帮你归纳总结(三十三):基本不等式的用法
均值不等式,则(当且仅当时取等号),应用十分广泛,那么如何利用这个不等式解决问题呢?
正用
正用, 即从左向右用,主要用来求最小值、证明不等式、比较大小。求最小值时,当是定值时,才有最小值(时取等号)。
例1:若,,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
解析:,,
, 即,,
又, ,,
,选B。
例2: 若实数满足,则的最小值是 ( )
(A)18 (B)6 (C) (D)
解析:,,又,
,选B。
例3:已知是互不相等的正实数,求证:。
证明: 是互不相等的正实数,
将上面三不等式相加,得
。
逆用
逆用,即从右向左用,主要用来求最大值、证明不等式。当是定值时,有最大值(时取等号)。
例4:已知,且,求的最大值。
解析:,
当且仅当,即时取等号,
, 即, ,
故当时,有最大值。
例5:,且,则( )
(A) (B) (C) (D)
解析:, ①, ,
②, 由①+②得,选C。
例6:若,且,求证:。
证明:
。
三、变用
在应用该不等式解决问题时,会常用到它的基本变形,常用的有:
(当且仅当时取等号);
(当且仅当且时取等号);
(当且仅当同号且时取等号);
(当且仅当时取等号);
例7:已知,,则的最小值 。
解析:,
当且仅当时等号成立。
例8:函数的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)1
解析:时,,
(时取等号),:时,,的最大值为,选B。
例9:已知,求的最小值。
解析:,
当且仅当且,即时取等号。
例10:设,求的最大值。
解析:
,
当且仅当,即时,有最大值。
无论是正用、逆用还是变用,都要注意该不等式成立的条件“一正”、“二定”、“三相等”,在创设这些条件时,合理的拆分项或配凑因式是常用的技巧,忽略了任何一个条件,就会导致解题失败。