【 精品练习】人教A版 数学 选修2第2章2.1.2知能优化训练

1．下列说法正确的是(　　)
A．类比推理是由特殊到一般的推理
B．演绎推理是由特殊到一般的推理
C．归纳推理是由个别到一般的推理
D．合情推理可以作为证明的步骤
解析：选C.A错：因为类比推理是特殊到特殊的推理；B错：因为演绎推理是一般到特殊的推理；C正确：因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理；D错：因为合情推理的结论不可靠，不能作为证明的步骤．
2．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是(　　)
A．实数分为有理数和无理数
B．π不是有理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．有理数都是有限循环小数
解析：选C.演绎推理的结论蕴涵于前提之中，本题由小前提及结论知选C.
3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________________________________；
小前提：________________________________________________________________________；
结论：________________________________________________________________________.
解析：本题省略了大前提和小前提．
答案：一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)，求证：f(x)为奇函数．
证明：令x＝y＝0，
则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)．
所以f(0)＝0，
又令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
因此f(x)为奇函数．
一、选择题
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
解析：选A.大前提：两条直线平行，同旁内角互补．小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角．结论：∠A＋∠B＝180°.
2．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是(　　)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B.由三段论的一般模式知应选B.
3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是(　　)
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A.大前提错误的，因为对数函数y＝logax(04．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理(　　)
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．错误，因为大小前提不一致
D．错误，因为大前提错误
解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．
5．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)
A．平行　　　　　　　　　　 B．相交
C．垂直 D．互为异面直线
解析：选C.对于任意的直线l与平面α，若l在平面α内，则存在直线m⊥l；若l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面α内，且l与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直，综上所述，选C.
6．设 是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a b∈A，则称A对运算 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：选C.A错：因为自然数集对减法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
二、填空题
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．
解析：由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
答案：y＝的定义域是[4，＋∞)
8．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是________．
解析：∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0.
∴(a2＋a＋1)x>3 x>.
其前提依据为不等式的乘法法则：
a>0，b>c ab>ac.
答案：a>0，b>c ab>ac
9．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：∵a＝∈(0,1)，
∴函数f(x)＝()x是减函数．
故由f(m)>f(n)得，m答案：m三、解答题
10．规定C＝，其中x∈R，m是正整数，求C的值．
解：规定C＝，其中x∈R，m是正整数(大前提)，C，－15∈R,5是正整数(小前提)，C＝＝－11628.(结论)
11．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
证明：设x10，
f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)
＝(x－x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)
＝(x2－x1)[(x2＋)2＋x＋1]．
因为(x2＋)2＋x＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
于是根据“三段论”，得函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
12．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.