课时6 全称量词与存在量词
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1.3 全称量词与存在量词
短语“所有的”“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
含有全称量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词还有
“一切” “任意” “任给”等 .
全称命题举例：
全称命题符号记法：
(1)对任意的n∈Z，2n+1是奇数.
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为:
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
(2)所有的正方形都是矩形.
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数.
小 结：
——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立.
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得 p(x0)不成立即可（举反例）.
判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）对任意实数 ，不等式 成立.
有一个同学没有去.
有些信息栏漏填或错填.
短语“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在性命题.
常见的存在量词还有 “有的”“存在一个” “对某个”等.
存在性命题举例：
存在性命题符号记法：
(1)存在实数x,平方为8.
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,
存在性命题“存在M中的一个x0 ,使p(x0)成立”可用符号简记为:
读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(2)有一个素数不是奇数.
例2 判断下列存在性命题的真假：
（1）有些整数只有两个正因数；
（2）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0 ；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线.
小 结：
——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例说明).
判断下列存在性命题的真假：
（1）
（2）
（3）至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数.
下列命题是全称命题还是存在性命题：
(1)有的命题是不能判定真假的；
(2)所有的人都喝水；
(3)存在有理数x，使x2-2=0;
(4)对所有实数a，都有|a|≥0.
辨别
解：（1）原命题的否定是：
所有的命题都是能判定真假的.
（2）原命题的否定是：
有的人不喝水.
说出下列命题的否定命题:
(1)有的命题是不能判定真假的；
(2)所有的人都喝水；
(3)存在有理数x，使x2-2=0;
(4)对所有实数a，都有|a|≥0.
(3)这个命题的否定是：不存在有理数x，使x2-2=0;
（即： x∈Q， x2-2≠0.）
(4)这个命题的否定是：
a∈Q，|a|<0.
也就是：对所有有理数x， x2-2≠0.
一般地，我们有：
“ x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M, p(x)”
“ x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M, p(x)”
通过对上述命题的否定,你发现了什么规律
例3、写出下列命题的否定：
（1）所有的人都晨练；
（2） x∈R，x2+x+1>0；
（3）平行四边形的对边相等；
（4） x∈R，x2-x+1＝0；
解：
（1）原命题的否定是：
“有的人不晨练”.
（2）原命题的否定是：
“ ”
例3、写出下列命题的否定：
（3）平行四边形的对边相等；
（4） x∈R，x2-x+1＝0；
解：（3）原命题的否定是：
“存在平行四边形，它的对边不相等”
（4）原命题的否定是：
“ ”
例4、写出下列命题的否定：
（1）
（2） x∈R，sinx＝1；
（3） x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
x∈R，3x＝x;
1.命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:___________________________.
2.命题“有的实数没有立方根”的否定为:______命题.（填“真”、“假”）
至少有一个乌鸦不是黑色的
真
巩固应用：
有逻辑联结词的命题如何否定
1. 的否定：
2. 的否定：
3. 的否定：
探究:
(1) p: 是无理数;
q: 是有理数.
(2) p:等腰三角形的两个底角相等;
q:等腰三角形底边上的高和底
边上的中线重合.
写出由p、q构成的命题p或q、p且q形式的命题,并写出命题的否定：
演练：
五法：
1.全称量词、全称命题的定义及记法.
2.判断全称命题真假性的方法.
3.存在量词、存在性命题的定义及记法.
4.判断存在性命题真假性的方法.
5.含有一个量词的命题的否定方法.
1.3 全称量词与存在量词
短语“所有的”“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
含有全称量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词还有
“一切” “任意” “任给”等 .
全称命题举例：
全称命题符号记法：
(1)对任意的n∈Z，2n+1是奇数.
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为:
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
(2)所有的正方形都是矩形.
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数.
小 结：
——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立.
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得 p(x0)不成立即可（举反例）.
判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）对任意实数 ，不等式 成立.
有一个同学没有去.
有些信息栏漏填或错填.
短语“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在性命题.
常见的存在量词还有 “有的”“存在一个” “对某个”等.
存在性命题举例：
存在性命题符号记法：
(1)存在实数x,平方为8.
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么,
存在性命题“存在M中的一个x0 ,使p(x0)成立”可用符号简记为:
读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(2)有一个素数不是奇数.
例2 判断下列存在性命题的真假：
（1）有些整数只有两个正因数；
（2）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0 ；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线.
小 结：
——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例说明).
判断下列存在性命题的真假：
（1）
（2）
（3）至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数.
下列命题是全称命题还是存在性命题：
(1)有的命题是不能判定真假的；
(2)所有的人都喝水；
(3)存在有理数x，使x2-2=0;
(4)对所有实数a，都有|a|≥0.
辨别
解：（1）原命题的否定是：
所有的命题都是能判定真假的.
（2）原命题的否定是：
有的人不喝水.
说出下列命题的否定命题:
(1)有的命题是不能判定真假的；
(2)所有的人都喝水；
(3)存在有理数x，使x2-2=0;
(4)对所有实数a，都有|a|≥0.
(3)这个命题的否定是：不存在有理数x，使x2-2=0;
（即： x∈Q， x2-2≠0.）
(4)这个命题的否定是：
a∈Q，|a|<0.
也就是：对所有有理数x， x2-2≠0.
一般地，我们有：
“ x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M, p(x)”
“ x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M, p(x)”
通过对上述命题的否定,你发现了什么规律
例3、写出下列命题的否定：
（1）所有的人都晨练；
（2） x∈R，x2+x+1>0；
（3）平行四边形的对边相等；
（4） x∈R，x2-x+1＝0；
解：
（1）原命题的否定是：
“有的人不晨练”.
（2）原命题的否定是：
“ ”
例3、写出下列命题的否定：
（3）平行四边形的对边相等；
（4） x∈R，x2-x+1＝0；
解：（3）原命题的否定是：
“存在平行四边形，它的对边不相等”
（4）原命题的否定是：
“ ”
例4、写出下列命题的否定：
（1）
（2） x∈R，sinx＝1；
（3） x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
x∈R，3x＝x;
1.命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:___________________________.
2.命题“有的实数没有立方根”的否定为:______命题.（填“真”、“假”）
至少有一个乌鸦不是黑色的
真
巩固应用：
有逻辑联结词的命题如何否定
1. 的否定：
2. 的否定：
3. 的否定：
探究:
(1) p: 是无理数;
q: 是有理数.
(2) p:等腰三角形的两个底角相等;
q:等腰三角形底边上的高和底
边上的中线重合.
写出由p、q构成的命题p或q、p且q形式的命题,并写出命题的否定：
演练：
五法：
1.全称量词、全称命题的定义及记法.
2.判断全称命题真假性的方法.
3.存在量词、存在性命题的定义及记法.
4.判断存在性命题真假性的方法.
5.含有一个量词的命题的否定方法.