四川省广元市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学（理科）试题 PDF版含答案

广元市 2020-2021 学年度下学期期末高中二年级教学质量监测
数学试题(理工类)
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).满分150分.考试时间120分钟考生作答
时,需将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．若复数z ?i(3?2i)（i是虚数单位），则z=（ ）
A.2?3i B.2?3i C.3?2i D.3?2i
2．同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
3. 设 2
x?R，则“x ?5x?0”是“|x?1|?1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．下列命题中错．误．的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
5．已知递增等比数列?an?中，a2 ?a5 ?18，a3?a4 ?32，若an ?128，则n=
A．5 B．6 C．7 D．8
3 3 3
6. 三个数 2
a ?( ) ，b?ln ， 5之间的大小关系是（ ）
5 5 c?2
A.b?a?c B.a?b?c C.a?c?b D.b?c?a
ln|x|
7．函数 f(x)? 的图象大致为（ ）
|x|
A． B．
试卷第1页，总5页
C． D．
8．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄
黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊
香”，画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一
个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画
圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半
径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则
如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ）
56?
A． B．14? C．24? D．10?
3
9. 执行如图的程序框图，若输出的n?4，则输入的整数 p的
最小值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.15
? 1 ?
10. 已知角?满足cos(?? )? ，则sin(2?? )?（ ）
6 3 6
A. 4 2 4 2 7 7
? B. C. ? D.
9 9 9 9
2 2
11. 椭圆 x y
2 ? 2 ?1(a?b?0)的左右焦点分别是F1,F2，
a b
以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，
则椭圆的离心率为（ ）
? ?
A. 2 B. 3 1 C. 5 1
3?1 D.
2 2 2
12. 设函数 x
f(x)?e (3x?1)?ax?a，其中a?1，若有且只有一个整数x0使得
f ?x0??0，则a的取值范围是（ ）
?2 3? ?2 3? ?2 ? ?2 ?
A.? , ? B.? , ? C.? ,1 D.
? ? ,1?
?e 4? ?e 4? ?e ? ?e ?
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项:必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指定的区域内作答，作图题可先
用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷、草稿纸上无效.
试卷第2页，总5页
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 在平面直角坐标系中，将曲线C: y ?sin2x上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐
标保持不变，所得新的曲线的方程为__________.
? ? ? ?
14. 已知向量a?(?4,3)，b ?(6,m)，且a?b，则m=__________.
2
15．抛物线x ?4y的焦点为F，已知抛物线在A点处的切线斜率为2，则直线AF与该切
线的夹角的正弦值为__________.
16．已知一族双曲线 2 2 2
E *
n:x ? y ?n （n?N ），设直线x?2n与En在第一象限内的交
点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn、Cn，记?AnBnCn的面积为an，对
1 2 3 n
任意 *
n?N 不等式 ? ? ??? ??恒成立,则?的最小值为_______.
2a1 3a2 4a3 (n?1)an
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数
? ??
f ?x?? Asin??x????A?0,??0,?? ?在某一个周期内的图像时，列表并填入了部
? 2 ?
分数据，如表：
? 3?
?x?? 0 ? 2?
2 2
? 2?
x 6 3
f ?x? 0 2 0 0
（Ⅰ）根据表中数据求函数 f ?x?的解析式；
? ? ?
（Ⅱ）求函数 f ?x?在区间?? ,0 上的最大值和最小值．
?
? 2 ?
18．（本小题满分12分）2021年是中国共产党成立100周年，广元市积极开展“青春心
向党，建功新时代”系列主题活动．我市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次
党史知识竞赛，并从所有的学生竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率
分布直方图（如图所示），其中成绩在?50,60?的试卷份数是24．
（Ⅰ）求m，n的值；
试卷第3页，总5页
（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为?80,90?和
?90,100?这两组中共抽取5份试卷，并从这5份
试卷中任取2份试卷进行点评，求分数在?90,100?
恰有1份的概率．
19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P? ABD 中，平面PAD ? 平面ABD，
AP ?PD ?BD ? 2,AB=2 3,AP ?PD .
（Ⅰ）求证AP ? BD；
（Ⅱ）求二面角B? AP?D的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）已知椭圆C1以直线x?my? 5 ?0所过的定点为一个焦点，
且短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴
和短轴的长的?倍(?＞0)，过点C(1,0)的直线l与椭圆C2交于 A,B两个不同的点，若
???? ????
AC ?2CB，求?AOB的面积的最大值.
1
21． 2
（本小题满分12分）已知函数F(x)? x ?elnx.
2
（Ⅰ）求函数F(x)的极值；
（Ⅱ）对于函数 h(x) 和 f(x) 定义域内的任意实数 x ,若存在常数 k,b ,使得不等式
h(x)?kx?b 和 f(x)?kx?b 都成立,则称直线 y ?kx?b是函数h(x) 和 f(x) 的“分界
1
线”．设函数 2
h(x)? x ，f(x)?h(x)?F(x)，试问函数h(x)和 f(x)是否存在“分界线”？
2
若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．
试卷第4页，总5页
选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用2B铅笔涂
黑，多做按所做第一题计分.
2 2
22．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是 2 ?1?sin ?，直线 的参数方程
? l
? 2
?x ?? t?1
?
是 2
? (t 为参数）.
? 2
y ?
? t
? 2
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
1 1
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M ，N 两点，求 ? 的
|PM | |PN |
值．
23．（本小题满分10分）已知函数 f ?x?? 2x?1 .
（Ⅰ）解不等式 f ?x?? x；
（Ⅱ）若函数g?x?? f ?x?? f ?x?1?的最小值为a,且m?n?a?m?0,n?0?,
2 1
求 ? 的最小值.
m n
试卷第5页，总5页
广元市 2020-2021 学年度下学期期末高中二年级教学质量监测
数学试题(理工类)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C D A D B A D C D
二、填空题
13___y ?sinx__ 14____8____ 15___ 5 ____ 16____4____
5
三、解答题
1 2? 2? ?
17、解（Ⅰ）根据表格可得? ? ? ? ，??? 2 ，
2 ? 3 6
? ? ?
再根据五点法作图可得2? ??? ，??? ，
6 2 6
? π?
故解析式为： f ?x??2sin?2x? ? .
? 6?
π 5π π π
（Ⅱ）因为? ? x?0，所以? ?2x? ? ，
2 6 6 6
? π? 1
得?1?sin?2x? ?? ，
? 6? 2
π π π ? ? ?
所以,当2x? ? ? 即x?? 时， f ?x?在区间?? ,0 上的最小值为 ，
? ?2
6 2 3 ? 2 ?
π π ? ? ?
当2x? ? 即x?0时， f ?x?在区间?? ,0 上的最大值为
? 1.
6 6 ? 2 ?
18、解（Ⅰ）由于其中成绩在?50,60?的学生人数为24，又在?50,60?间的频率为0.12，
∴n?24?0.12?200．
又概率和为1，∴m??1?0.24?0.18?0.16?0.12??10?0.03．
（II）∵n?200，∴第四组?80,90?的频数：0.024?10?200?48；
第五组?90,100?的频数：0.016?10?200?32；
用分层抽样的方法抽取5份试卷得：
答案第1页，总5页
48 32
第四组?80,90?抽取： ?5?3；第五组?90,100?抽取： ?5?2．
80 80
记抽到第四组?80,90?的三份试卷为A1，A2，A3，第五组?90,100?的两份试卷为B1，B2
则从5份试卷中任取2份的基本事件有：?A1,A2?，?A1,A3?，?A1,B1?，
?A1,B2?，?A2,A3?，?A2,B1?，?A2,B2?，?A3,B1?，?A3,B2?，?B1,B2?，共10种．
其中分数在?90,100?恰有1份有：?A1,B1?，?A1,B2?，?A2,B1?，?A2,B2?，?A3,B1?，
?A3,B2?，共6种．
6 3
∴所求概率P? ? ．
10 5
19、解（Ⅰ）在Rt?PAD中，因为AP ? PD=2，AP ? PD，所以AD ?2 2，
所以在?ABD中， 2 2 2
AD ?BD ? AB ， 所以BD ? AD，
又因为平面PAD ?平面ABD，平面PAD ?平面ABD=AD，BD?平面ABD，
所以BD?平面PAD，
又∵AP?平面PAD，所以BD ? AP
（II）如图，设AD的中点为O，AB的中点为C，连接OP，OC ，
易知OA、OC、OP两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则
A(? 2,0,0),B(? 2,2,0),P(0,0, 2),
∴AP ?(? 2,0, 2),AB ?(?2 2,2,0)
设平面APB的一个法向量m?(x,y,z)
??? 2x? 2z ?0
则? ，令
???2 2x?2y ?0
x?1,则y ? 2,z ?1,即m?（1，2，1）
平面PAD的一个法向量n?（0,1,0），
m?n 2
?cos?m,n?? ? ，
|m||n| 2
由图知二面角 2
B? AP?D为锐二面角，所以其余弦值为 .
2
答案第2页，总5页
20．解（Ⅰ）由题意直线过定点 ， ，
? 50?，故椭圆的焦点为? 50?,
又由题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9,
2 2
∴椭圆 x y
C1的标准方程为 ? ?1．
9 4
2 2
（II）由题意设椭圆 2
C2的方程为 x y
? ??，
9 4
易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x?my?1(m?0)，
? x ?my?1 2 2 2
由? 2 2 2 ，消去x整理得?4m ?9?y ?8my?4?36? ?0．
?4x ?9y ?36?
2 2 2
? ?64m ?4(4m ?9)(4?36?)?0
? 2
8m ?
设 4 36?
A(x1,y1),B(x2,y2)，则 y1? y2 ? 2 ， y1y2 ? ．
2
9?4m 4m ?9
???? ????? 8m
∵AC ?2CB，且点C(1,0)，∴y1 ??2y2，∴ y1? y2 ??y2，故 y2 ? 2 ．
9?4m
2 2 2
?128m 4?36? 2 4m ?1
y1y2 ? 2 2 ? 2 ，即? ? 2
(4m ?9) 4m ?9 4m ?9
1 1 1 3
∴S?OAB ?S?AOC ?S?BOC ? ?1? y1 ? ?1? y2 ? y1? y2 ? | y2 |
2 2 2 2
3 8 m 12 12
? ? 2 ? ? ?1
2 9?4|m| 9 ?4|m| 2 36
|m|
9 3 5
当且仅当 2 2
|m| = ，即m=± 时等号成立，此时? ? 满足? ?0，
4 2 9
∴△OAB面积的最大值为1．
21．解（I） e (x? e)(x? e)
F'(x)? x? ?
x x
令F'(x)?0得x? e，
所以F(x)在(0, e)上单调递减，( e,??)上单调递增，
所以F(x)
极小值 ? F( e)?0，F(x)无极大值．
答案第3页，总5页
e
（II）由F(x)
极小值 ?0，可知函数h(x)和 f(x)的图象在x? e处有公共点( e, ).
2
e
设函数h(x)和 f(x)存在“分界线”，方程为 y? ?k(x? e)，
2
e
应有h(x)?kx? ?k e在x?R时恒成立，
2
即 2
x ?2kx?e?2k e ?0在x?R时恒成立，
于是 2 2 2
? ?4k ?4(2k e ?e) ?4(k? e) ?0，得k ? e，
e
则“分界线”的方程为 y ? ex? 2
e e
记 e e? ex
G(x)? f(x)?( ex? )?elnx? ex? (x?0)，则G'(x)? ? e ?
2 2 x x
令G'(x)?0得0? x? e ，所以G(x)在(0, e)上单调递增，( e,??)上单调递减，
当x? e时，函数G(x)取得最大值0，
e
即 f(x)? ex? 在x?0时恒成立.
2
e
综上所述，函数h(x)和 f(x)存在“分界线”，方程为 y ? ex? 2
2 2
22．解（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是 2 ?1?sin ?，
?
即为 2 2 2 2 2 2
? ?? sin ??2，由x ??cos?， y ??sin?，x ? y ?? ，
2
可得 2 2 2 x 2
x ? y ? y ? 2，即 ? y ?1；
2
? 2
?x ?? t?1
?
（II）直线l的参数方程是 2
? (t 为参数）
? 2
y ?
? t
? 2
令y ?0，可得t ?0，x?1，即P(1,0)，
将直线 2 2
l的参数方程代入曲线C:x ?2y ?2，可得：
1 2 1 2
1? 2t? t ?2? t ?2，
2 2
即为 2 2
3t ?2 2t?2?0，解得t1 ? 2 ，t2 ?? ，
3
由参数t的几何意义可得，
答案第4页，总5页
1 1 1 1 1 3
? ? ? ? ? ? 2 2．
|PM | |PN | |t1| |t2| 2 2
23、解（Ⅰ）由 f ?x?? x知 2x?1 ? x,于是?x?2x?1? x,
1 ?1 ?
解得 ? x?1,故不等式 f ?x??2的解集为? ,1?.
3 ?3 ?
（II）由条件得g?x?? 2x?1? 2x?3 ? 2x?1??2x?3? ?2,
?1 3?
当且仅当x?? , 时等号成立
? ,? a?2,即m?n?2,
?2 2?
2 1 1 ? 2 1? 1? 2n m? 1
又 ? ? ?m?n?? ? ?? ?3? ? ?? ?3?2 2?,
m n 2 ?m n? 2? m n ? 2
2 1 1
所以 ? 的最小值为 ?3?2 2 此时
?, m?4?2 2,n?2 2?2.
m n 2
答案第5页，总5页