCD，用多媒体课件演示从矩形中抽象出直角三角形，学生归纳，教师补充得出矩形性质的推论，并引导学生证明。学生巩固矩形的性质
通过实例和教具演示，可激发学生的学习兴趣，使学生实现由感性认识到理性认识的转变，并使其感受到数学与生活是紧密联系的，然后，引出矩形定义。在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程。通过让学生亲自动手操作探索矩形的对称性，这样使学生的主体性得到了发挥，同时培养学生的动手操作能力，增强他们的主动探究意识。在教师指导下采用自主探究、分组讨论的形式完成，引导学生探究四边形的性质应该从边、角、对角线、对称性等几个方面去研究，这里要给学生充足的时间，让学生以小组为单位，进行交流，这样做的目的是激发学生的竞争意识，同时也考查了小组之间的合作能力，让做的快的同学也享受其它组的同学成功的幸福感，等学生完成以后，教师一一点评，并给以鼓励。在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程。让学生感受矩形与直角三角形有密切的关系，引导学生归纳总结直角三角形的性质,有助于生形成系统化的知识，培养良好的学习习惯.培养学生的解题规范、过程完整、条理清晰的解题习惯。
课堂练习
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )A．AB＝CD
B．AD＝BCC．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°2.如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于( C )A．25°
B．30°
C．50°
D．60°3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝( D ).A．20°
B．30°
C．50°
D．70°4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.求证：△AOM≌△CON；证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠N.在△AOM和△CON中，∴△AOM≌△CON(AAS)．5.【2020·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则EF的长是( D )A．2.2
cm
B．2.3
cm
C．2.4
cm
D．2.5
cm6.【2020·黄石】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( B )A．3
B．4
C．5
D．6
学生利用所学知识做练习。
从简单的问题入手，运用矩形的性质解决问题，让学生在解题过程中掌握矩形的应用,达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力.
课堂小结
本节课你学到了什么？1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：(1)边的性质：对边平行且相等．(2)对角线性质：对角线互相平分且相
等．(3)对称性：矩形是轴对称图形．
让学生来完成，这样做的目的是让学生养成及时总结、善于总结的习惯。让学生理解本节课的核心。
板书
课题：1.2.1
矩形的性质一、定义二、性质三、直角三角形的性质
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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1.2.1
矩形的性质
北师大版
九年级上册
新知导入
上节课我们学习了特殊的平行四边形中的菱形，你能说一说菱形有什么性质吗？怎样判定一个四边形是不是菱形？
新知导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征?
合作探究
观察下图，改变平行四边形的一个内角
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。
新知讲解
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
在小学我的名字就是长方形！
矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．
合作探究
矩形有哪些性质呢？
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能说一说这些性质吗？
边：
角：
对角线：
新知讲解
矩形是轴对称图形吗？
动手操作：准备一张长方形纸片，通过折叠纸片你能发现什么？
矩形是_____________；
矩形有____条对称轴。
轴对称图形
2
合作探究
由于矩形有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
量一量：准备一张长方形纸片，通过测量纸片的边，角，对角线，你能发现什么？
新知讲解
矩形的四个角有什么特点？
猜想：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线有什么特点？
猜想：矩形的对角线相等。
你能证明你的猜想吗？
新知讲解
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°；（2）AC=BD.
证明：（1）∵
四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠DAB=∠BCD（矩形的对角相等）,
AB∥CD（矩形的对边平行）.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.
新知讲解
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°；（2）AC=BD.
证明：（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD（矩形的对边相等）.
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=DB.
新知讲解
【总结归纳】
矩形性质小结：
矩形性质定理1
矩形的四个角都是直角.
矩形性质定理2
矩形的对角线相等.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC
=∠BCD=∠CDA=90°，
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
新知讲解
【学以致用】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（??
）
A．内角和是360度?
??????????????
B．对角相等
C．对边平行且相等
???????????????
D．对角线相等
D
合作探究
探索直角三角形的性质定理
议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？
BE
=
AC
BE是Rt△ABC的中线
你能证明你的猜想吗？
新知讲解
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证:
BO
=
AC
证明:
延长BO至D,
使OD=BO,连接AD、DC.
D
∵AO=OC,
BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
新知讲解
直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
符号语言
：在△ABC中，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
新知讲解
例1
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形的对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，
AC=BD，
∴OA=OD.
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD=
（180°-120°）=30°
∴BD=2AB=2×2.5=5.
新知讲解
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
（4）直角三角形斜边中线等于斜边的一半.
【拓展提高】直角三角形的性质小结：
课堂练习
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
D
课堂练习
2.如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于( )
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
C
课堂练习
3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝( ).
A．20°
B．30°
C．50°
D．70°
D
拓展提高
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.
求证：△AOM≌△CON；
拓展提高
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.
求证：△AOM≌△CON；
中考链接
5.【2020·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则EF的长是( )
A．2.2
cm
B．2.3
cm
C．2.4
cm
D．2.5
cm
D
中考链接
6.【2020·黄石】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，
矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形的所有性质．
2.性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)对角线性质：对角线互相平分且相等．
(3)对称性：矩形是轴对称图形．
板书设计
课题：1.2.1
矩形的性质
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定义
二、性质
三、直角三角形的性质
作业布置
课本
P13
练习题
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