(共16张PPT)
21.2
二次函数的图像和性质
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
知识回顾
情境导入
获取新知
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
解：(1)
列表
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)
描点
(3)
连线
你还记得用描点法画函数图像的一般步骤?
描点法
列
表
描
点
连
线
连线时应注意什么问题？
y
=
x2
用描点法画二次函数
y=x?
的图象
二次函数
y
=
x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线
y
=
x2
.
一般地，二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c（a≠0）的图象叫做抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
实际上,
二次函数的图象都是抛物线，
y
=
x2
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
二次函数
y
=
x2的图象是轴对称图形，对称轴是
y
轴
y
=
x2
抛物线
y
=
x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线
y
=
x2的顶点
它是抛物线
y
=
x2的最低点．
从左到右：下降
y随x：增大而减小
从左到右：上升
y随x：增大而增大
观察
例题讲解
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=
x2
解：(1)
列表
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
例2
在同一直角坐标系中画出函数
y=
x2
和
y=2x2的图象
x
y=2x2
8
…
…
…
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
y=ax2
(a≠0)
a>0
a<0
图
象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0
,0)
(0
,0)
y轴
y轴
当x<0时，y随着x的增大而减小。
当x<0时,y随着x的增大而增大。
x=0时,
y最小=0
x=0时,
y最大=0
抛物线y=ax2
(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,
当x>0时，y随着x的增大而增大。
当x>0时，y随着x的增大而减小。
抛物线的开口就越小.
|a|越小,
抛物线的开口就越大。
概括
做一做
画出函数y=-2x2的图象.
x
…
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
…
y=-2x2
…
…
-8
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-8
探究
画出函数
的图象．
(1)
列表
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=-x2
y=- x2
y=-2x2
1
2
…
…
…
…
…
…
-4
-2.25
-1
-0.25
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-2
-2
-1.125
-0.5
-0.125
0
-0.125
-0.5
-1.125
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-8
(2)
描点
(3)
连线
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
相同点：开口：向上，
顶点：原点（0,0）——最高点
对称轴：
y
轴
增减性：y
轴左侧，y随x增大而增大
y
轴右侧，y随x增大而减小
不同点：a
值越小，抛物线的开口越小．
函数
y
=
x2（蓝线）,
y
=
-2x2（红线）的图象与函数
y
=-x2
（黑色虚线）的图象相比，有什么共同点和不同点？
y
=
-2x2
y
=-
x2
2
▁
1
y
=
-x2
一般地,二次函数y=
ax2的图象都是抛物线,因此,二次函数y=
ax2的图象可以简称为抛物线y=
ax2.
1、函数
y=4x2的图象的开口
,对称轴是
,顶点是
;
2、函数y=-3x2的图象的开口
,对称轴是
,顶点是
。
向上
向下
y轴
(0,0)
(0,0)
y轴
随堂演练
3、抛物线
y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
，
在
侧，y随着x的增大而增大；
在
侧，y随着x的增大而减小，当x=
时，函数
y的值最小，最小值是
,抛物线
y=2x2在
x轴的
方（除顶点外）。
4、抛物线
在x轴的
方（除顶点外），
当
x
<
0
时，y随着x的
；
当
x
>0
时，y随着x的
，
当
x=0
时，函数
y的值最大，最大值是
.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
课堂小结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性(共18张PPT)
21.2.2 第1课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
情境导入
这个函数的图象是如何画出来的？
试研究二次函数
的图像
分析
将函数关系式配方，得
我们设法寻求它与函数
的联系
你会怎么做呢？
获取新知
获取新知
问题1
在同一平面直角坐标系中,怎样画出函数y
=
2x2
、
y
=
2x+1和y
=
2x2-1的图象?
8
8
9
9
7
1
-1
1
7
例题讲解
解：先列表：
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
例1
在同一直角坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
描点、连线，画出这两个函数的图象
想一想
抛物线
，
的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
想一想：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图像上，相应的两个点之间的位置有什么关系？
做一做
函数
可由函数
向上平移一个单位长度得到.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
函数
的图像可以看成是将函数
向上平移一个单位长度得到的.
这两个函数图像的开口方向相同，对称轴相同，但顶点坐标不同.函数
的图像顶点坐标是（0,1）
当自变量x取同一数值时，函数
的值都比函数
的值大1.反映在图像上，函数
的图像上的每一点都在函数
的图像上相应点的上方一个单位.
据此，可以由函数
的性质，得到函数
的一些性质：
当
x
<
0
时，y随着x的
；
当
x
>0
时，y随着x的
，
当
x=0
时，函数
y的值最大，最大值是
.
增大而增大
增大而减小
y=0
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,-2）
y轴
y轴
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
(0,k)
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧(x<0)递减
在对称轴右侧(x>0)递增
在对称轴左侧(x<0)递增
在对称轴右侧(x0)递减
二次函数
y=ax2+k（a
≠
0）的性质
二次函数y=ax2+c的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当c
>
0
时,向上平移
c
个单位长度得到.
当c
<
0
时,向下平移
–c
个单位长度得到.
二次函数y=ax2
与y=ax2+c（a
≠
0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
随堂演练
1.（1）抛物线
y=?2x2+3的顶点坐标是
,对称轴是
，在
侧，y随着x的增大而增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当
x=
时，函数y的值最大，最大值是
,它是由抛物线
y=
?2x2向
平移
个单位长度得到.
(0,3)
y轴的左
y轴的右
0
3
上
3
y轴
（2）抛物线
y=x?-5的顶点坐标是
，对称轴是
,在对称轴的左侧，y随着x的
；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=____时，函数y的值最___，最小值是
.
y轴
(0,-5)
增大而增大
增大而减小
0
小
-5
2.写出一个顶点坐标为(0，-3)，开口方向与抛物线
y=x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式。
分析：由题意可知二次函数的
a=-1，并且根据顶点坐标(0,-3)，可知形式为
y=ax2+k
的形式，且
k=-3，
所以符合条件的抛物线为
y=-x2-3
课堂小结
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.(共14张PPT)
21.2.2
第2课时
二次函数
y=a(x-h)2的图象与性质
a,c的符号
a>0,c>0
a>0,c<0
a<0,c>0
a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1
说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
知识回顾
问题2
二次函数
y=ax2+k(a≠0)与
y=ax2(a
≠0)
的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a
≠
0)的图象可以由y=ax2(a
≠
0)的图象平移得到：
当k
>
0
时，向上平移c个单位长度得到.
当k
<
0
时，向下平移-c个单位长度得到.
问题3
函数
的图象，能否也可以由函数
平移得到？
获取新知
解：先列表：
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y＝x2、
y＝(x－1)2和y＝(x＋1)2的图象？
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
y＝(x－1)2
…
…
y＝(x+1)2
…
…
获取新知
问题1
例1
下列命题中，错误的是( )
A．抛物线y＝
x2－1不与x轴相交
B．抛物线y＝
x2－1与y＝
(x－1)2形状相
同，位置不同
C．抛物线y＝
的顶点坐标为
D．抛物线y＝
的对称轴是直线x＝
D
例题讲解
抛物线y＝
x2－1的开口向下，顶点在
y轴的负半
轴上，所以不与
x
轴相交；函数y＝
x2－1与y＝
(x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同．
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不
同；抛物线y＝
的顶点坐标为
；抛物
线y＝
的对称轴是直线x＝
所以应选D.
解析：
1
2
3
4
5
x
1
2
3
-4
-1
-2
-3
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
思考
这两个函数图像之间有什么关系？
性质
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向下
向下
（0,0）
（-2,0）
y轴
x=-2
二次函数y=ax2
与y=a（x-h）2的图象的关系
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
可以看作互相平移得到.
y=a(x-h)2
当向左平移
︱h︱
时
y=a(x+h)2
当向右平移
︱h︱
时
y=ax2
y＝a(x-h)2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线
x＝h
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧(x在对称轴右侧(x>h)递增
在对称轴左侧(x在对称轴右侧(x>h)递减
h>0
h<0
h<0
h>0
(h,0)
二次函数
y=a(x-h)?
的性质
顶点(0,0)
顶点(2,0)
直线
x=-2
直线
x=2
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(-2,0)
对称轴:y轴
即直线:
x=0
1.在同一坐标系中作出下列二次函数:
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.
向右平移
2个单位
向右平移2个单位
向左平移2个单位
向左平移2个单位
随堂演练
2.将二次函数
y=2x2的图象向左平移1个单位,则
平移后图象的函数关系式为
.
3.抛物线y=x2-4x+4的顶点坐标为
(
)
A.(-4,4)
B.(-2,0)
C.(2,0)
D.(-4,0)
C
y=2(x+1)2
课堂小结
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象
特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
(h,0)
性质
a>0,xx>h，y随x的增大而增大
a<0,xx>h，y随x的增大而减小(共16张PPT)
21.2.2
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识回顾
y＝ax2
k＞0
上移
y＝ax2＋k
y＝ax2
y＝a(x－h)2
k＜0
下移
顶点(0,k)在对称轴y轴上
左加
右减
顶点(h,0)在对称轴x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
画出二次函数
的图象，函数有什么性质？
获取新知
解：先列表：
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
开口方向
对称轴是
顶点坐标是
向下
x=2
（2，-1）
描点、连线，画出这两个函数的图象
二次函数
y=a(x-h)2+k（a
≠
0）的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
（h,k）
最值
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
顶点式
不同
向上
向下
x=h
（h，k）
h、k
相同
平移方法1
向右平移
2个单位
向上平移
1个单位
想一想
它们之间有什么关系吗？
向上平移
1个单位
向右平移
2个单位
平移方法2
向右平移
2个单位
向上平移
1个单位
向上平移
1个单位
向右平移
2个单位
平移方法1
平移方法2
二次函数y=ax2
与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
做一做
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
开口方向
对称轴是
顶点坐标是
向下
x=1
（1，-2）
随堂演练
1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
开口向上
对称轴是x=-3
顶点是（-3，5）
开口向下
对称轴是x=1
顶点是（1，-2）
开口向上
对称轴是x=3
顶点是（3，7）
开口向下
对称轴是x=-2
顶点是（-2，-6）
2.抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线
y=x2平移得到,则下列平
移过程正确的是
(
)
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
B
课堂小结
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：
括号内左加右减；
上下平移：
括号外上加下减.(共18张PPT)
21.2.2
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
复习导入
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h
,k)
(h
,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
获取新知
试一试
画出函数
y=-2x2-8x-7
的图象
y=-2x2-8x-7
=-2(x2+4x)-7
=-2(x2+4x+4)-7+8
=-2(x2+2)2+1
1.配方
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
2.列表
3.作图
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x<
时，y随x的增大而减小；当x>
时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<
时，y随x的增大而增大；当x>
时，y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
观察两个函数的图像，说出函数的最大值（最小值），有哪些性质？
归纳总结
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的符号之间的关系:
字母的符号
图象的特征
b
b=0
对称轴为y轴
a,b同号
对称轴在y轴左侧
a,b异号
对称轴在y轴右侧
c
c=0
过原点
c>0
与y轴的正半轴相交
c<0
与y轴的负半轴相交
1.把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
y＝2x2－5x＋3.
解法一：用配方法：
(将含x的项结合在一起，提取
二次项系数)
(按完全
平方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
随堂演练
2.在同一平面直角坐标系内,将函数y=x2+4x-1的图象先
向右平移3个单位,再向下平移1个单位,得到的图象的顶
点坐标是
( )
A.(-2,-5)
B.(1,-4)
C.(1,-6)
D.(-2,-2)
C
3.二次函数y=x2+2x-3的图象的开口方向、顶点坐标
分别是( )
A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4)
B.开口向下,顶点坐标为(1,4)
C.开口向上,顶点坐标为(1,4)
D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4)
A
课堂小结
知识点一 把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式
知识点二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c
图象
a>0
a<0
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
?
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标
对称轴
直线x＝
直线x＝
续表：
增减性
当x＜
时，y随x的增大而减小；
当x＞
时，y随x的增大而增大
当x＜
时，y随x的增大而增大；
当x＞
时，y随x的增大而减小
最值
当x＝
时，y有最小值，为
当x＝
时，y有最大值，
为
