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北师版九年级上册数学1.2.2
矩形的判定教学设计
课题
1.2.2
矩形的判定
单元
一单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定方法．2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力.3.经历探索矩形判定的过程，发展实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.4.培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.
重点
理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.
难点
定理的证明方法及运用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师提问：
1.矩形的定义是什么?___________________________________________2.矩形的性质有哪些，从那些方面考虑的？对称性：___________________________________角：___________________________________对角线：___________________________如图所示，有一个需要安装的窗框，假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框成矩形？能不能由定义判定一个平行四边形是否为矩形？
学生回答先测两组对边是否分别相等，再量其中的一个角是否是直角，来检验窗框是否成矩形．教师点评，并指出由定义可以判定一个平行四边形是否为矩形．
复习与本课关系密切的矩形的性质，引入本课，为本课的学习做好准备。同时板书课题.通过实例引入矩形的判定方法．通过定义可以验证，是否还有其他的验证方法呢？由此引入矩形的判定.
讲授新课
动手试验，发现问题：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.教师课件出示平行四边形框架的变化过程。师提问：∠α满足什么条件时，平行四边形会变成矩形？【思考】如果一个四边形是平行四边形，那么只要再添加一个什么条件，就可以判定它就是一个矩形？根据什么？
教师出示矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形.动手试验，发现问题：师：随着∠α的变化，两条对角线将发生怎样的变化?师：当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？师：怎样证明呢？教师出示问题：已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD.求证：□ABCD是矩形.教师总结过程：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB
∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.【总结归纳】由对角线的关系判定矩形矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。师：用符号语言怎样表示？合作探究小明同学用四步画出了一个四边形，他的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，他说这就是一个矩形，他的判断对吗?师：想一想：矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？师：怎样证明呢？已知:在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.【总结归纳】矩形的判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。师：试着用符号语言叙述一下。矩形判定方法小结：师：你能总结怎样从平行四边形和四边形的角度去判断是不是矩形？议一议：你有什么方法检查你家的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？说明理由.教师出示课本例题。
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
教师课件出示过程。
学生根据四边形的不稳定性回答问题。生：∠α为90°时，平行四边形会变成矩形。生：平行四边形再加上有一个角是直角。学生根据教师叙述在教材上整理符号语言。学生根据平行四边形的变化情况得出猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.教师提示：
要证明□ABCD是矩形，只要证明其中一个角是直角即可。学生写出证明过程。生：符号语言：在□ABCD中，∵AC=BD，∴□ABCD是矩形.学生猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。学生总结解题过程。生：符号语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形。学生根据所学知识回答问题：先检查两组对边是否相等，判断它是否是一个平行四边形；再检查对角线是否相等，判断它是否是一个矩形.学生在练习本上整理解题过程。
先用教具演示四边形的两条对角线在保持相互平分的前提下进行伸缩，当它们的长度相等时让学生观察猜想平行四边形变成矩形并引导证明，目的是激发学生的探究兴趣，体会证明的必要性。在证明这个猜想，目的是通过学生动手画图实践观察，猜想，验证，感受到动手操作，猜想的乐趣培养学生的猜想能力和推理能力。让学生以小组为单位，进行交流，这样做的目的是激发学生的竞争意识，同时也考查了小组之间的合作能力，让做的快的同学也享受其它组的同学成功的幸福感.在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程。研究工人师傅检测门窗方法的数学原理，让学生思考不同检测方法，目的是开拓学生的思维空间。培养学生的解题规范、过程完整、条理清晰的解题习惯。
课堂练习
1.
判断正误：（1）两条对角线相等的四边形是矩形.
（×
）
（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
（
√
）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形.
（
×
）
（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点.（
×）
（5）两组对边分别相等且对角线相等的四边形是矩形.
（
√
）（6）三个角都相等的四边形是矩形.
（
×
）
（7）四个角都相等的四边形是矩形.
（√
）
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠CC．AC＝BD
D．AB⊥BC3.如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( C )A．互相平分
B．相等C．互相垂直
D．互相垂直平分4.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( C )A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线互相垂直5.【2020·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：△BDE≌△FAE；(2)求证：四边形ADCF为矩形．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)．(2)∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF为矩形．6.【2020·十堰】已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( B )A．①
B．②
C．③
D．④
学生利用所学知识做练习。
从简单的问题入手，运用矩形的判定解决问题，让学生在解题过程中掌握矩形判定定理的应用,达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题的能力和推理论证的能力.
课堂小结
本节课你学到了什么？矩形的判定方法：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
师生一起回顾本节课所学的主要内容.
引导学生归纳本节课的知识点和疏理探究思路，并对举行判定的判定体系作整体感知．
板书
课题：1.2.2
矩形的判定一、定义法二、对角线相等三、三个角是直角
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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1.2.2
矩形的判定
北师大版
九年级上册
新知导入
1.矩形的定义是什么?
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质有哪些？从哪些方面考虑的？
对称性：
矩形既是中心对称图形也是轴对称图形
角：
矩形的四个角都是直角
对角线：
矩形的对角线相等
新知导入
如图所示，有一个需要安装的窗框，假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框成矩形？
能不能由定义判定一个平行四边形是否为矩形？
合作探究
动手试验，发现问题：
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
【思考】∠α满足什么条件时，平行四边形会变成矩形？
新知讲解
【思考】如果一个四边形是平行四边形，那么只要再添加一个什么条件，就可以判定它就是一个矩形？根据什么？
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
A
B
C
D
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
合作探究
动手试验，发现问题：
随着∠α的变化，两条对角线将发生怎样的变化?
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
新知讲解
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
要证明□ABCD是矩形，只要证明其中一个角是直角即可。
新知讲解
已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC.
又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB
∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=
×180°=90°
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.
新知讲解
【总结归纳】由对角线的关系判定矩形
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：
在□ABCD中，
∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
合作探究
小明同学用四步画出了一个四边形，他的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，他说这就是一个矩形，他的判断对吗?
想一想：矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
新知讲解
已知:在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
求证:四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明:
∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
新知讲解
【总结归纳】
矩形的判定定理3：
有三个角是直角的四边形是矩形。
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
新知讲解
矩形判定方法小结：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
四边形
矩形
有三个角是直角
新知讲解
议一议：
你有什么方法检查你家的门框是不是矩形？
如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？说明理由.
先检查两组对边是否相等，
判断它是否是一个平行四边形；
再检查对角线是否相等，
判断它是否是一个矩形.
新知讲解
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4.
∴OA=OC=OB=OD=4.
∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形，∴∠ABC=90°
新知讲解
【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2，
∴S□ABCD=
课堂练习
1.
判断正误：
（1）两条对角线相等的四边形是矩形.
（
）
（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
（
）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形.
（
）
（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点.
（
）
（5）两组对边分别相等且对角线相等的四边形是矩形.
（
）
（6）三个角都相等的四边形是矩形.
（
）
（7）四个角都相等的四边形是矩形.
（
）
√
×
×
×
√
×
√
课堂练习
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
B
课堂练习
3.如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A．互相平分
B．相等
C．互相垂直
D．互相垂直平分
C
课堂练习
4.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
C
拓展提高
5.【2020·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：△BDE≌△FAE；
证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE(AAS)．
拓展提高
5.【2020·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(2)求证：四边形ADCF为矩形．
解：∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF为矩形．
中考链接
6.【2020·十堰】已知平行四边形ABCD，下列条件：
①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，
其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定方法：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
板书设计
课题：1.2.2
矩形的判定
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定义法
二、对角线相等
三、三个角是直角
作业布置
课本
P16
练习题
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