11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.3三角形的稳定性
课前预习
1.如图1，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线作垂线，垂足为D，所得线段
是△ABC的边BC上的高，则∠ADB=ADC=
.△ABC有
条高.?
2.如图2，连接△ABC的顶点C和它所对的边AB的中点E，所得的线段
叫做△ABC的边AB上的中线，则AE=
=
.三角形三条中线的交点叫做三角形的
.
3.如图3，画∠B的平分线BF，交∠B所对的边AC于点F，所得的线段BF叫做△ABC的____
____，则∠ABF=__
____=____
_____.
4.三角形的三条边长确定后，三角形的形状就唯一确定，这就是三角形的
.四边形具有不稳定性.
课堂练习
知识点1
三角形的高
?
1.(2020
昆明名校期中)下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(
)
2.(2020
个旧月考)如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D，E，F，△ABC中AC边上的高是(
)
?
A.CF
B.BE
C.AD
D.CD
知识点2
三角形的中线
?
3.如图，BD=DE=EC，则线段AE是
的中线.?
4.BD是△ABC的中线，若AB=5
cm，BC=3
cm，则△ABD和△BCD的周长之差是(
)
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.5
cm
5.AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=4，AC=6，则BD的取值范围是(
)
?
A.BD＞1
B.BD＜5?
C.1＜BD＜5
D.2＜BD＜10?
知识点3
三角形的角平分线
?
6.如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是(
)
?
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
7.如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：∠B=∠C.?
知识点4
三角形的稳定性
?
8.(2019红河期末)为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的原理是(
)
?
A.两点之间，线段最短
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.两边的和大于第三边
课时作业
练基础
1.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的(
)
?
A.角平分线
B.高
C.中线
D.以上都可以
2.如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=∠CAD，下列说法正确的是(
)
?
A.直线AD是△ABC的边BC上的高
B.线段BD是△ABD的边AD上的高
C.射线AC是△ABD的角平分线
D.△ABC与△ACD的面积相等
3.【核心素养·批判质疑】如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E.F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有(
)
?
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高.?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.下列运用了三角形的稳定性的有(
)
?
①自行车的三角形车架；
②校门口的自动伸缩栅栏门；
③照相机的三脚架；
④长方形门框的斜拉条.?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8
cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2
cm，则AC=
cm.?
6.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是
.
7.如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添
根木条.?
8.如图，已知△ABC的周长为24
cm，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=5
cm，△ABD的周长是18
cm，求AC的长.?
9.如图，在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线.求证：3AB>2BD.?
提能力
10.如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.?
11.下列说法正确的个数有(
)
?
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.【核心素养·勇于探究】如图，在Rt△ABC中，AB⊥CB，点D沿BC方向，从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD的延长线于点F.在点D的运动过程中，判断BE+CF如何变化，并说明理由.?11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.3三角形的稳定性
课前预习
1.如图1，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线作垂线，垂足为D，所得线段
AD
是△ABC的边BC上的高，则∠ADB=ADC=
90°
.△ABC有
三
条高.?
2.如图2，连接△ABC的顶点C和它所对的边AB的中点E，所得的线段
CE
叫做△ABC的边AB上的中线，则AE=
BE
=
AB
.三角形三条中线的交点叫做三角形的
重心
.
3.如图3，画∠B的平分线BF，交∠B所对的边AC于点F，所得的线段BF叫做△ABC的____角平分线____，则∠ABF=___∠CBF____=____∠ABC_____.
4.三角形的三条边长确定后，三角形的形状就唯一确定，这就是三角形的
稳定性
.四边形具有不稳定性.
课堂练习
知识点1
三角形的高
?
1.(2020
昆明名校期中)下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(
D
)
2.(2020
个旧月考)如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D，E，F，△ABC中AC边上的高是(
B
)
?
A.CF
B.BE
C.AD
D.CD
知识点2
三角形的中线
?
3.如图，BD=DE=EC，则线段AE是
△ADC
的中线.?
4.BD是△ABC的中线，若AB=5
cm，BC=3
cm，则△ABD和△BCD的周长之差是(
B
)
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.5
cm
5.AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=4，AC=6，则BD的取值范围是(
C
)
?
A.BD＞1
B.BD＜5?
C.1＜BD＜5
D.2＜BD＜10?
知识点3
三角形的角平分线
?
6.如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是(
D
)
?
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
7.如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：∠B=∠C.?
证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2.?
∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.?
∴∠B=∠C.
知识点4
三角形的稳定性
?
8.(2019红河期末)为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的原理是(
C
)
?
A.两点之间，线段最短
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.两边的和大于第三边
课时作业
练基础
1.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的(
C
)
?
A.角平分线
B.高
C.中线
D.以上都可以
2.如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=∠CAD，下列说法正确的是(
B
)
?
A.直线AD是△ABC的边BC上的高
B.线段BD是△ABD的边AD上的高
C.射线AC是△ABD的角平分线
D.△ABC与△ACD的面积相等
3.【核心素养·批判质疑】如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E.F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有(
B
)
?
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高.?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.下列运用了三角形的稳定性的有(
C
)
?
①自行车的三角形车架；
②校门口的自动伸缩栅栏门；
③照相机的三脚架；
④长方形门框的斜拉条.?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8
cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2
cm，则AC=
10
cm.?
6.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是.
7.如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添
3
根木条.?
8.如图，已知△ABC的周长为24
cm，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=5
cm，△ABD的周长是18
cm，求AC的长.?
解：∵AD=AB，AD=5
cm，
∴AB=8
cm.?
又∵△ABD的周长是18
cm，
∴BD=5
cm.?
又∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=10(cm).?
又∵△ABC的周长为24
cm，
∴AC=24-8-10=6(cm).?
?
9.如图，在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线.求证：3AB>2BD.?
证明：∵AB+AD>BD(三角形两边之和大于第三边),?
∴2AB+2AD>2BD(不等式的性质).?
∵BD为AC边上的中线，中线的性质).?
又∵AB=AC,?
∴AB=2AD(等量代换).?
∴3AB>2BD(等量代换).
10.如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.?
解：DO是∠EDF的角平分线.?
理由如下：∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.?
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.?
∴∠EDA＝∠FDA.?
∴DO是∠EDF的角平分线.
?
提能力
11.下列说法正确的个数有(
A
)
?
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.?
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.【核心素养·勇于探究】如图，在Rt△ABC中，AB⊥CB，点D沿BC方向，从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD的延长线于点F.在点D的运动过程中，判断BE+CF如何变化，并说明理由.?
解：BE+CF逐渐变小.?
理由如下：由S△ABC=S△ACD+S△ABD，得
AB?BC=AD?CF+AD?BE=AD?(CF+BE).?
∴BE+CF=.?
∵△ABC的面积不变，即AB·BC不变，且点D从点B运动到点C过程中，AD的长度逐渐变大，
∴BE+CF的值逐渐变小.
