(共26张PPT)
1.2.3
矩形的性质与判定的应用
北师大版
九年级上册
新知导入
矩形的相关知识有哪些？
它的定义是什么？
你能从练习本上画一个矩形吗？
新知导入
矩形的相关知识有哪些？
你能说说矩形有什么性质吗？
性质
两组对边分别平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
轴对称图形
新知导入
矩形的相关知识有哪些？
怎样判定一个四边形是不是矩形呢？
判定
有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
新知讲解
根据矩形的性质求线段的长
例3
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
∟
思考：线段AE和哪条线段有关系？
这里用到了直角三角形的哪个性质？
新知讲解
根据矩形的性质求线段的长
例3
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
∟
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，
∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
1：3
等边三角形
∠BAE
等边三角形
∠ADE
新知讲解
试着自己在练习本上写一写过程！
∟
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD,
AO=CO=
AC，BO=DO=
BD.
∴AO=BO=DO=
BD
∵ED=3BE，∴BE=OE.
又∵AE⊥OE，∴AB=AO.
新知讲解
试着自己在练习本上写一写过程！
∟
∴AB=AO=BO，△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°
∴AE=
AD=
×6=3
新知讲解
矩形的判定
例4
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形.
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，再结合已知条件和图形可以得到∠DAE=90°，最后根据矩形的判定定理证明。
∟
新知讲解
∟
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD=
∠BAC，∠CAN=
∠CAM.
∴∠DAE=
∠CAD+∠CAN
=
（∠BAC+∠CAM）
=
×180°
=90°
新知讲解
∟
在△ABC中，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形.（有三个角是直角的四边形是矩形）
新知讲解
想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；
（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论.
新知讲解
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；
新知讲解
想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图
（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论.
解：DF∥AB，DF=
AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=
AB
课堂练习
1.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
课堂练习
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，
∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.
∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中，
∠FAN＝∠ECM，
AN＝CM，
∠ANF＝∠CME
∴△ANF≌△CME(ASA)．
∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.
课堂练习
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8.
设CE＝x，则EM＝BE＝8－x，CM＝10－6＝4.
在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.
∴四边形AECF的面积为CE·AB＝5×6＝30.
课堂练习
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∴四边形ABCD是矩形．
课堂练习
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.
∴∠ODC＝∠DCO＝54°.
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
中考链接
3.【2020·鄂州】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OA，OC的中点，连接BM，DN，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE.
(1)求证：△AMB≌△CND；
证明：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝CO.
又∵点M，N分别为OA，OC的中点，∴AM＝CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAM＝∠DCN.
∴△AMB≌△CND(SAS)．
中考链接
(2)若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
解：∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN.
又∵BM＝EM，∴DN＝EM.∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO.∴∠MBO＝∠NDO.
∴ME∥DN.
∴四边形DEMN是平行四边形．
∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB.又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO.
∴∠AMB＝∠EMN＝90°.
∴四边形DEMN是矩形．
∵AB＝5，DN＝BM＝EM＝4，∴AM＝3＝MO.
∴MN＝6.
∴矩形DEMN的面积为6×4＝24.
课堂总结
本节课你学到了什么？
矩形的判定方法分两类：
从四边形来判定和从平行四边形来判定.
常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理，遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法。
板书设计
课题：1.2.3
矩形的性质与判定的应用
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、复习
二、根据矩形的性质求线段的长
三、根据矩形的性质求面积
作业布置
课本
P19
练习题
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北师版九年级上册数学1.2.3
矩形的性质与判定的应用教学设计
课题
1.2.3
矩形的性质与判定的应用
单元
一单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论;提高实际动手操作能力；2.经历探索、猜测、证明的过程,发展学生的推理论证能力,培养学生找到解题思路的能力,使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3.通过学生独立完成证明的过程,让学生体会数学是严谨的科学,增强学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯。
重点
矩形的性质与判定定理的综合运用.
难点
解题思路的分析,独立完成证明书写过程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师课件出示问题：矩形的相关知识有哪些？师提问：它的定义是什么？你能从练习本上画一个矩形吗？你能说说矩形有什么性质吗？________________________________________________________________________怎样判定一个四边形是不是矩形呢？________________________________________________________________________
学生思考回答问题。
通过复习矩形的性质和判定,为本节课的学习进行热身。
讲授新课
根据矩形的性质求线段的长例3
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
师：思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD,AO=CO=AC，BO=DO=BD.∴AO=BO=DO=BD∵ED=3BE，∴BE=OE.∵AE⊥OE，∴AB=AO.∴AB=AO=BO，△ABO是等边三角形.∴∠ABO=60°，∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°∴AE=AD=×6=3例4
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形.
师：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，再结合已知条件和图形可以得到∠DAE=90°，最后根据矩形的判定定理证明。教师根据学生解题情况课件出示解题过程。师：想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论.
教师出示解题过程：解：（1）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：∵四边形ADCE为矩形，∴AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：∵四边形ADCE为矩形，∴AF=CF，∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF=
AB
学生自主探究,运用所学知识试着进行推理,写出求解过程.然后自主到黑板上板演,尽可能多的同学进行展示,师巡视生的自学,收集不同的解法,不同思路,适时给学生答疑解惑或提出建设性建议,最后小组内的同学互评,得出规范解法.小组内的同学合作探究,讨论题目的分析及书写过程,然后小组派代表在黑板上板演。学生自主探究,运用所学知识试着进行推理,写出求解过程.
这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻的认知,同时通过教师引导和独立思考,培养遇到题目时冷静思考,找到解题思路的良好习惯。在分析思路时,逐步锻炼学生的推理论证能力,通过小组合作,在合作中让学生相互帮助共同进步。本题的综合性比较强,对于不同层次的学生,本题的考虑方法也会有区别,教师鼓励学生大胆尝试,用自己的方法去试着解决,然后搜集各种不同的解法,让学生讨论对比评价,拓宽学生的知识面,以取到举一反三的作用.
课堂练习
1.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.在△ANF和△CME中，
∠FAN＝∠ECM，
AN＝CM，
∠ANF＝∠CME∴△ANF≌△CME(ASA)．∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形（2）解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8.设CE＝x，则EM＝BE＝8－x，CM＝10－6＝4.在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.∴四边形AECF的面积为CE·AB＝5×6＝30.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.3.【2020·鄂州】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OA，OC的中点，连接BM，DN，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE.(1)求证：△AMB≌△CND；(2)若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积。（1）证明：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝CO.又∵点M，N分别为OA，OC的中点，∴AM＝CN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠BAM＝∠DCN.
∴△AMB≌△CND(SAS)．（2）解：∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN.又∵BM＝EM，∴DN＝EM.∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.∴∠MBO＝∠NDO.
∴ME∥DN.∴四边形DEMN是平行四边形．∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB.又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO.∴∠AMB＝∠EMN＝90°.
∴四边形DEMN是矩形．∵AB＝5，DN＝BM＝EM＝4，∴AM＝3＝MO.∴MN＝6.
∴矩形DEMN的面积为6×4＝24.
学生通过练习互相交流矩形的性质与判定定理,何时该选用性质定理,何时选择判定定理,矩形与平行四边形的关系,遇到矩形实际题目时如何分析思路,以及遇到困难时如何克服等。
鼓励学生结合前面的证明畅所欲言自己的感受和收获,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力,并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识.
课堂小结
本节课你学到了什么？矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定。常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理，遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法。
板书
课题：1.2.3
矩形的性质与判定的应用一、复习二、根据矩形的性质求线段的长三、根据矩形的性质求面积
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精品试卷·第
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