高中数学人教A版2019 必修第一册第二章函数及性质单元测试

高中数学人教A版2019 必修第一册第二章函数及性质单元测试
一、单选题
1．设不等式的解集为M，函数 的定义域为N，则为(　　)
A．(0，1) B．(0，2) C．(0，1] D．(0，2]
2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（　　）
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），。
A．（1），（2） B．（2），（3）
C．（4） D．（3），（5）
3．如果奇函数f(x)在区间[2，6]上是增函数，且最小值为4，则f(x)在[-6，-2]上是（　　）
A．最大值为-4的增函数 B．最小值为-4的增函数
C．最小值为-4的减函数 D．最大值为-4的减函数
4．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（　　）
A． B． C． D．
5．设集合，，则等于(　　)
A． B． C． D．
6．（2019高一上·如东月考）已知函数 （ 且 ）在 上单调递减，则实数a 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为(　　)
A．2012 B．2013 C．4024 D．4026
二、多选题
9．（2020高一上·龙岩期末）已知函数 ，若 ，则 的值可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020高一上·泉州期末）下列函数中，与 是同一个函数的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·德州模拟）已知函数 ，若函数 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）．
A．函数 的图像关于直线 对称
B．函数 的图像关于点 对称
C．将函数 的图像向左平移 个单位可得函数 的图像
D．函数 在区间 上的值域为
12．（2020高一上·湖南月考）定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则以下结论正确的是（　　）
A． B． 为奇函数
C． 为单调递减函数 D． 为单调递增函数
三、填空题
13．（2017高一上·鞍山期中）若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，3]，则函数y=f（x﹣1）的定义域是　 　．
14．（2016高一上·鼓楼期中）下列四个函数图象中，不是函数图象的是　 　（填序号）
15．（2017高一上·辽源月考）已知函数 的定义域为[0，1]，则 的定义域为　 　
16．（2019高一下·上海期中）已知 是定义在R上的奇函数，且 时， 单调递增，已知 设 集合 集合 则 　 　.
四、解答题
17．（函数单调性的性质++++++++++++++3 ）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣4x．
（1）求f（﹣3）+f（﹣2）+f（3）的值；
（2）求f（x）的解析式，并写出函数的单调递增区间．
18．（2017高一上·江苏月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2).（注：收益与投资额单位：万元）
（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
19．（2021高一下·赣州期末）已知向量 ， ，设向量 ， ，且 ，其中 .
（1）求 关于 的函数关系式 ；
（2）设 的最小值为 .若正实数 ， 满足 ，求 的最小值.
20．（2019高一上·临渭期中）函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .
（1）求函数 的解析式；
（2）作出函数 的图像，并写出函数 的单调区间；
（3）方程 有两解，求实数 的取值范围.
21．（2019高一上·成都期中）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的解析式；
（2）若 在区间 上是减函数，且对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围．
22．（2019·南平模拟）
（1）已知函数 是 上的增函数，求实数 的取值范围；
（2）试比较两数 与 的大小，并证明你得出的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式
【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域和一元二次不等式的求解。
【解答】由于不等式等价于x(x-2)<0，解得0而作为函数的定义域为，偶次根式下被开方数为非负数，则满足，1-x故集合N={x|x1}，因此通过集合的交集的运算可知，选C.
【点评】解决该试题的关键是准确的翻译出集合M，N，然后运用集合的交集的运算，得到结论。
2．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】构成函数的要素有两个，对应法则、定义域。
（1），定义域不同，前者定义域为不等于-3的实数构成，后者定义域为R，不表示同一函数；
（2），定义域不同，前者定义域为，后者定义域为，所以不表示同一函数；
（3），不表示同一函数，因为=|x|；
（5），不表示同一函数，因为=|2x-5|；
只有（4），表示同一函数；故选C。
3．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【分析】因为在区间[2，6]上是增函数，且最小值为4，所以，又因为是奇函数，所以在[-6，-2]上是单调递增，且最大值为。
【点评】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
4．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为，奇函数的图象关于原点对称，函数是奇函数，图象上有一点为，所以，也在函数的图象上，故选C。
【分析】简单题，奇函数的图象关于原点对称。
5．【答案】C
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【解答】，，.故选C.
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】由函数 （ 且 ），
即 （ 且 ）
令 ，则 ，开口向下，对称轴为
当 时，由因为 ，则 ，且
根据复合函数的单调性可知函数 在 上单调递减，
所以 满足；
当 时，由因为 ，则
若要使函数 上单调递减，则
解得
综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为：A
【分析】化简函数 （ 且 ），得 （ 且 ）；
令 ，分类讨论当 时，根据复合函数的单调性，函数 在 上单调递减，显然成立；当 时，只需 成立即可.
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的零点
【解析】【解答】由是定义在上的奇函数，满足，得，即，函数的周期为.∵当时， ，令，则，解得.又∵函数是定义在上的奇函数，∴在区间上，．∴，
∴，又∵函数的是周期为的周期函数，则函数在区间上的零点，共9个，故选D.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】令，所以.即.再令.代入可得.设.所以.又因为.所以可得.所以可得函数是递增.所以.又因为.故选C.
9．【答案】A,C
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以实数 的值是2或－1，
或
故答案为：AC
【分析】根据题意对a分情况讨论并代入到函数的解析式计算出由此得到a的值，再把数值代入到函数的解析式计算出结果即可。
10．【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】 的定义域为 ，值域为 ，
对于A选项，函数 的定义域为 ，故是同一函数；
对于B选项，函数 ，与 解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数 ，且定义域为 ，故是同一函数；
对于D选项， 的定义域为 ，与函数 定义域不相同，故不是同一函数.
故答案为：AC．
【分析】根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，对选项逐一分析即可得出答案。
11．【答案】B,C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】结合函数 的图像易知，函数 的最大值 ，最小值为 ，
则 ， ，
代入点 ，则 ， ，
因为 ，所以 ， ，
，即 ，函数 关于 对称，A不符合题意；
，即 ，函数 关于点 对称，B符合题意；
函数 的图像向左平移 个单位，
得出 ，C符合题意；
当 时， ， ， ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 由函数 的部分图象求出 的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.
12．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】令 得 ，即得 ，A符合题意；
在定义域范围内令 得 ，即得 是奇函数，B符合题意；
令 ， ，且 ，所以 ，又 且 ， ，所以 ，即 ，所以 ，所以 是减函数，C符合题意，D不符合题意，
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合赋值法求出函数值、再利用奇函数的定义判断函数为奇函数、再利用减函数的定义判断函数为减函数，从而选出正确结论的选项。
13．【答案】[﹣1，4]
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[﹣2，3]，
∴由﹣2≤x﹣1≤3，解得﹣1≤x≤4．
∴函数y=f（x﹣1）的定义域是[1，4]．
故答案为：[﹣1，4]．
【分析】把x﹣1看作一个整体，代入到指定的区间内，求出x的取值范围即可。
14．【答案】（2）
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，只有（2）不能表示函数关系．
故答案为（2）．
【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．
15．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】因为函数 的定义域为[0，1]，
所以对于函数f( )，令 ，解得 ，
故函数f( )的定义域为 ．
答案：
【分析】抽象函数求定义域，两点要求：（i）定义域指的是自变量x的取值范围；（ii）括号中的取值范围相同，列出不等式组求解即可.
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 是定义在R上的奇函数， 时， 单调递增，且
所以 时， ， 时， ，
所以 可化为： 或 ，
所以集合 可化为：
集合 ，
所以
即： 恒成立.
即： 恒成立，即：
记 ，令 ，则 ，且 ，代入得：
，当且仅当 时，等号成立．
所以 ，
所以 ，
所以
【分析】由已知可得： 时， ， 时， ，将 转化成 或 ，即可将 转化成： ，即可转化成： 成立，令 ，整理得： ，再利用基本不等式即可得解．
17．【答案】（1）解：∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（﹣3）+f（﹣2）+f（3）=﹣f（2）=4；
（2）解：设x＜0，则﹣x＞0．
∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[x2﹣4×（﹣x）]=﹣x2﹣4x，
∴f（x）= ，单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞）．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【分析】（1）当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，f（x）是定义域为R的奇函数，即可求f（﹣3）+f（﹣2）+f（3）的值；（2）利用奇函数的性质求x＜0时f（x）的表达式，写出函数的单调递增区间．
18．【答案】（1）解：设 ， ，
所以 ， ，
即 ， ；
（2）解：设投资债券类产品 万元，则股票类投资为 万元，
依题意得： ，
令 ，则 ，
所以当 ，即 万元时，收益最大， 万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）列出两个函数模型，代入点坐标，计算参数，即可得出答案。（2）建立收益函数y，换元，结合二次函数型最值，计算最值，即可得出答案。
19．【答案】（1）因为 ，所以
即 ，
即
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，整理得 ，
即 .
（2）由（1）知 ，
得函数 的最小值为
则
因为 ， 均为正实数
所以
当且仅当 即 ， 时，等号成立
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的性质几何数量积的坐标公式整理即可求出，结合已知条件整理得到x与y的关系式，由此得出答案。
(2)由(1)的结论结合二次函数的性质即可求出函数的最小值，再由已知条件整理，整理化简原式再结合基本不等式即可求出最小值。
20．【答案】（1）解：∵ 是偶函数，∴ ，
当 时， ，∴
∴
（2）解：图像如图所示，
所以：单调递增区间为 . 单调递减区间为 .
（3）解：由（2）知， ，可得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【分析】（1）利用 求得 时函数的表达式，由此求得 的解析式.（2）根据（1）求得的解析式，结合指数型函数图象的画法，画出函数图象.（3）利用（2）中函数 的图像，结合 有两解列不等式，解不等式求得 的取值范围.
21．【答案】（1）解：依题意 ，解得 或 （舍去），
∴ .
（2）解：由 在区间 上是减函数，得 ，
∴当 时，
.
∵对于任意的 ， 恒成立，
∴ ，即 ，
解得 .
∴实数 的取值范围是 .
（3）解：∵ 在区间 上有零点，
∴关于 的方程 在 上有解.
由 ，得 ，
令 ，
∵ 在 上是减函数，在 上是增函数，
∴ ，即
∴求实数 的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由 即可解得 代入即得解析式；（2）对于任意的 ， 恒成立，只需 ，进而由函数单调性求最值即可；（3） 在区间 上有零点，即为 的方程 在 上有解，分离得 ，令 ，求值域即可.
22．【答案】（1）解： ．
∵ 是 上的增函数，
∴ 恒成立，即 恒成立，
则 恒成立．
令 ，
，即 是 上的增函数，则 ，
故 ，即实数 的取值范围是 ．
（2）解： ．
证明：记 ，
由（1）知 是 上的增函数，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
取 ，得 ．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数 是 上的增函数的单调性，从而求出a的取值范围。
（2） 由（1）知 是 上的增函数， 再利用函数的单调性比较出两数 与 的大小。
1 / 1高中数学人教A版2019 必修第一册第二章函数及性质单元测试
一、单选题
1．设不等式的解集为M，函数 的定义域为N，则为(　　)
A．(0，1) B．(0，2) C．(0，1] D．(0，2]
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式
【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域和一元二次不等式的求解。
【解答】由于不等式等价于x(x-2)<0，解得0而作为函数的定义域为，偶次根式下被开方数为非负数，则满足，1-x故集合N={x|x1}，因此通过集合的交集的运算可知，选C.
【点评】解决该试题的关键是准确的翻译出集合M，N，然后运用集合的交集的运算，得到结论。
2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（　　）
（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），。
A．（1），（2） B．（2），（3）
C．（4） D．（3），（5）
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】构成函数的要素有两个，对应法则、定义域。
（1），定义域不同，前者定义域为不等于-3的实数构成，后者定义域为R，不表示同一函数；
（2），定义域不同，前者定义域为，后者定义域为，所以不表示同一函数；
（3），不表示同一函数，因为=|x|；
（5），不表示同一函数，因为=|2x-5|；
只有（4），表示同一函数；故选C。
3．如果奇函数f(x)在区间[2，6]上是增函数，且最小值为4，则f(x)在[-6，-2]上是（　　）
A．最大值为-4的增函数 B．最小值为-4的增函数
C．最小值为-4的减函数 D．最大值为-4的减函数
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【分析】因为在区间[2，6]上是增函数，且最小值为4，所以，又因为是奇函数，所以在[-6，-2]上是单调递增，且最大值为。
【点评】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
4．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为，奇函数的图象关于原点对称，函数是奇函数，图象上有一点为，所以，也在函数的图象上，故选C。
【分析】简单题，奇函数的图象关于原点对称。
5．设集合，，则等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；其他不等式的解法
【解析】【解答】，，.故选C.
6．（2019高一上·如东月考）已知函数 （ 且 ）在 上单调递减，则实数a 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】由函数 （ 且 ），
即 （ 且 ）
令 ，则 ，开口向下，对称轴为
当 时，由因为 ，则 ，且
根据复合函数的单调性可知函数 在 上单调递减，
所以 满足；
当 时，由因为 ，则
若要使函数 上单调递减，则
解得
综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为：A
【分析】化简函数 （ 且 ），得 （ 且 ）；
令 ，分类讨论当 时，根据复合函数的单调性，函数 在 上单调递减，显然成立；当 时，只需 成立即可.
7．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的零点
【解析】【解答】由是定义在上的奇函数，满足，得，即，函数的周期为.∵当时， ，令，则，解得.又∵函数是定义在上的奇函数，∴在区间上，．∴，
∴，又∵函数的是周期为的周期函数，则函数在区间上的零点，共9个，故选D.
8．若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为(　　)
A．2012 B．2013 C．4024 D．4026
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】令，所以.即.再令.代入可得.设.所以.又因为.所以可得.所以可得函数是递增.所以.又因为.故选C.
二、多选题
9．（2020高一上·龙岩期末）已知函数 ，若 ，则 的值可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A,C
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以实数 的值是2或－1，
或
故答案为：AC
【分析】根据题意对a分情况讨论并代入到函数的解析式计算出由此得到a的值，再把数值代入到函数的解析式计算出结果即可。
10．（2020高一上·泉州期末）下列函数中，与 是同一个函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】 的定义域为 ，值域为 ，
对于A选项，函数 的定义域为 ，故是同一函数；
对于B选项，函数 ，与 解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数 ，且定义域为 ，故是同一函数；
对于D选项， 的定义域为 ，与函数 定义域不相同，故不是同一函数.
故答案为：AC．
【分析】根据判断两个函数是否是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同，对选项逐一分析即可得出答案。
11．（2021·德州模拟）已知函数 ，若函数 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）．
A．函数 的图像关于直线 对称
B．函数 的图像关于点 对称
C．将函数 的图像向左平移 个单位可得函数 的图像
D．函数 在区间 上的值域为
【答案】B,C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】结合函数 的图像易知，函数 的最大值 ，最小值为 ，
则 ， ，
代入点 ，则 ， ，
因为 ，所以 ， ，
，即 ，函数 关于 对称，A不符合题意；
，即 ，函数 关于点 对称，B符合题意；
函数 的图像向左平移 个单位，
得出 ，C符合题意；
当 时， ， ， ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 由函数 的部分图象求出 的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.
12．（2020高一上·湖南月考）定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则以下结论正确的是（　　）
A． B． 为奇函数
C． 为单调递减函数 D． 为单调递增函数
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】令 得 ，即得 ，A符合题意；
在定义域范围内令 得 ，即得 是奇函数，B符合题意；
令 ， ，且 ，所以 ，又 且 ， ，所以 ，即 ，所以 ，所以 是减函数，C符合题意，D不符合题意，
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合赋值法求出函数值、再利用奇函数的定义判断函数为奇函数、再利用减函数的定义判断函数为减函数，从而选出正确结论的选项。
三、填空题
13．（2017高一上·鞍山期中）若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，3]，则函数y=f（x﹣1）的定义域是　 　．
【答案】[﹣1，4]
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[﹣2，3]，
∴由﹣2≤x﹣1≤3，解得﹣1≤x≤4．
∴函数y=f（x﹣1）的定义域是[1，4]．
故答案为：[﹣1，4]．
【分析】把x﹣1看作一个整体，代入到指定的区间内，求出x的取值范围即可。
14．（2016高一上·鼓楼期中）下列四个函数图象中，不是函数图象的是　 　（填序号）
【答案】（2）
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，只有（2）不能表示函数关系．
故答案为（2）．
【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．
15．（2017高一上·辽源月考）已知函数 的定义域为[0，1]，则 的定义域为　 　
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】因为函数 的定义域为[0，1]，
所以对于函数f( )，令 ，解得 ，
故函数f( )的定义域为 ．
答案：
【分析】抽象函数求定义域，两点要求：（i）定义域指的是自变量x的取值范围；（ii）括号中的取值范围相同，列出不等式组求解即可.
16．（2019高一下·上海期中）已知 是定义在R上的奇函数，且 时， 单调递增，已知 设 集合 集合 则 　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 是定义在R上的奇函数， 时， 单调递增，且
所以 时， ， 时， ，
所以 可化为： 或 ，
所以集合 可化为：
集合 ，
所以
即： 恒成立.
即： 恒成立，即：
记 ，令 ，则 ，且 ，代入得：
，当且仅当 时，等号成立．
所以 ，
所以 ，
所以
【分析】由已知可得： 时， ， 时， ，将 转化成 或 ，即可将 转化成： ，即可转化成： 成立，令 ，整理得： ，再利用基本不等式即可得解．
四、解答题
17．（函数单调性的性质++++++++++++++3 ）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣4x．
（1）求f（﹣3）+f（﹣2）+f（3）的值；
（2）求f（x）的解析式，并写出函数的单调递增区间．
【答案】（1）解：∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（﹣3）+f（﹣2）+f（3）=﹣f（2）=4；
（2）解：设x＜0，则﹣x＞0．
∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[x2﹣4×（﹣x）]=﹣x2﹣4x，
∴f（x）= ，单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞）．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【分析】（1）当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，f（x）是定义域为R的奇函数，即可求f（﹣3）+f（﹣2）+f（3）的值；（2）利用奇函数的性质求x＜0时f（x）的表达式，写出函数的单调递增区间．
18．（2017高一上·江苏月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2).（注：收益与投资额单位：万元）
（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【答案】（1）解：设 ， ，
所以 ， ，
即 ， ；
（2）解：设投资债券类产品 万元，则股票类投资为 万元，
依题意得： ，
令 ，则 ，
所以当 ，即 万元时，收益最大， 万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）列出两个函数模型，代入点坐标，计算参数，即可得出答案。（2）建立收益函数y，换元，结合二次函数型最值，计算最值，即可得出答案。
19．（2021高一下·赣州期末）已知向量 ， ，设向量 ， ，且 ，其中 .
（1）求 关于 的函数关系式 ；
（2）设 的最小值为 .若正实数 ， 满足 ，求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，所以
即 ，
即
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，整理得 ，
即 .
（2）由（1）知 ，
得函数 的最小值为
则
因为 ， 均为正实数
所以
当且仅当 即 ， 时，等号成立
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意由数量积的性质几何数量积的坐标公式整理即可求出，结合已知条件整理得到x与y的关系式，由此得出答案。
(2)由(1)的结论结合二次函数的性质即可求出函数的最小值，再由已知条件整理，整理化简原式再结合基本不等式即可求出最小值。
20．（2019高一上·临渭期中）函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .
（1）求函数 的解析式；
（2）作出函数 的图像，并写出函数 的单调区间；
（3）方程 有两解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ 是偶函数，∴ ，
当 时， ，∴
∴
（2）解：图像如图所示，
所以：单调递增区间为 . 单调递减区间为 .
（3）解：由（2）知， ，可得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【分析】（1）利用 求得 时函数的表达式，由此求得 的解析式.（2）根据（1）求得的解析式，结合指数型函数图象的画法，画出函数图象.（3）利用（2）中函数 的图像，结合 有两解列不等式，解不等式求得 的取值范围.
21．（2019高一上·成都期中）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的解析式；
（2）若 在区间 上是减函数，且对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：依题意 ，解得 或 （舍去），
∴ .
（2）解：由 在区间 上是减函数，得 ，
∴当 时，
.
∵对于任意的 ， 恒成立，
∴ ，即 ，
解得 .
∴实数 的取值范围是 .
（3）解：∵ 在区间 上有零点，
∴关于 的方程 在 上有解.
由 ，得 ，
令 ，
∵ 在 上是减函数，在 上是增函数，
∴ ，即
∴求实数 的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由 即可解得 代入即得解析式；（2）对于任意的 ， 恒成立，只需 ，进而由函数单调性求最值即可；（3） 在区间 上有零点，即为 的方程 在 上有解，分离得 ，令 ，求值域即可.
22．（2019·南平模拟）
（1）已知函数 是 上的增函数，求实数 的取值范围；
（2）试比较两数 与 的大小，并证明你得出的结论．
【答案】（1）解： ．
∵ 是 上的增函数，
∴ 恒成立，即 恒成立，
则 恒成立．
令 ，
，即 是 上的增函数，则 ，
故 ，即实数 的取值范围是 ．
（2）解： ．
证明：记 ，
由（1）知 是 上的增函数，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
取 ，得 ．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数 是 上的增函数的单调性，从而求出a的取值范围。
（2） 由（1）知 是 上的增函数， 再利用函数的单调性比较出两数 与 的大小。
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