江苏省淮安市2012届高三第四次调研测试数学试题

数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合，，则= ▲ ．
2．设复数z=a+b(a，b∈R)，且满足z=1+（其中为虚数单位），则a+b＝ ▲ ．
3．已知两条直线：，：，若
∥，则实数= ▲ ．
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的 ▲ ．
5．若函数图像上第一象限有一点A到轴的
距离为1，与轴的交点为B，则 ▲ ．
6．已知实数满足则的取值范围
是 ▲ ．
7．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1、a4、a16成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为 ▲ ．
8．已知整数满足，则使函数的周期不小于的概率是 ▲ ．
9．设a、b为空间的两条直线，α、β为空间的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．
10．已知平行四边形的顶点坐标依次为,,，，若动点M与点、点连线的斜率之积为，则 ▲ ．
11．已知△中，角所对边分别为，若．则的最小值为 ▲ ．
12．已知曲线存在垂直于轴的切线，函数在上单调递增，则的范围为 ▲ ．
13．已知，对任意正数，始终可以是一个三角形的三条边，则实数m的取值范围为 ▲ ．
14．已知正数满足，，则的最小值为 ▲ ．
二、解答题： 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．
15． (本小题满分14分)
如图，O为坐标原点，点A，B在⊙O上，且点A在第一象限，点，点C为⊙O与轴正半轴的交点，设∠COB＝θ．
(1) 求sin2θ的值；
(2) 若，求点A的横坐标xA．
16． (本小题满分14分)
如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，求证：
(1) AE∥平面BDF；
(2) 平面BDF⊥平面BCE．
17． (本小题满分14分)
某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出元；③电力与机器保养等费用为元.其中是该厂生产这种产品的总件数。
（1）把每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为（元），且，试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润。（总利润=总销售额-总的成本）
18． (本小题满分16分)
如图，椭圆(a>b>0)的上、下两个顶点为A、B，直线l：，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为，BP所在的直线的斜率为．若椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的值；
（2）求MN的最小值；
（3）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，
若过定点，求出该定点，如不过定点，请说明理由．
19． (本小题满分16分)
已知函数
(1) 若时，恒成立，求的取值范围；
(2) 若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围．
20． (本小题满分16分)
已知数列，，且满足（）.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且.记，求证：数列为常数列；
（3）若，且.若数列中必有某数重复出现无数次，求首项应满足的条件.
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项：
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题），请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题纸指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A． 选修4 1：几何证明选讲
如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D、E，求线段AE的长．
B． 选修4 2：矩阵与变换
已经矩阵M＝．
(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2)求M的特征值与特征向量．
C． 选修4 4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点O(0,0)， B．
（1）求以为直径的圆的直角坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，判断直线与圆的位置关系．
D． 选修4 5：不等式选讲
已知x、y、z均为正数．求证：＋＋≥＋＋．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在三棱锥S—ABC中,底面是边长为2的正三角形，点S在
底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45°角．
(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BD⊥AC；
(2) 求二面角S—AC—B的余弦值大小．
23．（本题满分10分）
已知，．
（1）若，求的展开式中的系数；
（2）证明： ,() ．
淮安市2011—2012学年度高三年级第三次调研测试
数学试题参考答案与评分标准 2012年５月
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题
1．． 2．0． 3．2 4．2550． 5． ． 6．． 7．８． 8．． 9．④．
10．4． 11．1． 12．． 13．． 14．．
二、解答题
15． (1) 因点C在轴正半轴上，点，∠，
所以由三角函数定义知cosθ＝－，sinθ＝，………3分
所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－．………………………6分
(2) 因为，又 ，
所以，由题意可知∠BOA＝45°，…………………………………………9分
又∠，所以，
而＝．…………………………………………12分
故点A的横坐标． ……………………………14分
16． 证明：(1) 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，
因为 F是EC中点，所以 在△ACE中，FG∥AE．………2分
因为 AE 平面BDF，FG 平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． ………………………………………6分
(2) 因为 平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE．………8分
因为 AE 平面ABE，所以 BC⊥AE．…………………………………………………………10分
又AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，
所以FG⊥平面BCE，……………………………………………………………………………12分
因为 FG 平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE．………………………………………………14分
17．（1）， …………………3分
由基本不等式得： ……………………………………………5分
当且仅当，即时等号成立，
所以，，每件产品的最低成本费为220元。…………………6分
（2）设总利润元，则
……………………………………9分
所以
= ………………………11分
当时，，当时，，
所以在[1,100]上是增函数，在[100,170]上是减函数， ………………………………12分
所以当时，函数取得最大值，
所以生产100件产品时，总利润最高，且最高利润为元。………………………14分
18．（1）因为，，解得，
所以椭圆的标准方程为．……………2分
设椭圆上点，有，
所以．…………4分
（2）因为在直线l：上，所以设，，由方程知，，
所以，……………………………………………………6分
又由（1）知，所以，…………………………………………8分
不妨设，则，则，
所以当且仅当时，取得最小值．…………………………………………10分
（3）设，，
则以为直径的圆的方程为……………………………………12分
即，圆过定点，必与无关，
所以有，解得定点坐标为，
所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点．………………………16分
19． (1) 因为时，，所以令，则有，
当时恒成立，转化为，即在上恒成立，………2分
令p (t)＝t－，，则，所以p (t)＝t－在上单调递增，
所以，所以，解得． ……………………………………6分
(2) 当时，，即，
当时，即，；
当时，即，．……………………………………………9分
当时，，令，，则，
当时，即，；
当时，即，，此时无最小值；……………………12分
所以，当时，即，函数；
当时， ，函数无最小值；
当时， ，函数无最小值．…………………………15分
综上所述，当时，函数有最小值为；当时，函数无最小值．
所以函数在实数集上有最小值时，实数的取值范围为．……………16分
20．（1）当时，有
……………………1分
，也满足上式，
所以数列的通项为. ………………………………………………………3分
（2）因为，
所以对任意的有，
所以数列是一个以6为周期的循环数列……………………………………………………5分
又因为，所以
所以
，
所以数列为常数列. ……………………………………………………………………7分
（3）因为，且，所以，
且对任意的，有，
设，（其中为常数且），所以
，
所以数列均为以7为公差的等差数列.……………………………………………10分
记，则，
（其中，为中的一个常数），
当时，对任意的有；…………………………………………12分
当时，
①若，则对任意的有，数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，数列为单调增数列；
综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次……………14分
当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
当时，符合要求，此时的；
即当时，数列中必有某数重复出现无数次.………………………16分
数学Ⅱ 附加题部分
21A．在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，
因为l为过C的切线，所以∠DCA＝∠CBA，
所以∠DCA＝∠ABC＝60°．………………………………5分
又因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°．
在△AOE中，因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，
所以AE＝AO＝AB＝2．…………………………………10分
B．(1)因为M＝． 设直线上任意一点在 作用下对应点，则 ＝ ，………………………………………………………………２分
即，所以，代入，得，即，
所以所求曲线的方程为．……………………………………………………………4分
(2)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，
所以M的特征值为λ1＝4，λ2＝5． …………………………………………………………6分
当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；
当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝．…………………………………………10分
C．（1）设P(ρ，θ)是所求圆上的任意一点，因为为直径，所以，
则OP＝OBcos，即ρ＝2cos，………………………………………………３分
亦即，
故所求的圆的直角坐标方程为．……………………………………5分
注：也可现将化为直角坐标后直接求圆方程．
（2）圆的圆心的坐标为，半径为，直线的直角坐标方程为，……７分
因为圆心到直线距离为，所以直线与圆相切。………………………10分
D．因为x、y、z都是正数，所以＋＝≥．……………………………………3分
同理可得＋≥，＋≥．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋．……………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系．因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以∠，所以．
所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－,0,0)．……………………………………2分
（1）设AD=a，则D(0,3－a,a)，所以=(－,3－a,a)，
=(,－3,0)．若BD⊥AC，则·=3－3(3－a)=0，
解得a=2，而AS=3，所以SD=，
所以．………………………5分
(2)因为=(0,－3,3)，=(2,0,0)
设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),
则
令z=1，则x=，y=1，所以n1=(,1,1)………………………………………………………7分
而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), ………………………………………………………………8分
所以cos=，又显然所求二面角的平面角为锐角，
故所求二面角的余弦值的大小为.……………………………………………………………10分
23．（1）由已知得
的展开式中的系数为=76 …………………………………3分
（2）由（1）知应当为函数
展开式中的系数………5分
又 两式相减得
…………………………………………………7分
所以
所以展开式中的系数等于展开式中的系数 ……………………………9分
因为此系数为
所以,()………………10分
第16题
第21（A）题
A
B
O
C
D
S
x
y
z