【 精品练习】人教A版 数学 选修2第2章2.1.1知能优化训练
文档属性
| 名称 | 【 精品练习】人教A版 数学 选修2第2章2.1.1知能优化训练 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 78.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-05-19 16:19:54 | ||
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文档简介
1．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析：选D.根据类比形式及对数、指数、向量的运算可知，D正确．
2．(2010年高考山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D.通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D.
3．(2010年高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．
解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，
即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
4．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．
解：由f(n)＝n2＋n＋41，得f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，
f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，
f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，
f(10)＝102＋10＋41＝151.
由此猜想，n为任何正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．
当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．
一、选择题
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
2．下面使用类比推理恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析：选C.由类比推理的特点可知．
3.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
4．数列，，2，，…，的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选B.法一：因为a1＝，a2＝，
a3＝，a4＝，
由此猜测an＝.
法二：由a1＝可排除A、C、D，选B.
5．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
解析：选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
6．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：选B.推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C还有可能异面，对于D，还有可能异面，故选B.
二、填空题
7．由数列1,10,100,1000，…猜想数列的第n项可能是________．
解析：∵1＝100,10＝101,100＝102,1000＝103，…，
∴可猜想第n项是10n－1.
答案：10n－1
8．已知数列2009,2010,1，－2009，－2010，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2010项之和S2010等于________．
解析：数列前几项依次为2009,2010,1，－2009，－2010，－1，2009,2010，…每6项一循环，前6项之和为0.前2010项包含335个周期，故其和为0.
答案：0
9．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题______________．
解析：利用类比推理可知，平面中的直线应类比空间中的平面．
答案：夹在两平行平面间的平行线段相等
三、解答题
10．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，请在立体几何中，给出类似的四面体性质的猜想．
解：如图(1)，Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝()2＋()2＝＝1.于是把结论类比到如图(2)的四面体P A′B′C′中，我们猜想，四面体P A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面A′B′C′所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
11．已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)归纳猜想通项公式an.
解：(1)当n＝1时，a1＝1，
由an＋1＝(n∈N*)，得a2＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)由a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
可归纳猜想an＝(n∈N*)．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出
f(n＋1)与f(n)的关系；
(3)求出f(n)．
解：(1)3条直线最多将平面分成7个部分．
(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.
(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2＝.
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析：选D.根据类比形式及对数、指数、向量的运算可知，D正确．
2．(2010年高考山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D.通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D.
3．(2010年高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．
解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，
即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
4．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．
解：由f(n)＝n2＋n＋41，得f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，
f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，
f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，
f(10)＝102＋10＋41＝151.
由此猜想，n为任何正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．
当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．
一、选择题
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
2．下面使用类比推理恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析：选C.由类比推理的特点可知．
3.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
4．数列，，2，，…，的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选B.法一：因为a1＝，a2＝，
a3＝，a4＝，
由此猜测an＝.
法二：由a1＝可排除A、C、D，选B.
5．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
解析：选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
6．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：选B.推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C还有可能异面，对于D，还有可能异面，故选B.
二、填空题
7．由数列1,10,100,1000，…猜想数列的第n项可能是________．
解析：∵1＝100,10＝101,100＝102,1000＝103，…，
∴可猜想第n项是10n－1.
答案：10n－1
8．已知数列2009,2010,1，－2009，－2010，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2010项之和S2010等于________．
解析：数列前几项依次为2009,2010,1，－2009，－2010，－1，2009,2010，…每6项一循环，前6项之和为0.前2010项包含335个周期，故其和为0.
答案：0
9．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题______________．
解析：利用类比推理可知，平面中的直线应类比空间中的平面．
答案：夹在两平行平面间的平行线段相等
三、解答题
10．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，请在立体几何中，给出类似的四面体性质的猜想．
解：如图(1)，Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝()2＋()2＝＝1.于是把结论类比到如图(2)的四面体P A′B′C′中，我们猜想，四面体P A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面A′B′C′所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
11．已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)归纳猜想通项公式an.
解：(1)当n＝1时，a1＝1，
由an＋1＝(n∈N*)，得a2＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)由a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
可归纳猜想an＝(n∈N*)．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出
f(n＋1)与f(n)的关系；
(3)求出f(n)．
解：(1)3条直线最多将平面分成7个部分．
(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.
(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2＝.