四川省广元市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学（文科）试题 PDF版含答案

广元市 2020-2021 学年度下学期期末高中二年级教学质量监测
数学试题(文史类)
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).满分150分.考试时间120分钟考生作答
时,需将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．若复数z ?i(3?2i)（i是虚数单位），则z=（ ）
A.2?3i B.2?3i C.3?2i D.3?2i
2．同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 4
3. 设 2
x?R，则“x ?5x?0”是“|x?1|?1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．下列命题中错．误．的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
5．已知递增等比数列?an?中，a2 ?a5 ?18，a3?a4 ?32，若an ?128，则n=
A．5 B．6 C．7 D．8
3 3 3
6. 三个数 2
a ?( ) ，b?ln ， 5之间的大小关系是（ ）
5 5 c?2
A.b?a?c B.a?b?c C.a?c?b D.b?c?a
7．设直线l是曲线 x
f(x)?e ?cosx 在点(0,2)处的切线，则直线l与x轴， y轴围成的三
角形面积为（ ）
1
A．2 B．1 C． D．4
2
ln|x|
8．函数 f(x)? 的图象大致为（ ）
|x|
试卷第1页，总5页
A． B．
C． D．
9．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄
黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊
香”，画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一
个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画
圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半
径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推,则如
图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ）
56?
A． B．14? C．24? D．30?
3
10. 执行如图的程序框图，若输出的n?4，则输入的整数 p
的最小值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.15
? 1 ?
11. 已知角?满足cos(?? )? ，则sin(2?? )?（ ）
6 3 6
A. 4 2 4 2 7 7
? B. C. ? D.
9 9 9 9
2 2
12. 椭圆 x y
2 ? 2 ?1(a?b?0)的左右焦点分别是F1,F2，
a b
以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，
则椭圆的离心率为（ ）
? ?
A. 2 B. 3 1 C. 5 1
3?1 D.
2 2 2
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项:必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指定的区域内作答，作图题可先
用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷、草稿纸上无效.
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
试卷第2页，总5页
13. 在平面直角坐标系中，将曲线C: y ?sin2x上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐
标保持不变，所得新的曲线的方程为__________.
? ? ? ?
14. 已知向量a?(?4,3)，b ?(6,m)，且a?b，则m=__________.
1 2
15．抛物线x? y 的焦点到准线的距离是__________.
10
16．已知一族双曲线 2 2 2
E *
n:x ? y ?n （n?N ），设直线x?2n与En在第一象限内的交
点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn、Cn，记?AnBnCn的面积为an，对
1 2 3 n
任意 *
n?N 不等式 ? ? ??? ??恒成立,则?的最小值为_______.
2a1 3a2 4a3 (n?1)an
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数
? ??
f ?x?? Asin??x????A?0,??0,?? ?在某一个周期内的图像时，列表并填入了部
? 2 ?
分数据，如表：
? 3?
?x?? 0 ? 2?
2 2
? 2?
x 6 3
f ?x? 0 2 0 0
（Ⅰ）根据表中数据求函数 f ?x?的解析式；
? ? ?
（Ⅱ）求函数 f ?x?在区间?? ,0 上的最大值和最小值．
?
? 2 ?
18．（本小题满分12分）2021年7月1日是中国
共产党成立100周年纪念日，广元市积极开展“青春
心向党，建功新时代”系列主题活动．我市某中学为
了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞
赛，并从所有的学生竞赛试卷中随机抽取n份试卷进
行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），
已知学生竞赛成绩均不低于50分，成绩在?50,60?的试卷份数是24．
试卷第3页，总5页
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）记党史竞赛成绩在70分及以上的学生为优秀，不足70分的为合格，已知这n名学生
中文科理科学生之比为2:3，党史竞赛为优秀的文科学生有60人，据此判断能否有90%的
把握认为“党史成绩优良与否与学习文理科有关”？
2
2 n(ad?bc)
附：参考公式K ? ，其中n?a?b?c?d ．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
独立性检验临界值表：
2
P?K ?k0? 0．10 0．05 0．025 0．010
k0 2．706 3．841 5．024 6．635
19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P? ABD 中，平面PAD ? 平面ABD，
AP ?PD ?BD ? 2,AB=2 3,AP ?PD .
（Ⅰ）求证AP ? BD；
（Ⅱ）求四面体PABD 的体积．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C1以直线x?my? 5 ?0所过的定点为一个焦点，
且短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）过点C(1,0)的直线l与椭圆C1交于A，B两个不同的点，求△OAB的面积的最大值.
1
21． 2
（本小题满分12分）已知函数F(x)? x ?elnx.
2
（Ⅰ）求函数F(x)的极值；
（Ⅱ）对于函数 h(x) 和 f(x) 定义域内的任意实数 x ,若存在常数 k,b ,使得不等式
h(x)?kx?b 和 f(x)?kx?b 都成立,则称直线 y ?kx?b是函数h(x) 和 f(x) 的“分界
1
线”．设函数 2
h(x)? x ，f(x)?h(x)?F(x)，试问函数h(x)和 f(x)是否存在“分界线”？
2
若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．
试卷第4页，总5页
选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用2B铅笔涂
黑，多做按所做第一题计分.
2 2
22．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是 2 ?1?sin ?，直线 的参数方程
? l
? 2
?x ?? t?1
?
是 2
? (t 为参数）.
? 2
y ?
? t
? 2
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
1 1
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M ，N 两点，求 ? 的
|PM | |PN |
值．
23．（本小题满分10分）已知函数 f ?x?? 2x?1 .
（Ⅰ）解不等式 f ?x?? x；
（Ⅱ）若函数g?x?? f ?x?? f ?x?1?的最小值为a,且m?n?a?m?0,n?0?,
2 1
求 ? 的最小值.
m n
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广元市 2020-2021 学年度下学期期末高中二年级教学质量监测
数学试题(文史类)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C D A A D B A D C
二、填空题
13.___y ?sinx__ 14.___8____ 15.____5____ 16.____4____
三、解答题
1 2? 2? ?
17、解（Ⅰ）根据表格可得? ? ? ? ，??? 2 ，
2 ? 3 6
? ? ?
再根据五点法作图可得2? ??? ，??? ，
6 2 6
? π?
故解析式为 f ?x??2sin?2x? ? .
? 6?
π 5π π π
（Ⅱ）因为? ? x?0，所以? ?2x? ? ，
2 6 6 6
? π? 1
得?1?sin?2x? ?? ，
? 6? 2
π π π ? ? ?
所以当2x? ? ? 即x?? 时， f ?x?在区间?? ,0 上的最小值为 ，
? ?2
6 2 3 ? 2 ?
π π ? ? ?
当2x? ? 即x?0时， f ?x?在区间?? ,0 上的最大值为 .
? 1
6 6 ? 2 ?
18、解（Ⅰ）由于其中成绩在?50,60?的学生人数为24，又在?50,60?间的频率为0.12，
∴n?24?0.12?200．
又概率和为1，∴m??1?0.24?0.18?0.16?0.12??10?0.03．
（Ⅱ）根据题意可得如下2×2列联表：
文科 理科 总计
成绩优良 60 80 140
成绩不优良 20 40 60
答案第1页，总4页
总计 80 120 200
2
200(60?40?80?20) 100
∴ 2
K ? ? ?1.587? 2.706，
60?140?80?120 63
∴没有90%的把握认为“成绩优良与学习文理有关”.
19、解（Ⅰ）在Rt?PAD中，因为AP ? PD=2，AP ? PD，所以AD ?2 2，
所以在? 2 2 2
ABD中，AD ?BD ? AB ，
所以BD ? AD，
又因为平面PAD ?平面ABD，平面PAD ?平面ABD=AD，BD?平面ABD，
所以BD?平面PAD，
又∵AP?平面PAD，所以BD ? AP
（Ⅱ）因为AP ? PD=2，AP ? PD
1
∴S?APD= ?2?2=2，
2
又由（Ⅰ）知，BD ?平面PAD
1 1 4
∴VP?ABD ?VB?PAD ? S?APD?BD ? ?2?2? .
3 3 3
20．解(Ⅰ)由题意直线过定点? 5，0?，故椭圆的焦点为? 5，0?．
2 2 2
又由题意可知b=2，∴a=c+b=9．
2 2
∴椭圆C1的标准方程为 x y
? ?1．
9 4
(Ⅱ)点C(1, 0)在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两个不同的交点．
由题意得直线l垂直于轴时不合题意，设直线l的方程为x?my?1，
? x ?my?1 2 2
由? 2 2 ，消去x整理得?4m ?9?y ?8my?32?0．
?4x ?9y ?36
?8m ?32
设A(x1,y1), B(x2,y2)，则 y1? y2 ? 2 ， y1y2 ? 2
9?4m 9?4m
1 1 1
∴S?OAB ?S?AOC ?S?BOC ? ?1? y1 ? ?1? y2 ? y1? y2
2 2 2
2 2
1 2 12 2?m 12 2?m 12
? (y1? y2) ?4y1y2 ? 2 ? 2 ?
2 9?4m 4(2?m )?1 2 1
4 2?m ?
2
2?m
答案第2页，总4页
1
令 2
2?m ?t ? 2，y ?4t? 在[ 2,??)单调递增
t
1 1 9 12 4
?4t? ?4 2? ? 2，?S?AOB ? ? 2
t 2 2 9 3 当且仅当m=0时等号成立．
2
2
4
∴△OAB面积的最大值为 2．
3
21．解（I） e (x? e)(x? e)
F'(x)? x? ?
x x
令F'(x)?0得x? e，
所以F(x)在(0, e)上单调递减，( e,??)上单调递增，
所以F(x)
极小值 ? F( e)?0，F(x)无极大值．
e
（II）由F(x)
极小值 ?0，可知函数h(x)和 f(x)的图象在x? e处有公共点( e, ).
2
e
设函数h(x)和 f(x)存在“分界线”，方程为 y? ?k(x? e)，
2
e
应有h(x)?kx? ?k e在x?R时恒成立，
2
即 2
x ?2kx?e?2k e ?0在x?R时恒成立，
于是 2 2 2
? ?4k ?4(2k e ?e) ?4(k? e) ?0，得k ? e，
e
则“分界线”的方程为 y ? ex? 2
e e
记 e e? ex
G(x)? f(x)?( ex? )?elnx? ex? (x?0)，则G'(x)? ? e ?
2 2 x x
令G'(x)?0得0? x? e ，所以G(x)在(0, e)上单调递增，( e,??)上单调递减，
当x? e时，函数G(x)取得最大值0，
e
即 f(x)? ex? 在x?0时恒成立.
2
e
综上所述，函数h(x)和 f(x)存在“分界线”，方程为 y ? ex? 2
2 2
22．解（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是 2 ?1?sin ?，
?
即为 2 2 2 2 2 2
? ?? sin ??2，由x ??cos?， y ??sin?，x ? y ?? ，
答案第3页，总4页
2
可得 2 2 2 x 2
x ? y ? y ? 2，即 ? y ?1；
2
? 2
?x ?? t?1
?
（II）直线l的参数方程是 2
? (t 为参数）
? 2
y ?
? t
? 2
令y ?0，可得t ?0，x?1，即P(1,0)，
将直线 2 2
l的参数方程代入曲线C:x ?2y ?2，可得：
1 2 1 2
1? 2t? t ?2? t ?2，
2 2
即为 2 2
3t ?2 2t?2?0，解得t1 ? 2 ，t2 ?? ，
3
由参数t的几何意义可得，
1 1 1 1 1 3
? ? ? ? ? ? 2 2．
|PM | |PN | |t1| |t2| 2 2
23、解（Ⅰ）由 f ?x?? x知 2x?1 ? x,于是?x?2x?1? x,
1 ?1 ?
解得 ? x?1,故不等式 f ?x??2的解集为? ,1?.
3 ?3 ?
（II）由条件得g?x?? 2x?1? 2x?3 ? 2x?1??2x?3? ?2,
?1 3?
当且仅当x?? , 时等号成立,
? ? a?2,即m?n?2,
?2 2?
2 1 1 ? 2 1? 1? 2n m? 1
又 ? ? ?m?n?? ? ?? ?3? ? ?? ?3?2 2?,
m n 2 ?m n? 2? m n ? 2
2 1 1
所以 ? 的最小值为 ?3?2 2 ,此时 .
? m?4?2 2,n?2 2?2
m n 2
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