帮你归纳总结（三十四）：立体几何中的折叠问题

帮你归纳总结（三十四）：立体几何中的折叠问题
对于折叠性问题，应确定图形在折叠前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；然后建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．
例1、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB=2, BC=1. 。如2，沿梯形的高 AE将其折成直二面角，使点D至点S的位置。
（1）求AE与SB所成角的余弦值；（2）求二面角A-SB-E的余弦值。
解：（1）有题设，为直二面角S-AE-C的平面角，于是EA、EC、ES两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，其中，
所以，AE与SB所成角的余弦值为。
（2）设为，面SBE的法向量，则，且
设为面SAB的法向量，则，且
因为二面角A-SB-E为锐角，所以其余弦值为。
例2、在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（3）求二面角B－A1P－F的余弦值.
解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .
(1)在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形，
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．
(2)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),
则,．
设平面ABP的法向量为，
由平面ABP知，，即
令，得，．
,
, 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600．
(2) ，设平面AFP的法向量为．
由平面AFP知，，即
令，得，．
,
所以二面角B-A1P-F的余弦值是．
针对性练习：
如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，
使∠BDC．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
（Ⅱ）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点， 以，，所在直线为轴建立如图
所示的空间直角坐标系，易得：
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，
所以，，
∴
所以与夹角的余弦值是．