帮你归纳总结（三十二）：三角函数中常见的分类讨论

帮你归纳总结（三十二）：三角函数中常见的分类讨论
一、角的范围不定引起的讨论
例1、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求 △ABC的三个内角．
解析：由已知，得
①2＋②2，得2cos2A＝1，得cosA＝±.
（1）当cosA＝时，cosB＝，
又A、B是三角形的内角， ∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝π.
（2）当cosA＝－时，cosB＝－.
又A、B是三角形的内角， ∴A＝π，B＝π，不符合题意．
综上，A＝，B＝，C＝π.
例1：已知，求的值。
解：，是第一或二象限角
当是第一象限角时，，；
当是第二象限角时，，；
是第一象限角时，；当是第二象限角时，。
评注：已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其它三角函数值，若给定具体数值，但未指定角所在象限，，就需对角所在象限进行讨论。
二、奇数偶数引起的讨论
例2：化简：。
解：当为偶数时，设，则
原式
；
当为奇数时，设，则
原式
。
评注：当三角函数式中的角含有时，不能直接应用诱导公式变形，需对分奇数、偶数进行讨论。
三、参数取值引起的讨论
例3：已知角的终边上的一点，求的值。
解：
当时，，角在第二象限，且，
当时，，角在第四象限，且，
评注：当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解
题的需要对参数进行讨论。
例4：已知函数的定义域为，值域为，求和
的值。
解：， ，
当时，有，解得；
当时，有， 解得；
评注：在求形如的函数的值域时，若题设中未给出A的正负，则需对注意对分、两种情况进行讨论。
例5：求当函数的最大值为时的值。
解：
设，则，
即求的最大值为时的值，
（1）当，即时，在区间 上单调递减，故时，有最大值，
则，解得（舍）；
（2）当，即时，，有最大值，
则，解得或（舍）；
（3）当，即时，在区间 上单调递增，故时，有最大值，
则，解得；
综上可得，或。
评注：这是三角函数与二次函数的综合问题，解此类题中时，若对称轴含有参
数或给定区间含有参数，则需对对称轴与给定区间的关系进行讨论。