帮你归纳总结（三十三）：基本不等式的用法

帮你归纳总结（三十三）：基本不等式的用法
均值不等式，则（当且仅当时取等号），应用十分广泛，那么如何利用这个不等式解决问题呢？
正用
正用, 即从左向右用，主要用来求最小值、证明不等式、比较大小。求最小值时，当是定值时，才有最小值（时取等号）。
例1：若，，，，则( )
（A） （B） （C） （D）
解析：，，
, 即，，
又， ，，
，选B。
例2： 若实数满足，则的最小值是 ( )
（A）18 （B）6 （C） （D）
解析：，，又，
，选B。
例3：已知是互不相等的正实数，求证：。
证明： 是互不相等的正实数，
将上面三不等式相加，得
。
逆用
逆用，即从右向左用，主要用来求最大值、证明不等式。当是定值时，有最大值（时取等号）。
例4：已知，且，求的最大值。
解析：，
当且仅当，即时取等号，
， 即， ，
故当时，有最大值。
例5：,且，则（ ）
（A） （B） (C) （D）
解析：， ①， ，
②， 由①+②得，选C。
例6：若，且，求证：。
证明：
。
三、变用
在应用该不等式解决问题时，会常用到它的基本变形，常用的有：
（当且仅当时取等号）；
（当且仅当且时取等号）；
（当且仅当同号且时取等号）；
（当且仅当时取等号）；
例7：已知，，则的最小值 。
解析：，
当且仅当时等号成立。
例8：函数的最大值为（ ）
(A) (B) (C) (D)1
解析：时，，
（时取等号），：时，，的最大值为，选B。
例9：已知，求的最小值。
解析：，
当且仅当且，即时取等号。
例10：设，求的最大值。
解析：
，
当且仅当，即时，有最大值。
无论是正用、逆用还是变用，都要注意该不等式成立的条件“一正”、“二定”、“三相等”，在创设这些条件时，合理的拆分项或配凑因式是常用的技巧，忽略了任何一个条件，就会导致解题失败。