帮你归纳总结（三十一）：椭圆中求参数范围时建立不等式常用策略

帮你归纳总结（三十一）：椭圆中求参数范围时建立不等式常用策略
在椭圆中，求参变量的取值范围问题是一种较为常见的题型，这类问题综合性较强，它需要综合利用不等式、方程、函数等知识来求解，并且含参变量的不等关系也较为隐蔽，因此是同学们感到比较棘手的一类问题，本文介绍寻找和挖掘含参变不等式的几种策略，以供参考。
一、利用判别式建立不等式
直线与椭圆有交点，把直线的方程代入椭圆的方程，所得一元二次方程有解，则；
直线与椭圆无交点，把直线的方程代入椭圆的方程，所得一元二次方程无解，则；
这样可得到判别式与零的关系的不等式，利用它求参数的范围。
例1．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，求的取值范围。
解： 由已知条件，直线的方程为代入椭圆方程
消去得：．
整理得　　　①
又直线与椭圆有两个不同的交点和Q，即方程①有两个不等实根，，
，
解得或，
故的取值范围为。
二、利用点与椭圆的位置关系建立不等式
若点在椭圆上，则；
若点在椭圆内，则；
若点在椭圆外，则；
利用这一关系，可用参数把题中与椭圆有确定关系的点的坐标表示出来，再根据此点与椭圆中的位置关系，建立不等式。
例2．已知椭圆的一个顶点为，右焦点到直线
的距离等于3，直线与椭圆交于两点P、Q，且，求斜率的取值范围。
解：易得椭圆方程为 ①，设，
则点P、Q在圆 ②上，
由① ②得
设，PQ的中点为，
则 ，
又
两式相减得，即
， ，
故中点M的坐标为，又点M在椭圆内部，
，解得。
三、利用椭圆的范围建立不等式
在椭圆中：，因此可用所要求的参数把已知曲线上的点表示出来，再根据椭圆的范围列出不等式。
例3．设椭圆的左顶点为A，若椭圆上存在一点P，使 （O为原点），求椭圆离心率的取值范围。
解：设，，点P在以AO为直径的圆上，
圆的方程为，把其代入椭圆方程消去得；
解得或，
当时，P与A重合不满足题意，舍去，故点P的坐标为，
点P在椭圆上，，又
，
又，。
四、利用题设中已知的范围建立不等式
用所求参数将题设中的已知量表示出来，再根据已知量的范围建立不等式。
例4．已知椭圆两个焦点分别为和，斜率为的直线 过焦点且与椭圆交于A、B两点，设与轴交点为P，线段的中点为B。若，求椭圆C的离心率的取值范围。
解：设右焦点，则，
令，则，，
B为线段的中点，
点B在椭圆上，
，，整理得，
又，。
另外，在双曲线、抛物线中，求参变量的取值范围问题是一种较为常见的题型，求解此类问题，同样可以从这四个角度去分析问题，寻找解决问题的突破口，希望本文能起到抛砖引玉的作用。