【 精品练习】人教A版 数学 选修2第2章2.2.1知能优化训练

1．欲证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2　B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2 D．(－－)2<(－)2
解析：选C.根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证：＋<＋，只需证：(＋)2<(＋)2.
2．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
解析：选B.因为a1＝S1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合上式，所以an＝4n－5(n∈N*)，即数列{an}一定是等差数列．
3．函数y＝x＋的值域为________．
解析：∵|y|＝|x＋|＝|x|＋≥2，
∴y≤－2或y≥2.
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
4．如果a＋b＞a＋b，求实数a，b的取值范围．
解：a＋b＞a＋b
a－a＞b－b
a(－)＞b(－)
(a－b)(－)＞0
(＋)(－)2＞0，
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
即a≥0，b≥0，且a≠b.
一、选择题
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选C.①②③⑤正确．
2．已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
解析：选A.已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，又a5＋a11＝2a8，∴a8＝8.又2a8＝a4＋a12，∴a12＝15.
3．某同学证明不等式－1＞－的过程如下：
要证－1＞－，只需证＋＞＋1，即证7＋2＋5＞11＋2＋1，即证＞，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是(　　)
A．综合法
B．分析法
C．综合法，分析法结合使用
D．其他证法
解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．
4．设0＜x＜1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　　)
A．a B．b
C．c D．不能确定
解析：选C.∵b－c＝(1＋x)－
＝＝－＜0，∴b＜c.
又∵b＝1＋x＞＝a，∴a＜b＜c.
5．若a、b、c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为a>0且b2－4ac<0 ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立．反之，ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac<0，反例为：当a＝b＝0且c>0时也有ax2＋bx＋c>0对任意x∈R恒成立，所以“a>0且b2－4ac<0”是对任意x∈R，有“ax2＋bx＋c>0”的充分不必要条件．
6．下面四个不等式：
(1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；
(2)a(1－a)≤；
(3)＋≥2；
(4)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋ac＋bc，a(1－a)≤()2＝；(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；当＜0时，＋≥2不成立．
二、填空题
7．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为________．
解析：∵b＝，c＝，
显然b而a2＝2，
c2＝(－)2
＝8－2＝8－<8－＝2＝a2，
∴a>c，
∴a>c>b.
答案：a>c>b
9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________．
解析：∵αβ >0，|α|>2，|β|>2.
∴|α＋β|2＝α2＋β 2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25.
∴|α＋β|>5.
答案：①③ ②
三、解答题
10．若sinθ，sinα，cosθ成等差数列，sinθ，sinβ，cosθ成等比数列，求证：2cos2α＝cos2β.
证明：由sinθ，sinα，cosθ成等差数列，得
sinθ＋cosθ＝2sinα，
则1＋2sinθcosθ＝4sin2α，即sin2θ＝4sin2α－1.①
由sinθ，sinβ，cosθ成等比数列，得sinθcosθ＝sin2β，
即sin2θ＝2sin2β.②
由①②得4sin2α－1＝2sin2β，
所以2(1－cos2α)－1＝1－cos2β，
所以2cos2α＝cos2β.
11．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
因为a>0，
故只需证( ＋2)2≥(a＋＋)2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，
从而只需证2≥(a＋)，
只需证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，
即证a2＋≥2，而此不等式显然成立．
故原不等式成立．
12．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证：f(x＋)为偶函数．
证明：法一：要证f(x＋)为偶函数，
只需证f(x＋)的对称轴为x＝0，
只需证－－＝0，
只需证a＝－b.
因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，
所以－－1＝－，
所以a＝－b，
所以f(x＋)为偶函数．
法二：要证f(x＋)是偶函数，
只需证f(－x＋)＝f(x＋)．
因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，
所以f(－x)＝f(x＋1)，
f(－x＋)＝f(－(x－))
＝f((x－)＋1)
＝f(x＋)，
所以f(x＋)是偶函数．