(共22张PPT)
空间直角坐标系
问题提出
对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实数x表示，它是一维坐标；平面上的点M的坐标用一对有序实数（x，y）表示，它是二维坐标.设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示？
O
x
x
O
x
(x,y)
y
思考2:平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？
三条交于一点且两两互相垂直的数轴
思考3:在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系Oxyz，在平面上如何画空间直角坐标系？
x
y
z
O
∠xOy=135°∠yOz=90°
思考4:在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正方向，中指指向为z轴正方向，并称这样的坐标系为右手直角坐标系.那么下列空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标系？
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
(1)
(2)
(3)
(4)
思考5:在空间直角坐标系Oxyz中，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，并分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.这三个坐标平面的位置关系如何？
x
y
z
O
思考6:如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点建立空间右手直角坐标系，那么x轴、y轴、z轴
应如何选取？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
x
y
z
思考7:在空间直角坐标系Oxyz中，三个坐标平面将空间分成几个部分？
x
z
y
知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标
思考1:在平面直角坐标系中，点M的横坐标、纵坐标的含义如何？
O
x
(x,y)
y
|x|
|y|
思考2:在空间直角坐标系中，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，垂足为A、B、C. 设点A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点M的位置与有序实数组（x，y，z）是一个什么对应关系？
A
O
x
M
y
z
x
x
C
O
M
y
z
z
B
O
x
M
y
z
y
思考3:上述有序实数组（x，y，z）称为点M的空间坐标，其中x、y、z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、
竖坐标，这三个坐标的值一定是正数吗？
A
B
C
O
x
M
y
z
x
y
z
思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点？
x轴上的点:(x,0,0)
xOy平面上的点:(x,y,0)
x
y
z
O
思考5:设点M的坐标为（a，b，c）过点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？
A
B
C
O
x
M
y
z
A(a,b,0)
B(0,b,c)
C(a,0,c)
思考6:设点M的坐标为（x，y，z）那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称的点的坐标分别是什么？
x
y
z
O
M(x,y,z)
N(x,-y,-z)
结论：
P（x,y,z）关于原点对称点P1（-x，-y,-z）
P（x,y,z）关于x轴对称点P2（-x，-y,-z）
P（x,y,z）关于xoy平面对称点P3（-x，-y,-z）
思考7:设点A（x1，y1，z1），点 B（x2，y2，z2），则线段AB的中点M的坐标如何？
理论迁移
例1 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|=3,|OC|=4，
|OD′|=2，写出长方体各顶点的坐标.
A
B
C
O
x
A′
y
z
B′
C′
D′
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为0.5的小正方体堆积成的正方体），其中红点代表钠原子，白点代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz，试写出全部钠原子所在位置的坐标.
x
y
z
O
练习:
P90练习：1，2，3.4.5.6(共22张PPT)
平面与平面垂直的判定
复 习
1．线面垂直的定义
2．线面垂直的判定定理
如果直线
与平面
内的任意一条直线都
l
垂直，则称直线
l
和平面
互相垂直．
记作：
⊥
l
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
1．半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部
分，其中的每一部分都叫做半平面．
半平面
半平面
讲授新课
2．二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
l
这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面。
A
B
二面角 －AB－
l
二面角 － l－
5
二面角的画法及其表示方法
直立式
平卧式
二面角C－AB－ D
A
B
C
D
l
O
O1
A
B
A1
B1
∠A O B
∠A1O1B1
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角
二面角的大小用它的平面角来度量
二面角的范围：[ 0°, 180 °]．
注
意
二面角的平面角必须满足的条件：
3）角的边都要垂直于二面角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
l
O
A
B
A
O
B
指出上图中画法正确的二面角的平面角
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
3、两个平面互相垂直的定义
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
猜 想：
两个平面垂直的判定定理：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 面面垂直
关键：找垂直于平面的线
用符号表示为
α
β
l
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例1:在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证： .
例2：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.
求证：平面PAC⊥平面PBC.
C
P
A
B
·
O
∟
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°即BC⊥AC
证明：设⊙O所在的平面为 ，由已知
小结
l
O
A
B
1、二面角及其它的平面角
二面角 － l－
2、平面与平面垂直的判定定理
α
β
l
二面角的范围：[ 0°, 180 °]．
平面与平面垂直的判定方法：
（1）定义法：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（“线面垂直”则“面面垂直”）
练习.在正方体ABCD-A1B1C1D1中 （1）求二面角D1-AB-D的大小 （2）求二面角A1-AB-D的大小
C
C1
A
B
D
A1
D1
B1
一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直。
作业
P41 习题A组 第6题(共32张PPT)
§1.简单几何体
2、三维空间是人类生存的现实空间，生活中蕴涵着丰富的几何体，请大家欣赏下列各式各样的几何体。
1、初中学过哪些和几何体有关的知识？
一、球的结构特征
o
球心
半径
A
B
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。
把球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
连结球心与球面上的任意一点的线段叫作球的半径。
其中:把半圆的圆心叫做球心。
连结球面上的任意两点且过球心的线段叫做球的直径。
2、球的表示：用表示球心的字母表示，如球O
二、圆柱的结构特征
矩形
O1
O
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，把它在空间中旋转一周后，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。
（3）由平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。
轴
母线
底面
侧面
2、表示：用表示它的轴的端点的两个字母表示，如圆柱OO1。
O
O1
问题5: 如图所示:把直角三角形ABC绕着其一边AB所在的直线在空间中旋转一周，则直角三角形ABC的其它两条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？
A
B
C
三、圆锥的结构特征
直角三角形
S
A
O
1、定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
（1）旋转轴叫做圆锥的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面。
（3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
O
S
B
A
轴
底面
母线
2、圆锥的表示：
用表示它的轴的端点的两个字母表示，如图所示，记为：圆锥SO
侧面
问题6: 如图所示: 直角梯形ABCD绕着它的垂直于底边的腰AB所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形ABCD的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？
A
B
C
D
圆台的定义1：把直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体叫作圆台.
四、圆台的结构特征：
圆台的定义2：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。
O'
O
底面
底面
轴
侧面
母线
2、圆台的表示：
用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′
球、圆柱、圆锥、圆台是由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条直线旋转所形成的曲面围成的几何体。其中这些曲面叫旋转面，几何体叫旋转体。
球、圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？
总结：
由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平面图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通过绕着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫旋转体。
多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。
其中，把围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点；
多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、五面体、六面体、、、、、
面
面
棱
顶点
棱
面
观察下列几何体并思考：棱柱（1)，（3）与棱柱（2)的不同之处？
(1)
(2)
(3)
两个特殊的棱柱：直棱柱与正棱柱 把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱； 把底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱；
直棱柱的性质：直棱柱的侧面都是矩形；
正棱柱的性质：正棱柱的侧面是全等的矩 形；
2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 …… 我们把棱柱按照底面多边形边数的多少，可分三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
3、棱柱的表示法(下图)
棱柱用表示两底面多边形的顶点的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 。
观察下列几何体,有什么相同点？
五、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。
有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
S
A
B
C
D
E
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、、、
A
B
C
D
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示。如四棱锥S-ABCD。
B1
A1
C1
D1
C1
B1
A1
D1
思考题：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，那么所得截面与棱锥底面之间的几何体会是怎样的一个几何体呢？
1、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
C1
B1
A1
D1
上底面
下底面
侧面
侧棱
顶点
六、棱台的结构特征
棱台的性质：棱台的上下底面平行，侧棱的延长线交于一点
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…
3、棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
C1
B1
A1
D1
（三）课堂小结：
（1）简单的旋转体
（2）简单的多面体
（四）课堂练习:
课本第6页练习
（五）作业布置：
习题1-1A组1、2题
画常见的几何体各一个
练一练：将一个直角梯形绕其较短的底所在的直线旋转一周得到一个几何体，关于该几何体的以下描绘中，正确的是( )
A、是一个圆台
B、是一个圆柱
C、是一个圆柱和一个圆锥的简单组合体
D、是一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体
D
长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？
练一练:
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
E
F
G
H
F’
E’
H’
G’
答：都是棱柱．(共12张PPT)
复习：
1、数轴上两点间距离：|AB|=|X2-X1|
2、平面中两点间的距离公式:
3、空间中如何计算两点间的距离呢？
空间两点间的距离公式
问题1：长方体的对角线是长方体中的那一条线段？
问题2：怎样测量长方体的对角线的长？
问题3：已知长方体的长、宽、高分别是a、
b、c，则对角线的长
问题4：给出空间两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
可否类比得到一个距离公式？
1、设O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
则
x
y
z
o
P
A
B
C
2、空间任意两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
作长方体使A、P为其对角线的顶点
由已知得：C(x2,y1,z1),
B(x2,y2 ,z1)
即是：空间两点间的距离公式
x
y
z
o
P
A
B
C
例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５），
Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ
分析：利用两点间距离公式可得
公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根
练1：P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)的
距离是________
练2：给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2) 距离为
分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1
(9,0,0)或(-1,0,0)
3
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离为_________
分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标公式；
M(2,1,3)
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2)
则线段AB中点C的坐标是
X= (X1+X2)
y= (y1+y2)
Z= (z1+z2)
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小
略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造出一个二次函数后求最值
例３.平面上到坐标原点的距离为１的点的轨迹是单位圆，其方程为 ．
在空间中，到坐标原点的距离为１的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
练4：如图：M—OAB是棱长为a的正四面体，顶点M在底面OAB上的射影为H，分别求出点B、H、M的坐标
M
A
H
B
O
z
x
y
小结：
距离公式：
作业：课本P93题5、7(共15张PPT)
平面与平面平行的判定
复习回顾：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
（2）直线与平面平行的判定定理：
（1）定义法；
线线平行
线面平行
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢
（1）平行
（2）相交
α∥β
复习回顾：
怎样判定平面与平面平行呢？
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（１）平面 内有一条直线与平面 平行， ， 平行吗？
（２）平面 内有两条直线与平面 平行， ， 平行吗？
（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC'B'，但平面ABCD与平面BCC'B'不平行。
（2）分两种情况讨论：
如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不平行。
P
Q
如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？
直线的条数不是关键
直线相交才是关键
如果一个平面内有两条相交直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行
两个平面平行的判定定理：
线不在多，重在相交
符号表示：
ａ ，ｂ ，ａ ｂ＝Ｐ，ａ ，ｂ
图形表示：
a
b
P
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．
×
×
×
×
×
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD.
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。
A
B
C
A1
B1
C1
D1
D
M
N
E
F
线面平行 面面平行
线线平行
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。
第三步：利用判定定理得出结论。
1、如图：三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点，
求证：平面DEF∥平面ABC。
P
D
E
F
A
B
C
2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD。
B
A
C
D
N·
M·
·G
M'
N'
G'
小结：
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理；
3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
作业布置:
第34页习题A组第6题。(共13张PPT)
公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这直线上所有的
点都在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言表述:
条件：线上两点在一个平面内，
结论：线上所有点都在这个平面内；
A
B
α
a
符号语言表述:A ∈a, B∈a, A∈α,Ｂ∈α， a α
问题
我们知道，两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？
公理２：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）
图形语言表述:
A
B
α
Ｃ
符号语言表述：Ａ．Ｂ．Ｃ三点不共线 有且只有一个平面α，使
Ａ∈α，Ｂ∈α，Ｃ∈α
认识:(1)经过一点，两点或在同一直线上的三点可有无数个平面．
(2)“有且只有”指具有“存在性”和“唯一性：
1、经过一条直线和这条外一点，可以确定一个平面吗？
2、经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？
3、经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
思考交流
公理３ 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条通过这个点的公共直线．
条件：两面共一点，
结论：两面共一线．
a
α
β
P
符号语言表示：
作用（1）它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；
（2）它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。
公理４ 平行于同一条直线的两条直线平行．
a
b
c
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补(如图1,AO∥A/O/,BC∥B/O/, ∠AOB和∠A/O/B/相等, ∠AOC和∠A/O/B/互补)
A/
O/
B/
A
B O C
定理: 空间中,如果两个角的 两条边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补.
β
A/
B/
O/
α
A
O
B
C
符号语言表示：
若AO∥A/O/,BC∥B/O/,
则∠AOB=∠A/O/B/；
或∠AOC+∠A/O/B/=180°。
*
如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？
B
C
A
B
C
A
E
E
D
D
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
求证: 四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
D
E
H
F
G
证明：如图，连结BD。
因为FG是ΔCBD的中位线，
所以 FG//BD，
又因为EH是ΔABD的中位线
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。
所以，四边形EFGH是平行四边形。
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线 D、相交成60°
小结：
公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
公理２：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）
公理３ 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
公理４ 平行于同一条直线的两条直线平行．
定理: 空间中,如果两个角的 两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
作业：
课本P27第5题(共11张PPT)
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
b
α
a
α
b
（2）当一条直线和一个平面平行时，过该直线可作多少个平面与已知平面相交？相交的交线与这条直线又有怎样的位置关系？
思考：
线面平行的性质定理
α
m
β
l
线面平行 线线平行
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。
1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ ）
A 只和这个平面内一条直线平行；
B 只和这个平面内两条相交直线不相交；
C 和这个平面内的任意直线都平行；
D 和这个平面内的任意直线都不相交。
D
练习：
2.直线a ∥平面α，平面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( )
(A) 全平行；
（B）全异面；
（C）全平行或全异面；
（D）不全平行或不全异面。
3.直线a ∥平面α，平面α内有n条交于一点的直线，那么这n条直线和直线a 平行的 ( )
（A）至少有一条； （B）至多有一条；
（C）有且只有一条；（D）不可能有。
C
B
l
α
β
如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
a
b
例1：
如图，已知AB//平面α,AC//BD,且AC、
BD与α分别相交于点C、D，
求证：AC=BD.
A
B
C
D
α
课堂练习
线面平行的性质定理
α
m
β
l
线面平行 线线平行
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。
小结
P34 习题A组：7.
作业:(共13张PPT)
平面与平面平行的性质
1、复习：如何判断平面和平面平行
（1）定义法, 判断两个平面没有公共点;
（2）平面和平面平行的判定定理, 判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.
2、思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
借助长方体模型探究
结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？
答:两条交线平行.
下面我们来证明这个结论
a
b
α
β
已知：如图，α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b.
求证：a∥b
这个结论可做定理用
结论:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行
定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
用符号语言表示性质定理：
a//b
想一想：这个定理的作用是什么
答:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
讨论:解决这个问题的基本步骤是什么
答:画出图形,再结合图形转化为符号语言,最后分析并书写证明过程。
已知:α//β,AB//CD,且A α,
C α,B β,D β.
求证:AB=CD.
（课本33页）
γ
α
β
A
l
B
已知：如图，α∥β，l ∩α＝A
求证：l 与β相交。
·
2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交。
练习
小结归纳:
1、两个平面平行的性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
2、线线平行 线面平行 面面平行,要注意这里平行关系的互相转化.
作业：(共23张PPT)
*
北师大版高中数学必修2第一章立体几何初步
复习：
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
1、判断直线是否在平面内的依据。
应用：
2、检验一个面是否是平面。
推论1 过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .
A
3、公理的推论
这是确定平面的依据之一
推论2 过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3 过两条平行线有且只有一个平面 。
公理3 如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
应用：判断多点是否共线
过一条直线和直线外的一点有且只有一个平即：一条直线和直线外的一点确定一个平面。
B
A
C
推论2
过两条相交直线有且只有一个平面即：两条相交直线确定一个平面
推论1
推论3
过两条平行直线有且只有一个平面。即：两平
行直线确定一个平面
C
A
B
C
B
A
*
证： （存在性）
由公理3，经过不共线的三点A,B,C有一个平面 .
B
A
C
因为B、C在平面 内，所以根据公理1，直线l在平面 内,即 是经过直线l和点A的平面 。
（唯一性）
因为B、C在直线l上，所以任何经过l和点A的平面
一定经过A,B,C . 于是根据公理3，经过不共线的三点A,B,C的平面只有一个所以经过l和点A的平面只有一个.
推论1证明
在l上任取两点B、C，则A,B,C不共线;
公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
（空间平行线的传递性）
理解：
（1）已知直线a、b、c，且a∥b，b∥c，则a∥c
（2）空间平行直线具有传递性
（3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的
方向
*
复习:
相交直线:
平行直线:
共面直线
异面直线:
不同在任何一个平面内，没有公共点
同一平面内，有且
只有一个公共点；
同一平面内，没有
公共点；
空间中的直线与直线之间有几种位置关系？
它们各有什么特点？
*
思考4:为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托,如图.
b
a
a
b
*
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？
A. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线；
B. 分别在不同平面内的两条直线；
C. 不在同一个平面内的两条直线；
D. 不同在任何一个平面内的两条直线.
b
a
a
b
*
知识探究：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？
*
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何
B
A
D
C
A'
B'
D'
C'
B
A
D
C
A'
B'
D'
C'
*
思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？
B
C
A
B
C
A
E
E
D
D
*
思考4:综上分析我们可以得到什么定理
定理 空间中如果两个角的两边分别
对应平行，那么这两个角相等或互补.
思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？
角的方向相同或相反
1．两个平面重合的条件是（ ）
A．有两个公共点 B．有无数个公共点
C．存在不共线的三个公共点 D．有一条公共直线
巩固练习：
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．空间不同三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．两组对边相等的四边形是平行四边形
D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
c
3．空间有四个点，其中无三点共线，可确定 __________ 个平面．
一个或四个
D
*
例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形.
(2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
F
G
D
A
E
B
C
H
*
例2 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对
F
A
H
G
E
D
C
B
C
D
B
A
E
F
G
H
例2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面A1BD=M，求作点M。
本题体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。
A
D
C
B
C1
B1
A1
D1
例3：求作下列截面：
A
D
C
B
C1
B1
A1
D1
A
D
C
B
C1
B1
A1
D1
练习：
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
*
作业:P26习题1.4A组：4，5
B组1，2.
教学反思：
课堂小结：在师生互动中让学生了解：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）计算异面直线所成的角应注意什么？(共23张PPT)
直观图
请在平面上画出以上几个常见的几何体（提示：画出你所看到的边）
引例：画一个正方形的直观图
怎样画才更形象准确？
思考
D
A
C
B
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
. . . . .
X’
. . . . .
y’
O’
x
. . . . .
. . . . .
y
o
解：①在直角坐标系中画出正方形；
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴， 它确定的平面表示水平平面。
小结：“横同，竖半， ”
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
小结：“横同，竖半 ,平行性不变， ”
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
常用的一些空间图形的平面画法
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
4
1.5
(1) 建立空间直角坐标系
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm的长方体 的直观图
练习:用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、
3cm、2cm的长方体的直观图
5、正棱锥的直观图的画法
x’
y’
O’
z’
A
B
C
D
E
S
正五棱锥
4、直棱柱的直观图的画法
x’
y’
O’
z’
A
B
C
D
E
F
A’
B’
C’
D’
E’
F’
直六棱柱
.
.
p
.
p
.
.(共12张PPT)
高考题欣赏（共10道）1、（全国新课标文）
在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
D
2、（浙江文）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】B
3、（北京文）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
(A)32 (B)16+
(C)48 (D)
【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为
，表面积
故B。
正视图
侧视图
2
俯视图
4、（广东文9）
如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，
，
则该几何体的体积
√
5、（陕西文）5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
B.
C.8-2π
【解】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是
.
A.
D.
6、(2009·合肥模拟)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是 A．3 B. C．2 D.
解析：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，答案：D
7、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为
8、已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示．
[答案] C
9、
(文)(2010·湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.
[答案] 4
10、(共24张PPT)
X
b
a
a
在空间中直线与平面有几种位置关系？
1、直线在平面内
2、直线与平面相交
3、直线与平面平行
a
α
α
a
a
α
.
P
文字语言
图形语言
符号语言
复习回顾
怎样判定直线与平面平行呢？
引入新课
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
a
在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
实例感受
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系．
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
实例感受
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
下图中的直线 a 与平面α平行吗？
直线与平面平行
如果平面 内有直线 与直线 平行，那么直线 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 与平面 平行？
直线与平面平行
平面 外有直线 平行于平面 内的直线 ．
（1）这两条直线共面吗？
（2）直线 与平面 相交吗？
直线与平面平行
共面
不可能相交
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得到线面平行的结论．
直线与平面平行关系
直线间平行关系
空间问题
平面问题
直线与平面平行判定定理
定理5.1 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.
抽象概括
判断下列命题是否正确：
（1）一条直线平行于一个平面， 这条直线就与这个平面内的任意直线平行。
（2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个公共点.
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。
（4）若直线 平行于平面 内的无数条直线，则
（5）如果a、b是两条直线，且 ，那么a平行于经过b的任何平面.
( )
( )
( )
( )
( )
深化认识
1．如图，长方体 中，
（1）与AB平行的平面是 ；
（2）与 平行的平面是 ；
（3）与AD平行的平面是 ；
平面
平面
平面
平面
平面
平面
随堂练习
（1）定义法：证明直线与平面无公共点；
（2）判定定理：
证明平面外直线与平面内直线平行．
直线与平面平行判定
怎样判定直线与平面平行？
实践应用
例1:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、
AD的中点.判断EF与平面BCD的位置关系.
例1 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是
AB，AD的中点．
求证：EF//平面BCD．
证明：连接BD.
因为AE=EB,AF=FD,
所以EF//BD（三角形中位线定理）
因为
由直线与平面平行的判定定理得:
EF//平面BCD.
小结：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过
三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
1、空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的三等分点，即
能力拓展
判断EF与平面BCD的位置关系
2、若EF∥平面BCD，则点E、F在AB、AD上应满足什么条件？
例2：如图,在空间四面体中,E、F、M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点
（1）四边形EFMN , 是什么四边形？
平行四边行
（2）直线AC与平面EFMN的位置关系是什么？为什么？
AC与平面EFMN平行
（3）在这图中，你能找出哪些线面平行关系？
①直线BD与平面EFMN
②直线AC与平面EFMN
③直线EF与平面BCD
④直线FM与平面ABC
⑤直线MN与平面ABD
⑥直线EN与平面ACD
1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
知识小结
线线平行
线面平行
直线与平面没有公共点
关键：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行,在寻找平行直线时可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
思考
如图，一个长方体 木料 ，要经过平面 内一点P与棱BC将木料锯开，应该怎样画
直线？
1、
如图，一个长方体 木料 ，要经过平面 内一点P与棱BC将木料锯开，应该怎样画
直线？
作业：
课本P34 A组第4题；B组第1题(共23张PPT)
§4 空间图形的基本关系与公理 4.1 空间图形基本关系的认识
平面
“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念.
桌面、窗 玻璃面、墙面、平整的地面等等都给我们以平面的形象.
几何里的平面是无限延展的，我们见到的“平面”只是数学里所说平面的一部分，通常画平行四边形来表示平面所在的位置.
平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示.
例：平面α、β，平面AC等.
空间图形是丰富的，它由一些基本的点、线、面所组成。研究清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的。
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
实例分析
观察下列长方体，回答问题。
A
B
α
a
b
c
(1)长方体有几个顶点？
（2）长方体有几条棱？
（3）长方体有几个表面？
问题
1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点在直线上
②点在直线外
A
a
B
b
A
B
α
a
b
c
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点在平面内
②点在平面外
β
O
P
记作：
记作：
记作：
记作：
3. 空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
②相交直线——
③异面直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线。
在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。
A
B
α
a
b
c
α
b
a
β
α
b
a
γ
a
b
a
b
α
记作：a//b
b
β
a
O
记作：
看一下生活中的例子：
立交桥中, 两条路线AB, CD
NEXT
BACK
A
B
C
D
A
B
C
D
六角螺母
NEXT
BACK
a
b
思考一
2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？
找不到一个平面使得直线a,b在
同一共面内！
NEXT
BACK
a
b
1.直线a,b相交吗？
不相交
不平行
3. 能否找到一个平面,
使得a,b两条直线都在这个平面内？
NEXT
BACK
不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1.异面直线的定义:
定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，
使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。
注1
例子：如图,在长方体中，
判断AB与HG是不是异面直线？
A
B
G
F
H
E
D
C
AB与HG不是异面直线。
任何
共面直线
异面直线
相交
平行
有且只有一个公共点
没有公共点
不同在任一平面，无公共点
空间两条直线的位置关系
若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行
有一个背景作为衬托－－直观，空间立体感更强！
怎么画异面直线呢？
o
异面直线的作图方法 1
A
B
如何证明直线AB，a是异面直线？
思考
异面直线的作图方法 2
a
b
答：错。
b
例1.判断题1
a
4.例题
1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线一定异面。
a
b
a
b
判断题2
NEXT
BACK
注2
在不同平面内的两条直线不一定异面。
例2
1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ ③ a 平面 ，b 平面 ④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是 （ ）（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
C
下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③EB和HG是 直线
B
A
C
D
E
F
H
G
说出以下各对线段的位置关系
NEXT
BACK
例3
O
方法二（特点） :两条直线 既不相交、又不平行.
方法一 （利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内.
2.判别异面直线的方法:
NEXT
BACK
4. 空间直线与平面的位置关系有三种：
（1）直线在平面内——
（2）直线与平面相交——
直线与平面有无数个公共点。
直线与平面只有一个公共点。
（3）直线与平面平行——
直线与平面没有公共点。
5. 空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）平行平面——
没有公共点的两个平面。
（2）相交平面——
两个平面不重合，并且有公共点。
b
A
a
β
α
α
β
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
（4）AC和A1 C1；
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系：
（1）AB和CC1；
（2）A1 C和BD1 ；
（3）A1 A和CB1；
（5）BC与平面A1 C1；
（6）B1 C与平面AC；
（7）AB与平面AC。
练习
作业：
课本P26第2、4题(共12张PPT)
直线与平面垂直的性质
问题
1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？
2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
思考2:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
思考3:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？
a
b
α
c
O
l
思考4：根据上述分析，得到一个什么结论？
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
思考5:上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理.用符号语言可表述为： .该定理有什么作用？
理论迁移
例1 如图，已知 于点A， 于点B，
求证： .
A
B
C
α
β
l
a
（2）若 ，求证：MN 面PCD
例2 如图，已知 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证： （1）
P
A
B
C
D
M
N
E
小结
1、定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的人一直线.
2、定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
练习：
P40页练习1、2题
作业:
P41 A组第7题(共46张PPT)
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
3 三视图
孟州一中 刘国强
猜猜他们是什么关系？
看问题不能只看单方面
几种基本几何体三视图
1.圆柱、圆锥、球的三视图
几何体 正视图 侧视图 俯视图
知识 回顾
·
2、棱柱、棱锥的三视图
几何体 正视图 侧视图 俯视图
知识 回顾
圆台
圆台
主
左
俯
3、圆台的三视图
1、三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方
2、 三视图对应关系为：
正、俯视图长相等（简称长对正）
正、侧视图高相等（简称高平齐）
俯、侧视图宽相等且前后对应(宽相等）
主视图反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体的长度和宽度；
左视图反映了物体的高度和宽度。
主视图
左视图
俯视图
长
长
高
高
宽
宽
正视图
俯视图
左视图
a
a
b
b
c
c
a
b
c
高平齐
宽相等
长对正，高平齐，宽相等
一、三视图中的虚线
在绘制三视图时，不可见边界轮廓线，用虚线画出
二、简单组合体的三视图
组合体有两种基本形式：
（1）将基本几何体拼接成组合体
（2）从基本几何体中切掉部分构成组合体
例1 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例2、画下面几何体的三视图。
例3、画下面几何体的三视图。
练一练：画出左图的三视图
先布局定作图基准，从主视图开始画起，
后画左、俯视图。
简单组合体的三视图
请同学自己做
先布局定作图基准，从主视图开始画起，后画左、俯视图。
简单组合体的三视图
圆柱
圆台
手电筒
练习: 根据三视图想像物体的形状。
简单组合体的三视图
已知物体三视图的外轮廓，如何构思该物体？
与同学交流你的看法和具体做法.
构思过程：
侧视图
正视图
俯视图
A
B
小训练：
2、如图是一个物体的三视图，试说出物体
的形状。
正视图
侧视图
俯视图
3、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体是___
2
2
2
2
2
侧视图
俯视图
正视图
2
.
课外思考题
用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗 它至少需要多少个小立方块 最多需要多少个小立方块 分别画出它们的几何体的左视图．
主视图
俯视图
主视图
俯视图
左视图
主视图
俯视图
左视图
主视图
俯视图
作业：
课本第20页第4题(共14张PPT)
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
面面垂直
线面垂直
如果将 中的条件 与结论 的位置调换一下，构造这样的一个命题：
该命题正确吗？
b
Ⅰ. 观察实验
（1）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？
（2）观察长方体ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D与平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一条直线垂直于平面ABCD？
两个平面垂直，其中一个平面的直线不一定垂直于另一个平面。
两个平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
Ⅱ.概括结论
b
A
O
则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角
∵ , ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
E
证明:在平面 内作BE⊥CD,
垂足为B.
∴AB⊥
(直线与平面垂直的判定定理)
D
C
A
B
Ⅲ.严格证明
b
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简述为：
面面垂直
线面垂直
符号表示：
平面与平面垂直的性质定理
四、知识应用举例
×
×
l
(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线
必垂直于另一个平面。
√
×
m
P
a
b
m
P
l
n
例3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
B
O
P
A
C
(2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。
(1)求证：BC⊥平面PAC。
如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.
★练习
A
C
B
O
P
F
.
证明: ∵AB是⊙O的直径
∴AC⊥BC
∴PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC
∴平面PBC⊥平面PAC
∴AF⊥平面PBC
∵BC 平面PBC
∩
又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC
∩
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC
∩
∵PA∩AC=A
1、平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2..空间垂直关系有那些？
如何实现空间垂直关系的相互转化？
请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？
①线面垂直的判定定理
②线面垂直的定义
③面面垂直的判定定理
④面面垂直的性质定理
④
③
②
①
线线垂直
线面垂直
面面垂直
作业：
课本P41页B组1、3(共17张PPT)
新课标实验教材:人教版
复习引入
新课讲解
例题选讲
课堂小结
相交
平行
相交
（有一个公共点）
平行
（无公共点）
a
b
o
a
b
NEXT
BACK
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
那空间中两直线还有没有其他的位置关系呢？
看一下生活中的例子：
立交桥中, 两条路线AB, CD
NEXT
BACK
A
B
C
D
A
B
C
D
六角螺母
NEXT
BACK
a
b
思考一
2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？
找不到一个平面使得直线a,b在
同一共面内！
NEXT
BACK
a
b
1.直线a,b相交吗？
不相交
不平行
3. 能否找到一个平面,
使得a,b两条直线都在这个平面内？
NEXT
BACK
不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
1.异面直线的定义:
定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，
使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。
注1
例子：如图,在长方体中，
判断AB与HG是不是异面直线？
A
B
G
F
H
E
D
C
AB与HG不是异面直线。
任何
共面直线
异面直线
相交
平行
有且只有一个公共点
没有公共点
不同在任一平面，无公共点
空间两条直线的位置关系
若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行
有一个背景作为衬托－－直观，空间立体感更强！
怎么画异面直线呢？
o
异面直线的作图方法 1
A
B
如何证明直线AB，a是异面直线？
思考
异面直线的作图方法 2
a
b
1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
答：错。
b
例1.判断题1
a
4.例题
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内的两条直线一定异面。
a
b
a
b
判断题2
NEXT
BACK
注2
在不同平面内的两条直线不一定异面。
例2
1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面 ，b 平面 且a∩b=Φ ③ a 平面 ，b 平面 ④ 不存在平面 ，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是 （ ）（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
C
下图长方体中
平行
相交
异面
② BD 和FH是 直线
① EC 和BH是 直线
③EB和HG是 直线
B
A
C
D
E
F
H
G
说出以下各对线段的位置关系
NEXT
BACK
例3
O
方法二（特点） :两条直线 既不相交、又不平行.
方法一 （利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内.
2.判别异面直线的方法:
NEXT
BACK
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
NEXT
BACK
作业：
P46：探究
5.课堂小结:
异面直线的判定
(1)利用定义;(2)两直线既不平行也不相交。(共32张PPT)
由三视图还原成实物图
欣赏三视图
你认识它吗？
问题一：如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1，而是图2，你能替这位工人师傅根据这三个图形制造出水管接头吗？
若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？
图2
图1
复习回顾：
一、三视图:
1、从正面看到的图形叫做主视图；从左面看到的图形叫左视图；从上面看到的图形叫俯视图。这三张图，称为三视图.
2、形体可见轮廓线画粗实线，不可见轮廓线画虚线
二、三视图的对应规律：
俯视图和左视图
主视图和俯视图
主视图和左视图
----长对正
----高平齐
----宽相等
三、 基本几何体的三视图
(1)正方体的三视图都是———
(2)圆柱的三视图中有两个是———
另一个是——
(3)圆锥的三视图中有两个是———，另
一个是—————。
(4)球的三视图都是——
正方形
长方形
圆
三角形
圆和一个点
圆
请找出下列三视图对应的几何体
A
b
c
a
B
C
第 一 组
e
E
F
G
f
g
第 二 组
正三棱锥
主
左
俯
正四棱台
主
左
俯
长方体
主
左
俯
一个几何体的三视图如下,你能说出它是什么立体图形吗
正视图
侧视图
俯视图
与上一张三视图有何区别与联系？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
侧视图
俯视图
正视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
六棱锥与六棱柱的组合体
举重杠铃
侧视图
正视图
俯视图
A
B
变式训练一：
2、如图是一个物体的三视图，试说出物体
的形状。
正视图
侧视图
俯视图
3、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体是___
2
2
2
2
2
侧视图
俯视图
正视图
2
例2说出下面的三视图表示的几何体的结构特征，并画出其示意图.
正视图
侧视图
俯视图
将一个长方体挖去两个
小长方体后剩余的部分
1.一个零件的主视图和俯视图如图,请描述这个零件的形状,并补画出它的左视图.
主视图
俯视图
球的一部分与圆柱的组合体,左视图同主视图.
变式训练二：
2、说出下面的三视图表示的几何体的结构特征
问题二：已知物体三视图的外轮廓，如何构思该物体？
与同学交流你的看法和具体做法.
构思过程：
课堂活动
想一想下列三视图对应的是生活中的哪些实物
圆柱
正六棱柱
螺丝杆
如何把组合体的三视图还原成几何体的实形
1、把每个视图分解为基本图形（三角形，圆等）
2、结合对应部分的三视图想象对应的基本几何体
3、结合虚实线概括组合体
.
课外思考题
用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗 它至少需要多少个小立方块 最多需要多少个小立方块 分别画出它们的几何体的左视图．
主视图
俯视图
主视图
俯视图
左视图
主视图
俯视图
左视图
主视图
俯视图
作业：
课本第20页第7题(共23张PPT)
什么是柱、锥、台的侧面积？
把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。
一、圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥的侧面展开图如下图，思考：如何求其侧面积？
r
l
r
l
其中r为底面半径, l 为侧面母线长。
圆台可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的。
它的侧面展开图通常叫作扇环，由扇环可以求出圆台的侧面积。
二、直棱柱、正棱锥、正棱台
直棱柱的侧面展开图如下：
h
其中c为底面周长，h为高。
正三棱锥的侧面展开图如下：
其中c为底面周长， 为斜高，即侧面三角形的高。
侧面展开
正棱台的侧面展开图
如右图：
c,c’分别为上下底面周长， h’为斜高，即侧面等腰梯形的高。
侧面展开
S直棱柱=
ch
S正棱台=
(c+c’)h’
S正棱锥=
ch’
c’=c
c’=0
1
2
1
2
上底扩大
上底缩小
棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间
有何关系,如何转化？
小结：
柱体的侧面积S=cl
椎体的侧面积S= cl
台体的侧面积S= （c+c'）l
练习
课本45页1-4题
作业：
课本49页A组7、10题(共38张PPT)
直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
直线 l 叫做平面α的垂线。
平面α叫做直线 l 的垂面。
直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
α
P
l
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。
求证： l ⊥α。
α
m
n
B
l
α
m
n
B
l
l
α
m
n
B
l
l
α
m
n
g
B
l
α
m
n
g
B
g
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
l
α
m
n
g
A
B
A’
C
D
E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
l ⊥m
l
α
m
A
B
C
A’
l ⊥m
l
α
m
A
B
C
A’
l ⊥m
AC=A’C
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AD=A’D
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
CD=CD
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
△ACD≌△A’CD
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
∠ACE=∠A’CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AC=A’C
CE=CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
△ACE≌△A’CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AE=A’E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l
α
g
A
B
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l
α
g
A
B
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l ⊥g
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的判定定理
l ⊥α
符号表示: m α, n α
m ∩ n = B
l ⊥ m,l ⊥ n
思路：要想证明a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相交直线垂直）。
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习
α
β
γ
a
b
c
E
例1 已知：b α，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，b⊥γ。
求证：a⊥α。
A
B
D
C
A′
B ′
C
D
′
′
A
B
D
C
A'
B'
C'
D'
例2 已知：正方体中，AC、BD'是对角线。
求证：AC⊥BD'
练习：
课本36页1、2、3题
小结：
定义：如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直，记作 l ⊥α.
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
作业：
课本41页A组4、5题
